2016年中国科学技术大学自主招生数学试题解答

1、2016 年中国科学技术大学自主招生数学试题解析20166一、填空题（每小题 6 分，共 48 分）1.32016除以 100 的余数为解21+由f 3药怡=9100S= (10 - 1)100&,有32OlG=(卯处 +CJOM(叩期-10 (mod 100),于是32OlG= 21 (mod 100)2.复数z，Z2满足|zZ+,1十 I，则|的值是.设起数ZHJ2;；I+;3庄篁平而内的苛盛蛊令別甫A.H.C,刖四迪殆OACB梅扳平打四边诺.的撲为接丁来求它的幅金.在OAC中盛用余苗宅理*有于jt. oosZAOfi =进而可得4i2+ 32- 422 2 33.用 S(A)表示

2、集合A的所有元素之和，且 A 1,2,3,4,567,8, S(A)能被 3 整除，但不能被 5 整除，则符合条件的非空集合A的个数是将集合.4划分为岛=14了4 = 2用川h松=3,6,于是使碍5(A)能械3整除的非空集合.4的个数有(C? + CS)2+ (CJ)2+ (Cl)2 2?- 1 = 87.接下乗垮唐S(A)旄殖15整除的非空集合4的金数，忧时S(A) = 或S(A) = 2Q.(1) SA.)=15.比时按it丸元素分別为&7,分英，分时有去乩1金共计13金.(S)S(A = 3().此时只喘羹常恿= G的情刑，展有d个.塢上所述*甘舍燕件的非空集舍4的卒牡为87-1

3、3-4 = 70.4.已知 AABC 中，si nA，2s in BcosC =0，贝 U tanA 的最大值是询sin A= sii)(ZJ + Q = sinJ?(C l-/3sinCp得3 sinBcos (7 4- cosBKinC = 0,即3tunH+ taiiC = 0.5.若对任意实数x都有|2x-a| J3x-2a|_a2，则a的取值范围是于足tanA = tai (/? + G)=tan B I tanC1 tan13- tanCStanB1 +3tnnJ/?- + 3lan 1?tanBV7学jau(7 =旳时取蒔因此tanA的S解易知环/（!）= |2r-o| + |3

4、z-2a|庭工=鲁 业取得載小；（y）=星 于不等式r i ii因此（i的取值范国是 -.-.6.若很三（孑2），b（0,1），X =（sin）logbSin，y =（cos）logw，则x y（填,=,：）22lo2sin a In2cos asin a oasa = 0 Ln sin a lncosa = In sin a -_=InbInb因此InHAliiy*从而 hA-AC, BD 交于 R ,过P作AB的平行线交 BC 于点 Qi, AQiBC 于点 Q2，若 AB =a,CD =b，则 RQn=.（用 a,b,n 表示）取时戟，可得. In2sina .lir cosnln&am

5、p;7.梯形 ABCD 中，AB/CD，对角线交BD于 P2,易知环/（!）= |2r-o| + |3z-2a|庭工=鲁 业取得載小；（y）=星 于不等式iP、Qi = NJ*则却=CD=扒且2016I8 数列an中，an是与.n 最接近的整数，则 7 -二.n4an因比-)Qoifi为1咼22&忌札出，込耳J4山5,45,，45,V、*“*2牛4勒2k8836 +2OIC |恥 / -、.4.4n=kmI、解答题(第 9 小题满分 16 分，第 10、11 小题满分 18 分)錠 由均值不爭式，有eye因此原苹等式稈证10.求所有函数f :N rN，使得对任意正整数 x 严 y， 0

6、：| f (x) - f (y) |：2 | x-y |.n记A = round ( *57) *则疽k =进而可得9.已知 a,b, c 0 ,a b c =3，再曲柯西干等式有亍2a2L2u + &+ ceye也即k2 k -t-2十 a求 a32=lt具中/(l) EW.帳携腿竈+取y = + it则有时任意HEPPt均有0 0,圍此f为单4L iiitt味着f(x + 1) - f(i)三1或 列丁 +1)列刃三一Lf舌刑芯然岀JX不同的自菠量映财到同一伞正整歌/” #虑到崖时乘舍助闻*,宵此 兀工+1)口)三1琥窃可f(n) = f(l) + u-l)其中/(1)N*.11.求方程 2x-5y71 的所有非负整数解(x, y, z).K= (1|0)(3,0,1)幅堆履总,有(-1 -(-!) 1= 1 (mod 3),凶光工希青*t且F旳儁丸ilr2m-ilty2nyI?中nt:neN.于址尿才淞芋阶于2 4和-耶7 - L* n * 0,剧2 (-1) = L (mod &i.牙蔺，于世联一山叱吋廉才程帝脅于俨一产_J(I)? = 0. nt= ft.因比(Jj/, z) = (1,0.0)怜轿舍对意的一期鲜芸式丄阿= 1 (mod 4|.于是二沖奇轍i i卩臥瞄關淖程辛