二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理

1、二次曲线中点弦性质与蝴蝶定理蝴蝶定理是二次曲线一个著名定理，它充分体现了蝴蝶生态美与“数学美”的一致性不少中数专著或杂志至今还频繁讨论本文揭示 了它与中点弦性质的紧密联系，并给出统一而简明的证明，指出了一种 有用的特殊情形和一种推广形式.引理：设两条不同的二次曲线2 2S : F(x , y)=a11X + 2ai2xy + a22y + 2ai3x + 2a23y + a33=0(1)Sj： 仗，y) = bjjir3+ 2biaxy + b33ya+ 2b13x+ 2b33y+ b33= 0(2)有AB C、D 四个公共点，其中无三点共线，则过 A、B、C D 四 点的任意一条二次曲线 S

2、 必可唯一地表示成：巩盂 y) +入讽石 y) = D(3)|其中 X =w时约定(石 y) = 0,就是曲线 S(证明略)定理 1 设三条不同的二次曲线(S、S、S2)有AB、C、D 四个公共 点，其中无三点共线；又直线 Lo被 S Si、S2各截得一弦若其中两弦中 点重合，则第三弦中点亦重合.副 1证设 S、Si的方程为(1)、(2),则 S2方程可表为.因直线 Lo(设 斜率为 k)关于二次曲线 S S、S2的共轭直径分别为：L : (aiix + ai2y+ ai3)+ k(ai2x + a22y + a23)=f(x , y)=0Lp (bnx + b13y + b13) +k(b1

3、2+ b33+b2J) =(x, y) = 0La； f(xFy) +, y) = 0因 L、Li都通过 Lo被 S 与 Si所截得的弦 PQ 与 EF 的共同中点 O,显 然 L2也必通过点 O,故 O 也是 Lo被 S2所截得的弦 GH 的中点.注 两直线 AB 和 CD 或 AD 和 CB 或 AC 和 BD 都可看做二次曲线 Si的 特殊情形，甚至 E 和 F 重合于 O故本定理包括了蝴蝶定理众多情形.定理 2 设 AB/CD S 和 S 是过AB、C、D 四点的任意两条二次曲 线.若平行于 AB 的任意直线与 S Si各有两个交点，则夹在两曲线之间 的两线段相等.圍 2证设 AB C

4、D 的中点分别为 M N,又 AB/ CD 故直线 MN 就是 AB 关于 S和 Si的共轭直径， 故若平行于 AB 的任意直线被 S、 S 所截的弦 PQ EF 有共同中点 O,故有 PE=QF 命题得证.注由于 PQ 可为 AB 与 CD 之间任意平行弦，皆有 PE=QF 故夹在 S 和Si之间的两曲边区域i和厶2面积相等.i它酷似蝴蝶两翼，不过并非 轴对称，而是沿 AB 方向共轭.如果世上真有这样的蝴蝶，飞行亦能平衡 自如.定理 i 还可推广得到更一般的结论.E 3定理 3 若三条不同的二次曲线 S、S、S2有无三点共线的四个公共 点，沿某一确定方向的任意直线Lo被 S S、S2各截得一

5、弦 PQ EF、GH则三弦中点 O O、Q 之间有向线段之比为常数.证 不妨取坐标系使确定方向为x 轴.于是该方向(k=0)关于 S S、S2的共轭直径分别为(参见定理 1):L : aiix + ai2y + ai3=0Li: biix + bi2y+ bi3=0L2: (aiix + ai2y + ai3)+ 入(biix + bi2y + bi3)=0设直线 Lo方程为 y=yo, PQ EF、GH 的中点为 0(xo, yo) , O(xi, yo), Q(X2,yo)，于是由直径方程知：aiiXo+ ai2yo+ ai3=o, biiXi+ bi2yo+ bi3=o(aiiX2+ ai2yo+ ai3) + 入(biiX2+ bi2yo+ bi3)=o故 aII(X2 Xo)=入 bii(X2Xi) (4)_ Za. _即 OQ/O2O=a(a11工0时)(5)其中a=入 bii/a11是与 yo无关的常数(由 S、S、S2三曲线确定.当 aii=0时，L/ Lo 可知 Lo与 S 无两个交点，故不在本命题讨论之列).(5)式意即：在指定顺序 O Q、O 之下，两有向线段之比不因Lo平行移动而变化.推论 在定理 3 条件下，对任意直线 L0