幂函数经典例题(答案)

1、掠函数的概念例1、下列结论中，正确的是()A.掠函数的图象都通过点(0,0), (1,1)B.掠函数的图象可以出现在第四象限C.当某指数。取1,3,:时，黑函数y=/是增函数D.当幕指数。=1时，掠函数y=x"在定义域上是减函数解析 当恭指数。=-1时，恭函数的图象不通过原点，故选项A 不正确；因为所有的暴函数在区间(0, +8)上都有定义，且二/(OGR), y>0,所以恭函数的图象不可能出现在第四象限，故选项B不正确；而当a=一 1时，在区间(一8, 0)和(0, +8)上是减函数，但它在定义域上不是减 函数.答案C >例2、已知暴函数f(x) = (5£+

2、1)$(7+3£-2力&£Z)是偶函数且在(0, + 8)上为增函数，求实数1的值.分析 关于掠函数y=x"(a£R, 。£0)的奇偶性问题，设。(；川、互 质)，当“为偶数时，夕必为奇数，是非奇非偶函数；当4是奇数时，y= Q的奇偶性与夕的值相对应. q解f(x)是累函数，"3 £+1 = 1, t= 1,1 或 0.7当1=0时，才)=正是奇函数； 2当= 1时，”x)= 正是偶函数； OO O当2=1时，F(x)=是偶函数，且三和二都大于0, 55 5在(0, +8)上为增函数.故 £=1 且 f(x

3、) =*或 £= 1 且 f(x)点评 如果题中有参数出现，一定要注意对参数的分类讨论，尤其对题中的条件 给予足够的重视.例3、如图是爆函数y=/与在第一象限内的图象，则(D. /K -1, ni>B.水一 1,0<加 1C. 一1水0,加>1解析 在(0,1)内取同一值加，作直线x=x。，与各图象有交点，则“点低指数 大”.如图，0<zzKl, /X-1.答案 B点评 在区间(0,1)上，幕函数的指数越大，图象越靠近X轴；在区间(1, + 8)上，掠函数的指数越大，图象越远离x轴.例4、已知x2>5,求x的取值范围.1 1错解由于fNo,元WR,则由可

4、得x£R.O错因分析上述错解原因是没有掌握掠函数的图象特征，尤其是y=x“在 。>1和(X两种情况下图象的分布.正解作出函数y=x2和y=x'的图象(如右图所示)，易得x<0或x>l.例5、函数f(x)=(病一加一1)工苏十?一3是黑函数，且当x£(0, +8)时，f(x) 是增函数，求瞥力的解析式.分析 解答本题可严格根据黑函数的定义形式列方程求出勿，再由单调性确 定m.解根据黑函数定义得mm1 = 1,解得 m=2 或 m 1,当勿=2时，F(x)=V在(0, +8)上是增函数；当R= -1时，f(x)=/3在(0, +8)上是减函数，不符合要

5、求.故F(X)=点评 掠函数y=/ （a£R）,其中。为常数，其本质特征是以森的底x 为自变量，指数。为常数（也可以为0）.这是判断一个函数是否为黑函数的重 要依据和唯一标准.对本例来说，还要根据单调性验根，以免增根.变式 三知y=（序+2加-2）二 +2-3是黑函数，求外的值. /Z7 1m +2/一2= 1苏1W0,2/7-3=0"=3解得43，n23所以勿=-3, n=-乙例6、比较下列各组中两个数的大小：33_2_2（1） 1.5" 1.75 ； （2）,； （3） （一1.2）一"（一1.25）”.解析：（1）考查募函数y=/的单调性，在第一象

6、限内函数单调递增， 33/<,55VL（2）考查森函数y=/的单调性，同理 （3）先将负指数幕化为正指数 幕可知它是偶函数，_2_2_2_2_2_2_2; （一L2尸=1.2一手，（一1.25） 一§ = 1.25 一了，又 1 .2一？ > L25 7 , A （-1.2）-72>1.25点评：比较暴形式的两个数的大小，一般的思路是：（1）若能化为同指数，则用氟函数的单调性；（2）若能化为同底数，则用指数函数的单调性；（3）若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一个恰当的数作 为桥梁来比较大小.例7、比较下列各组数的大小（1） 3一万与一亍一8一萨一匕上分

7、析比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可用 。与1去比较，这种方法叫“搭桥”法.5解(1)函数y=x：在(0,+8)上为减函数， 乙55又3<,所以33一一8一5=一(篇，函数尸(在(。，+8)上为增函数，又呈,则牖)078,&从而_84_(熊点评 比较大小的题，要综合考虑函数的性质，特别是单调性的应用，更善 于运用“搭桥”法进行分组，常数0和1是常用的参数.比较下列各组数的大小: 21 2/八2(2), (-2与-方(-Il22 jt.函数y=x一1在(0, + 8)上为减函数，又V 3J 3 3 6) 3 16； 3,2 222二%=匕°-w一厂

8、1，3? ?所以(_£<_£<(53 5例8、 已知基函数y=*(r£N)的图象关于y轴对称，且在(0, +)上函数值随x的增大而减小，求满足(3+1)一表(32a)条1勺&的范围. JJ解函数在(0, +8)上递减，.,.3z/7-9<0,解得水3,又加WN*,，加=1,2.又函数图象关于了轴对称， ，39一9为偶数，故勿=1,有(a+1) < (32a)一；.又，=X；在(-8, 0) , (0, +8)上均递减,a+l>3 2a>0 或 0>a+1>3 2a或 a+1<0<32a,23解得U

9、水;或水一L点评（1）解决与累函数有关的综合题时，一定要考虑暴函数的定义.（2） 掠函数y=/,由于a的值不同，单调性和奇偶性也就不同.变式 已知累函数y=x序一2勿一3 （加GZ）的图象与x轴、y轴都无公共点， 且关于y轴对称，求力的值，且画出它的图象.解 由已知，得病一29一3W0,二一lWz»W3.又,: niG Z, / ni= - 1,0,1,2,3,当加=0或%=2时，y=/3为奇函数，其图象不关于y轴对称，不符合题意.当R= -1或勿=3时，有y=x其图象如图所示.当卬=1时，其图象如图所示.练习一、选择题1 .下列命题：累函数的图象都经过点（1,1）和点（0,0）;掠

10、函数的图象不可能在第四象 限；=0时，y=x”的图象是一条直线；黑函数y=x当>0时，是增函 数；掠函数y=x"，当水0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小.其中正确的是（）A.和 B.和 C.和 D.和答案 D2 .下列函数中，不是恭函数的是（）A. y=2v B. y= Z1 C. y=ypc D. y=x答案A3 .设 a 2, 1, k I，I， 1, 2, 3p 则使 F（x） =x"为奇函数且在 乙 J 乙（0, +8）内单调递减的°值的个数是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案A4.当x£（l, +8）时，下列函数图象恒

11、在直线y=x下方的偶函数是（）A.B. yx C. yx D. yxx答案B5.如果暴函数y=(序一3m+3)x序一加一2的图象不过原点，则R的取值是 )A. -B. m=l 或?=2 答案BC. m= 2D. m= 1解析由已知,m3zzt+3 = 1 希一m2W0 zo 1 或 nf 2.6 .在函数y=3, y=2f, y=x2+x, y=l (xWO)中掠函数的个数为()A. 1B. 0 C. 2 D. 3答案C解析依据掠函数的定义判定，应选C.7 .掠函数/Xx)的图象过点(4,，那么f(8)的值为()A. 276 B. 64答案C解析 设f(x)=/ (°为常数)，将卜，

12、斗点代入得m=4°, .a=F(x)，f(8)=8-3=乎.8 .下列函数中，值域为0, +8)的函数是()A. y=2x B. y=x C. yx D. y=log.,x (a>0,且 aWl) 答案B解析根据函数图象，选B.二、填空题1 .若某函数y=f(x)的图象经过点(9,；),则f(25)=.答案4 5解析设 F(x)=x",则 9"=J, a=1 J乙 / 1 1/(25)=25-=-乙 2 .设黑函数y=x”的图象经过点(8,4),则函数7=%的值域是答案0, +8)解析 由 4=8',得 o 2, .、y=芍N0.3 .如图所示是藉函

13、数y二xa在第一象限内的图象，已知a取±2, ± 四个 值，则相应于曲线Cl, C2, C3, C4的a依次为三。1i髭i答案 2, 1 J, -2 乙乙4 .若某函数y=F(x)的图象经过点(2,、)，则f(25)的值是.答案5解析 设y=x",:点(2,在y=x的图象上，,邛=2 ",故 £(25)=25；= 5.乙乙乙5 .森函数y=x" (a£R)的图象一定不经过第 象限.答案四6 .把下列各数2彳，、|卜;，卜I； J (|,|，按由小到大的排列顺序为答案即既47 .已知掠函数f(x)=x若f(a+l)<f(

14、102a),则a的取值范围是 乙答案 3<水5解析 f(x) =x；=，=+ l)<A10-2a),a+1>0, 10-2a>0, a+1>102a.(x>0),由图象知(0,+8)时为减函数，又f(aI a> 1» 得水5, la>3.3<X5.三、解答题211 .求函数y=x§+2/+4 (xN32)值域.1解析：设 £=,.”与一32,"22,则产=干+21+4= (t+1) 2+3. 当 t=-时，Kin = 3.，函数 y=x§+2x5+4 (xN 32)的值域为3, +oo).

15、点评：这是复合函数求值域的问题，应用换元法.2 .已知F(x)=(序+2加为序+力i,勿是何值时，f(x)是(1)正比例函数； 反比例函数；(3)二次函数；(4)黑函数.解(1)若Ax)为正比例函数，则序+加一1 = 1 m= 1.、/+2rW0(2)若/*(x)为反比例函数，则zzf+zzz1 = 1.7,，= m= - 1.川+2川关0若F(x)为二次函数,则谙+m- 1 =2.l±y/13万+2高0' ：，m= 2 .若/U)为黑函数，则序+2%=1, .加=-1 土班。3 .已知点('区2)在募函数f(x)的图象上，点(一2, 1在某函数g(x)的图 象上，问

16、当x为何值时， f(x) >g(x) ； (2) fx) =g(x); (3) f(x) <g(x).%解 设f(x)=x'，由题意得：2=(镜)0 a =2,：.fx)=x.同理可求：g(x)=x-2,在同一坐标系内作出y=f(x)与y=g(x)的图象，如图 所示.由图象可知：(1)当 X>1 或 X<-1 时，f (x) >g (x).(2)当 x=±l 时，f(x)=g(x).(3)当-l<x<O 或 0<x<l 时,f(x)<g(x).4 .已知函数 y= (3 3a+2) X，-5a+5 (a 为常数).(l)a为何值时此函数为黑函数(2)为何值时此函数为正比例函数(3)a为何值时此函数为反比例函数解由题意，得灯3a+2=l,即 J-3a+l=Q解得a=笑亚，即a=%后时，此函数为黑函数; 乙乙由题意,得,a -5a+5 = 1, 且-3a+2 WO.解得a=4,即a=4时，此函数为正比例函数;（3）由题意，得,牙5a+5 = 1 a 3a+2 WO.解得a=3,即3=3时，此函数为反比例函数.5 .已知函数 y=5-2xx2 .（1）求函数的定义域、值域；（2）判断函数的奇偶性；（3）求函数的单调区间.解析：这是复合函数问题，利用换元法令£=15 2x一片，则尸=切，（1）由15