函数的平均变化率

1、函数的平均变化率新课导入新课导入 为什么在为什么在相同的时间内相同的时间内木块的位移不木块的位移不一样呢？一样呢？动动脑动动脑观察观察函数的平均变化率观察观察 为什么为什么跳水运动员跳水运动员的速度越来的速度越来越快呢？越快呢？函数的平均变化率函数的平均变化率函数的平均变化率平均速度平均速度瞬时速度瞬时速度平均变化率平均变化率瞬时变化率瞬时变化率割线斜率割线斜率切线斜率切线斜率导数导数基本初等函数导数公式基本初等函数导数公式导数运算法则导数运算法则导数的简单应用导数的简单应用微积分基本定理微积分基本定理定积分定积分曲边体形的面积曲边体形的面积变速直线运动的路程变速直线运动的路程定积分在几何、物

2、理中的应用定积分在几何、物理中的应用函数的平均变化率1.1 导数导数函数的平均变化率1.1.1 函数的平均变化率函数的平均变化率 丰富多彩的变化率问题丰富多彩的变化率问题随处可见随处可见. 让我们从其中的让我们从其中的两个问题，开始变化率与导两个问题，开始变化率与导数的学习吧！数的学习吧！函数的平均变化率教学目标教学目标知识与能力知识与能力 掌握平均变化率的概念，掌握平均变化率的概念，感受平均变化率广泛存在于日常感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，体会数学的博大精深生活之中，体会数学的博大精深以及学习数学的意义以及学习数学的意义.函数的平均变化率过程与方法过程与方法 (1) 体会平均变化率的

3、思想及其内体会平均变化率的思想及其内涵，通过分析实例，了解平均变化率涵，通过分析实例，了解平均变化率的概念的概念. (2)通过函数图象直观地理解平均通过函数图象直观地理解平均变化率变化率.函数的平均变化率情感态度与价值观情感态度与价值观 让学生在知识的量上有所收让学生在知识的量上有所收获，体会到其中蕴含的丰富的思获，体会到其中蕴含的丰富的思想，逐渐掌握数学研究的基本思想，逐渐掌握数学研究的基本思考方式和方法考方式和方法.函数的平均变化率教学重难点教学重难点重点重点 体会平均变化率的思想及体会平均变化率的思想及其内涵，求解步骤其内涵，求解步骤.难点难点平均变化率的概念及其意义平均变化率的概念及其

4、意义.函数的平均变化率函数的平均变化率 我们都吹过气球回忆一下吹气球的我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程过程,可以发现可以发现,随着气球内空气容量的随着气球内空气容量的增加增加,气球的半径增加越来越慢气球的半径增加越来越慢.从数学从数学角度角度,如何描述这种现象呢如何描述这种现象呢?函数的平均变化率l 气球的体积气球的体积V(单位单位:L)与半径与半径r单位单位:(dm)之间的函数关系是之间的函数关系是34V(r) =r3l如果将半径如果将半径r r表示为体积表示为体积V V的函数的函数, ,那么那么33Vr(V) =4函数的平均变化率l当当V从从0增加到增加到1时时, ,气球半径增加气球半径

5、增加气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为r(1)-r(0)0.62(dm)r(1)-r(0)(dm/ L)1-00.62l当当V V从从1 1增加到增加到2 2时时, ,气球半径增加气球半径增加气球的平均气球的平均膨胀率膨胀率为为r(2)-r(1)0.16(dm)r(2)-r(1)(dm/ L)2-10.16 显然显然0.620.16函数的平均变化率思考思考l当空气当空气容量从容量从V1增加到增加到V2时时, ,气球的平气球的平均膨胀率是多少均膨胀率是多少? ?2121()()r Vr VVV你想你想对了对了吗？吗？函数的平均变化率 想想运想想运动员跳水的动员跳水的过程？过程？函数的平均变化率

6、 在高台跳水运动中在高台跳水运动中, ,运动员相对于水面运动员相对于水面的高度的高度h( (单位：米单位：米) )与起跳后的时间与起跳后的时间t（单位：（单位：秒）存在函数关系秒）存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态度粗略地描述其运动状态? ?请计算请计算0t0.5和和1t2时的平均速度时的平均速度函数的平均变化率在在0 t 0.5这段时间里这段时间里h(0.5)-h(0)v = 4.05 m/s)0.5-0（在在1 t 2这段时间里这段时间里h(2)-h(1)v = -8.2 m /

7、s)2-1（函数的平均变化率探究探究 计算运动员在计算运动员在 这段时间里这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：的平均速度，并思考下面的问题：650t49 （1）运动员在这段时间里是静止的吗？）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员运动）你认为用平均速度描述运动员运动状态有什么问题？状态有什么问题？函数的平均变化率 平均速度不能反映他在这段平均速度不能反映他在这段时间里运动状态，需要用瞬时速时间里运动状态，需要用瞬时速度描述运动状态度描述运动状态. . 函数的平均变化率 同学们同学们，从，从上面的问题中能上面的问题中能够发现什么共同够发现什么共同点呢？点呢？想一想想一

8、想函数的平均变化率总结总结 以上两个问题都是求变化率，以上两个问题都是求变化率，我们可以用函数关系式我们可以用函数关系式y=f(x)来表来表示示. 那么变化率为那么变化率为2121f(x )-f(x )x -x函数的平均变化率 上述问题中的变化率可用上述问题中的变化率可用式子式子 表示称为表示称为函数函数f(x)从从x1到到x2的的平均变化率平均变化率.2121f(x )-f(x )x -x很重要！很重要！函数的平均变化率l一般我们用一般我们用x 表示表示 ， 即即 .2121x -xx -x2121x = x -xx = x -x2 21 1类类似似地地, , f f = =f f x x-

9、 -f f x x. .于于是是, ,平平均均变变化化率率可可示示为为 f f x x表表函数的平均变化率注意！注意！ 是一个整体符号，是一个整体符号，而不是而不是 与与 相乘相乘.xx很重要！很重要！函数的平均变化率1 .已知函数已知函数f(x)=-x2的图象上的一的图象上的一点点A(-1,-1)及临近一点及临近一点B(0,0), ,则则y/x=( )=( )A. 3 B. 4 C. 1 D. -1 c函数的平均变化率解：解：=0- -(-1)=1；=0-（-1）=1；yx1yx函数的平均变化率 思考思考 观察函数观察函数f(x)的图象的图象平均变化率平均变化率表示什么表示什么? ?2121

10、f(x )-f(x )x -xO OA AB Bx xy yY=f(x)x x1 1x x2 2f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )X X2 2-x-x1 1f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1) )直线直线AB的斜率的斜率函数的平均变化率 汽车在前两秒内速度由汽车在前两秒内速度由0增加到增加到10m/s,在在后两秒内增至后两秒内增至30m/s,其运动状态如何呢？其运动状态如何呢？如果我们用平均速度描述其运动状态，如果我们用平均速度描述其运动状态， 前两秒内前两秒内: v=5 (m/s)后两秒内：后两秒内：v=10 (m/s)你想对了你想对了吗？吗？函数的平均变化率想一想想

11、一想 你还能想到生活中类似你还能想到生活中类似的问题吗？举个例子吧！的问题吗？举个例子吧！函数的平均变化率课堂小结课堂小结 我们把式子我们把式子 称为函数称为函数 f(x)从从 到到 的的平均变化平均变化 率率 . （ average rate of change）21212121f x-f xf x-f xx - xx - x1x2x函数的平均变化率 平均变化率的求解步骤：平均变化率的求解步骤：（1）求函数的增量求函数的增量f=y=f(x2)-f(x1);（2）计算平均变化率计算平均变化率fx.2121f(x )-f(x )x -x函数的平均变化率1 . 已知函数已知函数f(x)=-x2+x

12、的图象上的一点的图象上的一点A（-1,-2）及临近一点及临近一点B（-1+x,-2+y），），则则y/x= =（ ） A . 3 B. 3x-(x)2 C. 3-(x)2 D. 3-x D随堂练习随堂练习函数的平均变化率2 . 函数函数 在区间在区间 上的上的平均变化率是（平均变化率是（ ） 2 2f f x x = = x x- -1 1, ,3 3A.4 B.2 1434C. D.B2 2 y3 -1y3 -1解解：=2=2 x3-(-1)x3-(-1)函数的平均变化率3. 函数函数 在区间在区间1，1.5上的平均上的平均变化率为变化率为_.2y = 2x222-1.15.1.5-1yx

13、得得（1 1. .5 5）5解：由平均变化率的公式解：由平均变化率的公式函数的平均变化率4. 已知函数已知函数 ,则变化率可用式子则变化率可用式子_，此式称之为函数从，此式称之为函数从 到到 的的_. 平均变化率可以表示为平均变化率可以表示为_. f x2121fx- fxx - x1x2x平均变化率平均变化率yx你做对了你做对了吗？吗？函数的平均变化率5. 过曲线过曲线y=f(x)=x3上两点上两点P（1，1）和和Q （1+x,1+y）作曲线的割线，求出当作曲线的割线，求出当x=0.1时割线的斜率时割线的斜率.解：解： K=3x+(x)2=3+30.1+(0.1)2=3.31.函数的平均变化率6. 已知一次函数已知一次函数 在区间在区间-2，6上的平均变化