高考数学一轮复习总教案106　空间向量及其运算

1、10.6空间向量及其运算典例精析题型一共线和共面向量【例1】 设A、B、C及A1、B1、C1分别是异面直线l1、l2上的三点，而M、N、P、Q分别是线段AA1、BA1、BB1、CC1的中点，求证：M、N、P、Q四点共面.【证明】因为，所以2，2，又()，2，2，所以(22)，所以、共面，即M、N、P、Q四点共面.【点拨】可以利用共面向量定理或其推论完成证明.用共线向量定理证明线线平行，从而证明面面平行，更简捷，使问题简单化.【变式训练1】如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1中，M为DD1的中点，NAC，且ANNC2，求证：A、B、N、M四点共面.【证明】设a，b，c，则ba.因为M是DD1

2、的中点，所以ca.因为ANNC2，所以(bc)，所以(bc)a(ba)(ca)，所以A、B、M、N四点共面.题型二利用向量计算长度和证明垂直【例2】已知平行六面体ABCDA1B1C1D1所有棱长均为1，BADBAA1DAA160°.(1)求AC1的长；(2)求证：AC1平面A1BD.【解析】(1)设a，b，c，则a·bb·cc·a1×1×cos 60°，a2b2c21.而abc，所以|2(abc)2a2b2c22a·b2b·c2a·c1112×2×2×6，即|.(2

3、)证明：因为ac，所以·(abc)·(ac)a2c2a·bb·c110.所以.同理可得.所以AC1平面A1BD.【点拨】利用|a|2a2是计算长度的有效方法之一；而利用向量数量积为零是证明垂直问题的常用方法之一.【变式训练2】已知平行六面体ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且AA1与AB，AD的夹角都是120°.求AC1的长.【解析】|22()22222·2·2·a2a2b202abcos 120°2abcos 120°2a2b22ab.所以|AC1|

4、.题型三利用坐标求法向量和证明垂直问题【例3】 正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为1，E，F分别是BB1，CD的中点.(1)求证：D1F平面ADE；(2)求平面ADE的一个法向量.【解析】(1)建立如图所示的直角坐标系Dxyz，则D1(0,0,1)，A(1,0,0)，D(0,0,0)， F(0，0)，E(1,1， ).所以(0，1)， (1,0,0)，(0,1，)，因为·0，所以，又·0，所以，所以D1F平面ADE.(2)由(1)知D1F平面ADE，故平面ADE的一个法向量为(0，1).【点拨】空间向量坐标化，大大降低了立体几何试题的难度，同学们需要善于利用.【变式训

5、练3】 已知平面内有一个点M(1，1,2)，平面的一个法向量为n(6，3,6)，则下列各点中，在平面内的是()A.A(2,3,3)B.B(2,0,1)C.C(4,4,0)D.D(3，3,4)【解析】由于n(6，3,6)是平面的法向量，所以它应该和平面内任意一个向量垂直，只有在选项A中，(2,3,3)(1，1,2)(1,4,1)，·n0.故选A.题型四利用坐标法求解线面及面面位置关系【例4】如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点.(1)证明：平面AED平面A1FD1；(2)在AE上求一点M，使得A1M平面DAE.【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐

6、标系Dxyz，不妨设正方体的棱长为2，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)，D1(0，0,2).设平面AED的一个法向量为n1(x1，y1，z1)，则所以2x10,2x12y1z10.令y11，得n1(0,1，2).同理可得平面A1FD1的一个法向量为n2(0,2,1).因为n1·n20，所以平面AED平面A1FD1.(2)由于点M在直线AE上，所以可设·(0,2,1)(0,2，)，可得M(2,2，)，于是(0,2，2).A1M平面DAE，则A1MAE，所以·(0,2，2) (0,2,1)520，得.故当AM

7、AE时，A1M平面DAE.【变式训练4】 已知(2,2,1)，(4,5,3)，求平面ABC的单位法向量.【解析】设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则n·0，且n·0，即2x2yz0且4x5y3z0，解得所以nz(，1,1)，单位法向量n0±(，).总结提高1.利用共线向量定理，可解决立体几何中三点共线和两直线平行等问题.2.利用共面向量定理，可解决立体几何中直线在平面内，直线与平面平行以及四点共面等问题.3.同时要重视空间向量基本定理的运用，要注意空间向量基底的选取，用基向量表示出已知条件和所需解决问题的所有向量，将几何问题转化为向量问题.4.用空间向量处理某些立体几何问题时，除要有应用空间向量的意识外，关键是根据空间图形的特点建立恰当的空间直角坐标系.若坐标系选取不当，计