如何求解二次函数中的面积最值问题

1、v1.0可编辑可修改如何求解二次函数中的面积最值问题从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与 数次函数相结合.使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方 法，供同学们在解决这类问题时参考.题目(重庆市江津区)如图1,抛物线y = x2+bx+c与x轴交于 A(1 , 0), B(3, 0)两点.(1) 求该抛物线的解析式；(2) 设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q使得 QAC的周长最小若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2,在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P,使4PBC的面积最大

2、若存在，求出点P的坐标及 PBC的面积最大值；若没有，请说明理由.解答(1)抛物线解析式为y= x2 2x + 3;(2)Q(-1, 2);下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法.一、补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅 助解题，使解题过程简捷、明快.此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或 割，变成有利于表示面积的图形.11v1.0可编辑可修改方法2如图 3,设 P点(x, x2x+3) ( 3<x<0).E 寸S-A- 口一 口树内KJWCO a&AM-q 2 一小而出超但中。 j，若*值前1CW为自】

3、大值.则Sdjrt?就最大,: 5用通币期吗，=0 Mdmt S#*解内解=yj?£ PE + yO£(P£ + OC)-+ 3)(-/ - lt+3) + y(-jc) ( - J - 2x + 3 + 3)3 f 3 d 927"" tI1 + t) + t + r当M =-1时*927r= r。电郁w#最大值三委; Q :* 5&*pc 最大值=-1- + y- 此时。-/-2i + 3 =孕,4二点产坐标为（-!*¥）.方法二如图4,设P点（xx22x+3)( 3<x<0).22§ 皿 =Sam

4、+ S& S&淅=/ m 3( -一 2# + 箝 + / x 3( - jf)（下略.）二、“铅垂高，水平宽”面积法如图5,过 ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫 ABC的“水平宽” （a）,中间的这条直线在 ABC内部线段的长度叫 ABC的v1.0可编辑可修改“铅垂高（h） ”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：Saabc= lah,即三角形2面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.根据上述方法，本题解答如下:解 如图6,作P已x轴于点E,交BC于点F.设 P点(x, x22x + 3) ( 3<x<0).点P坐标为（|,

5、 15）三、切线法若要使 PBC的面积最大，只需使BC上的高最大.过点P作BC的平行线l ,当直线l与抛物线有唯一交点（即点P）时，BC上的高最大，此时 PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法.解 如图7,直线BC的解析式是y = x+3,过点P作BC的平行线l ,从而可设直线l 的解析式为：y=x + b.33v1.0可编辑可修改图7联立fly = - x - 2x + 3x + 6 =-9+ 3 TBP x1 + 3x + i - 3 =0.(4i d = 3J -4(t - 3)=。，得& m % =_六加(明引此时HC上的高方最大，h = MC输乙CW=MC sinOCB上*

6、4 9匹屋 2 - 8，S&mc 工占HC * h £*ni号x3八挈 名fl27 -.8四、三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得.解 如图8,作P已x轴交于点E,交BC于点F,作PM/L BC于点M设 P点(x, x22x + 3) ( 3<x<0),则 F(x , x+3).Sg = yBC * PM=y x PF - BinZPKJf44v1.0可编辑可修改- x1 - 2i + 3) - (jf + 3) x工挈I - 2x +3) -(*alii L OCR.当 x =-会时,-2+3 .竽二点国标为卜#J从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素