高等代数理论中的一些逆向问题

1、高等代数理论中的一些逆向问题张万海 指导教师：张万儒（河西学院数学与应用数学专业2011届4班55号 甘肃张掖 734000 ）摘 要：在高等代数理论的学习中, 不仅要掌握知识的正面问题, 而且要了解一些问题的逆向问题. 文章对矩阵、线性方程组、线性变换、矩阵的特征值和特征向量等方面的逆向问题进行了讨论, 并给出具体例子加以说明.关键词: 逆向问题；矩阵；线性方程组；特征值；特征向量；线性变换 Some Inverse Questions In Higher AlgebraZhang Wanhai Instructor:Zhang Wanru Mathematics and Applied M

2、athematics,Department of Mathematics, Hexi University, zhangye, Gansu, 734000, China)Abstract: In the study of higher algebric, some conventional questions should be mastered, and their inverse questions should be understood. In this paper, some inverse questions on matrix, system of equations, char

3、acteristic value, characteristic vector, linear transformation were discussed, and these inverse questions were explained by some concrete examples. Keywords: inverse question; matrix; system of linear equations; characteristic value; characteristic vector; linear transformation0 序言高等代数是数学专业必修的专业基础课

4、, 它对提高学生的抽象思维能力与逻辑推理能力、训练创新思维和培养创新能力方面具有十分重要的作用. 学好高等代数不仅要掌握知识的正面问题, 而且要了解一些问题的逆向问题. 这对知识点概念的理解, 对思维能力的提高都有很好的作用. 近年来, 逆向问题的研究一直是人们关注的问题. 文献1综合论述了线性代数理论中替换定理、矩阵相似、二次型、矩阵对角化等命题的逆向问题. 文献2讨论了非齐次线性方程组解的逆向问题. 文献3研究了非齐次线性方程组的解, 线性变换和矩阵对角化等逆向问题. 文献4对矩阵特征值中的反问题进行了研究. 文献5给出了矩阵正定性的判定方法, 讨论了线性方程组的反问题求解. 文献6 研究

5、了非齐次线性方程组在逆-阵类中的反问题. 文献7讨论了的反问题在拟次正定矩阵类中的求解. 本文对文献8,9中的矩阵、线性方程组、线性变换、矩阵的特征值和特征向量等方面的逆向问题进行了讨论, 并给出具体例子加以说明.1预备知识定义1.1 设是矩阵=中元素的代数余子式, 称矩阵 =为A的伴随矩阵.定理1.1 设矩阵= 可逆, 则下面结论成立(1) =;(2) =. 定理1.2 在齐次线性方程组有非零解的情况下, 它有基础解系, 并且基础解系所含解的个数等于, 这里表示系数矩阵的秩. 定理1.3 如果是方程组 （1）的一个特解, 那么方称组(1)的一个解都可以表示成=+ （2）其中是(1)的齐次方程

6、组的一个解. 因此, 对于方程组(1)的任一个特解, 当取遍(1)的齐次方程组的全部解时, (2)就给出(1)的全部解. 设是数域上的向量空间, .定义1.2 设 若存在中一个非零向量a, 使得，则称l0是s的一个特征值, a是s的属于特征值l0的一个特征向量.显然, 若a是s的属于特征值l0的一个特征向量, 则对于", 都有.因此, 任一非零向量a(0)都是属于l0的特征向量.2 高等代数中的一些逆向问题(1) 已知矩阵中的或,求.(i) 已知求.思路 根据=.例已知=, 求.解 于是=.(ii) 已知，求.思路 因为=, 所以若求出, 则可求出, 于是可求出.由=(因为若0,即可

7、逆,由得=, 从而=; 若=0, 则=0.) 可求出, 再求, 进而得.(2) 已知或的通解,求方程组 定理设维向量空间中=(=1,2,) 线性无关, 令=, 元齐次线性方程组的基础解系为=(=1,2,). 令=, 则基础解系为.证明 由于是线性无关的, 则的秩为, 所以的基础解系含有个向量. 又因为矩阵的秩为, 所以的基础解系含有个向量.由()=(0,0,0)转置后有()=0, 即是的解.因此, 是的一个基础解系.推论 设 (=1,2,r)线性无关. 齐次线性方程组以,为基础解系, 其中是矩阵,当且仅当形如的解集合的极大无关组为.其中的含义同定理1, 为的一个特解.例 设方程组的通解为+,，

8、试求该非齐次线性方程组.解 设=.因为,则,即=2+.齐次线性方程组的基础解系为.令=, 则,即 .而非齐次线性方程组,即 (3) 把特解(0,1,1)代人(3)得=1,=1.于是所求非齐次线性方程组为 . (3) 有关矩阵的线性变换的逆向问题问题 在学习线性变换时, 对线性变换在给定基下求矩阵我们会求, 而现在给出矩阵和经过某些变换后所得的矩阵, 要求所作的变换矩阵,或给出矩阵和,及变换后所得的矩阵, 要求写出,之间的关系等式，该怎么处理?思路 利用矩阵的初等变换和初等矩阵之间的关系,即对实行一次行(列)初等变换相当于在的左(右)端乘以相应的初等矩阵.例 设=,经过初等变换后得到的矩阵为,且

9、=. 求可逆矩阵,使得.解 因为 即 所以 又因为 ，则有.例 设有理向量空间的线性变换在基底=, , 下的矩阵是=, 求线性变换及的核子空间的基底.解 取的标准基=,=,=, 则=于是=由在给定基下的矩阵是知,于是对任意，有. 从而=.由于是基底，故当且仅当.令=, 则得线性方程组 =0, 解得=,. 因此=, .所以是以(3,0,-2)为基底的1维子空间.(4) 给出矩阵的有关特征值或特征向量的某些信息,求. 在高等代数教材中已知矩阵, 求的特征值，特征向量的问题是大家熟知的问题，而已知特征值与特征向量求矩阵的问题, 往往被人们忽略了. 对这一问题根据矩阵的对角化大体可分以下三类.(i)

10、设的个特征值为, 它们对应的特征向量分别为,. 若,线性相关, 此时满足条件的矩阵不惟一, 可以通过解线性方程组的方法来求矩阵.例 已知3阶方阵的3个特征值1,1,-1,它们对应的特征向量为, ,. 求矩阵.解 设=, 则 =,两边求转置得=,由=, 解得=1，=0，=0.同理可得 =-1，=0，=1；=0，=2，=1.所以=.(ii) 若,线性无关, 则可对角化, 即存在可逆阵使N,其中N为主对角线上的元素为的特征值的对角形矩阵, 于是=N, 从而可达到求的目的.例 设3阶矩阵的特征值为=1,=2,=3, 对应的特征向量依次为,. 求.解 令=, 则=由已知条件得=, 所以=.(iii) 已

11、知实对称矩阵的特征值以及部分特征向量.例 设三阶实对称阵的特征值为=-1,=1,对应的特征向量=, 求.解 设属于特征值=1的特征向量为=,因为为实对称矩阵, 所以不同特征值对应的特征向量相互正交,于是有,即+.由此解得=,=. 又,即=.参考文献1 刘学鹏.线性代数理论中经典命题的反例研究J.大学数学,2007,23(6):174-177.2 刘学鹏.优美的非齐次线性方程组解的逆向问题J.高等数学研究,2007,10(1):43-44,47.3 刘学鹏.线性代数理论中几个问题的逆向研究J.大学数学,2005,21(6):118-121.4 戴华.矩阵特征值反问题D.南京:南京大学,1998.5 郭忠.矩阵正定性的判定及线性方程组的反问题求解J.科学通报,1987(2):121-124.6 温永仙.在逆M-阵类中的反问题J.福建农业大学学报,1999(02):73-76.7 宋乾坤.的反问题在拟次正定矩阵类中的求解J.重庆师范学院学报(自然科学版),2000(03):53-56.8 张禾瑞,郝鈵新.高等代数(第4版)M.北京:高等教育出版社,1999.9 王蕚芳,石生明等.高等代数(第3版)M.北京:高等教育出版社,2003.10 周树荃,戴华.代数特征值反问