【WORD格式论文原稿】泊松过程在保险收益问题中的应用

1、免费查阅标准与论文：泊松过程在保险收益问题中的应用李冰玉，包研科（辽宁工程技术大学理学院，辽宁阜新 123000）摘要：众所周知，保险业在我国还处于发展阶段，各种体系还不是很完善。同时，我们应该意识到保险业的发展趋势，它将成为人民生活的重要保障。养老保险又是保险业的重要组成 部分，与人们的生活有着密切的联系。养老保险问题的研究对象是服从泊松过程的问题。针 对这一问题给出了检验泊松过程的方法，通过对历史数据的分析可以检验一个问题是否是泊 松过程的。对于服从泊松过程的问题中养老保险这一热点问题进行讨论，讨论保险公司在养 老保险中的收益问题。通过对复合泊松过程可加性的讨论，得出了保险收益问题的求法。

2、 关键词： 泊松过程；养老保险；可加性；保险收益中图分类号：OApplication of Poisson Process in Insurance EarningsLI Bingyu, BAO Yanke(Liaoning Technical University, College of Science ,Fuxin, Liaoning123000)Abstract: As we all know, the insurance industry in China is still in development stage, a variety of system is not perfect

3、. At the same time, we should be aware of the insurance industry trends, it willbecome an important guarantee of people's lives. Pension is an important part of the insurance industry,and people's lives are closely linked with it. Pension issues is poisson process problem. To solve this prob

4、lem, it gives a way to test poisson process, the analysis of historical data one can test whether the problem is the poisson process.To discuss poisson process of pension issue, this hot topic, it discusses the insurance company's earnings in the pension issue. Through the discussion of compound

5、 poisson process additive property, the solution of insurable interest problem is obtained.Key words: poisson process; old-age insurance; additive property; insurable interest引言本文首先探讨泊松过程问题中的养老保险问题，讨论保险公司在养老保险中的收益问 题。然后通过对复合泊松过程可加性的讨论，进一步讨论保险收益问题的求法。正如我们看到的，保险业在我国还处于发展阶段，各种体系还有待进一步完善。同时， 我们应该意识到保险业的

6、发展趋势，它将成为人民生活的重要保障。养老保险又是保险业的 重要组成部分，与人们的生活有着密切的联系。养老保险对于保险公司来说是一种比较稳定 且有效的融资手段，可以为保险公司带来丰厚的收益。对于个体投资者，养老保险是一种稳 定的投资方式，可以带给投资人相对稳定的收益，是一种理想的投资方式。在社会发展的大 环境下考虑，养老保险可以达到双赢，是一种健康的经济运营方式。它将对国家经济的发展 起到促进作用，并且它将成为社会稳定的重要保证。定义 11 计数过程N (t ) , t ³ 0 称为强度（或速率）l 的齐次 Poisson 过程，如果它满足下 列条件：- 5 -（1） P( N0=

7、0) = 1；作者简介：李冰玉（1986），女，学生，系统控制理论与应用. E-mail: libingyujiayou（2）具独立增量；（3 ）对任意 0 £ s < t ，增量 Ns ,t = Nt + N s 具有参数 l (t - s ) 的 Poisson 分布，即P ( Ns ,t = k ) =l (t - s )k !ke- l (t -s ), k = 0,1, 2,.i定义 21设N (t ) , t ³ 0 是强度为 l 的（齐次）Poisson 过程，Y , i = 1, 2,. 是一列独立同N (t )分布的 随机 变量， 并且 与 N (t

8、 ) , t ³ 0 独立 。对 t ³ 0, 令 X (t ) = å Yi ，则 称过 程i =1X (t ) , t ³ 0 为复合 Poisson 过程。1 保险公司在养老保险中的收益问题对于一个问题是否服从泊松分布我们可以通过如下方法进行检验： 检验原理2：由参考文献3知，一个事件流到达过程是泊松过程充分必要条件是其到达间隔 时间序列为独立同分布随机变量序列，且服从指数分布。即检验一个事件流到达过程可以改 为检验其到达间隔是否独立同服从同一指数分布。方法：设开始观察时刻为时间 0.第 i 个事件到达（出现）时刻记为 ti , i = 1,2,.

9、, n,其中 n 要求充分大，一般大于 100，令Ti = ti - ti -1 , i = 1,2,., n, t0 = 0. 对于假设 H 0 : 所观 察的事件流到达过程为泊松过程， H1 : 否则。当 H 0 成立时，T1 , T2 ,., Tn 相互独立同服从 相同指数分布。这样可以将T1 , T2 ,., Tn 看成总体T G(1, l ) 的简单随机样本。于是上述假 设就可以为 H 0¢ : T 服从指数分布（即假设T 的分布函数为指数分布函数 F0 ( x) ）；H1¢ : T 不 服从指数分布。这样就可以用皮尔逊（Pearson） c 2拟合检验 法检验

10、H 0¢ . 具体方法是 记 c1 , c 2 ,., c n 为 T1 , T2 ,., Tn 的观察值，将 包 含c1 , c 2 ,., c n 的某个区间 (t 0 ,t m ) 分成 m 组，即把 (t 0 ,t m ) 分成 m 个不相交的小区间(t,t), j = 1,2,., m, 一般取 m » 1.87(n - 1)0.4 . 用 v 表示 c , c,., c落入第 j 个小区间j -1jvj12n的个数（频数），记 f =j , 称 f 为样本落入第 j 个小区间的频数， j = 1,2,., m. 当 H ¢ 成jnj0n立时，l =1

11、, c = 1 å c ,即l = n .计算概率ic n i =1t np = Pt£ T < t= F (t)- F (t), j = 1,2,., m, 称 np 为样本 T , T ,.,T落入第jj -1j0j0j -1j12nj 个小区间的理论频数。当 H 0¢ 成立时理论频数 np j 与实际频数 v j 相差应很小，从而2m (våj- np j )应很小，否则不能认为 H ¢ 成立，故 H ¢ （即 H ）的拒绝域 为j =1ïì míånp jjj(v - np )2n

12、pïü> C ý000j =1j其中 C 由犯第 1 类错误的概率a 来确定。a 是根据实际事先给定的很小的正数（如 0.1，0.05，0.01 等）。当a 给定后，用类似于“第 5 次掷出几点”中的方1-a法4可确 C 为 c 2(m - 2). 即 H 0¢ 的拒绝域为ïì m (vj2> cíå- np j )21-a)ý(m -2 üï 。j =1np j通过对众多参考文献5- 10的阅读，我们将作如下假设： 本文假设保险公司向保险人的总支付金额是一个复合 pois

13、son 过程11，即把个体参保的到来 看作一个 poisson 序列，每个阶段的个体收益额看作一个随机变量，即得如下定义：本文定义： 称下面的过程 U (t ) , t ³ 0 为连续时间的养老保险泊松盈余过程， U (t ) = u + ct - X (t ), t ³ 0 ，其中：（1）u 为初始盈余， u ³ 0 ；（2）总支付金额X (t ), t ³ 0为复合泊松过程，泊松参数为 l ，个体收益额变量为Y : F ( x ) ；（3） c 为单位时间内的平均收入额。2. 复合泊松过程的可加性定 理1设N1 (t ) , t ³ 0,N

14、2 (t ) , t ³ 0均 为 齐 次 泊 松 过 程 ， 且N1 (t ) , t ³ 0,N2 (t ) , t ³ 0 相互独立，令 N (t ) = N1 (t ) + N2 (t ) ，则N (t ) , t ³ 0 仍为 一个齐次泊松过程。证明：设N1 (t ) , t ³ 0,N2 (t ) , t ³ 0 分别服从参数为 l1 , l2 的泊松过程。Q N1 (t ) , t ³ 0,N2 (t ) , t ³ 0 均为齐次泊松过程 P( N10= 0) = 1， P( N20 = 0) = 1

15、又Q N1 (t ) , t ³ 0,N2 (t ) , t ³ 0 相互独立 P( N (0) = N1 (0) + N2 (0) = 0) = 1由已知，显然N (t ) , t ³ 0 具独立增量Q N1 (t ) , t ³ 0,N2 (t ) , t ³ 0 均为齐次泊松过程对任意 0 £ s < t ，P ( N1 (s, t ) = k ) =()l (t - s )ùûk !l (t - s )ke- l (t -s )k- l (t -s ), k = 0,1, 2,.P N2 (s, t

16、) = k=e, k = 0,1, 2,.k !对任意 0 £ s < t ，P ( N (s, t ) = N1 (s, t) + N2 (s, t ) = k )= P ( N1 (s, t ) = 0) × P ( N2 (s, t ) = k ) + . + P ( N1 (s, t ) = k ) × P ( N2 (s, t ) = 0)k(l + l) × (t - s )-(l +l )×(t -s )=1 2k !e1 2, k = 0,1, 2,.根据定义 1 可得：N (t ) , t ³ 0 为齐次泊松过

17、程定理 2 设 X1 (t ) , t ³ 0,X 2 (t ) , t ³ 0 均 为 复合泊 松 过程的 ，N2 (t )N1 (t )X1 (t ) = å Y1i ，i =1X 2 (t ) = å Y2ii =1，且N1 (t ) , t ³ 0,N2 (t ) , t ³ 0相互独立，Y1i , i = 1, 2, .,Y2i , i = 1, 2, . 相互独立，令 X (t ) = X1 (t ) + X 2 (t ) ，则 X (t ) , t ³ 0 仍 为一个复合泊松过程。证明：Q X1 (t ) ,

18、t ³ 0,X 2 (t ) , t ³ 0 均为复合泊松过程 N1 (t ) , t ³ 0,N2 (t ) , t ³ 0 均为齐次泊松过程由定理 1 令 N (t ) = N1 (t ) + N2 (t ) ，则N (t ) , t ³ 0 为齐次泊松过程Q Y1i , i = 1, 2, .,Y2i , i = 1, 2, . 相互独立，且分别是独立同分布的随机变量令Yi = Y1i + Y2i , i = 1, 2,. ，则Yi , i = 1, 2, . 是一列独立同分布的随机变量N1 (t )+ N2 (t )根据定义 2 可得：

19、 X (t ) =åi =1Y1i + Y2i 为一个复合泊松过程令Y1i = 0, i = N1 (t ) + 1,.,Y2i = 0, i = N2 (t ) + 1, . ， 则X (t ) , t ³ 0 为一个复合泊松过程3. 保险公司在保险中的收益问题U (t ) , t ³ 0本文定理：下面的过程 U (t ) = u + ct - X (t ), t ³ 0（1）u 为初始盈余， u ³ 0 ；。，其中：为连续时间的保险泊松盈余过程 ，（2）总支付金额X (t ), t ³ 0为复合泊松过程，泊松参数为 l ，个体收益额变量为；Y : F ( x )（3） c 为单位时间内的平均收入额。证明：根据本文定义，设各项保险总支付金额。X i (t ) , t ³ 0, i = 1,., n均为复合泊松过程，泊松参数为 li ，个体收益额变量为Yi :Fi ( x ) , i = 1,., n重复利用定理 2 可得：4. 结束语nX (t ) = å X i (t ), t ³ 0, i = 1,.ni=1为复合泊松过程，定理得证。随机过程在现实生活中的应用很多，本文只是就复合泊松问题进