高考数学总复习空间向量及其应用

1、第六节 空间向量及其应用考纲解读1.空间向量及其运算.（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；（3）掌握空间向量的数量积及其表示，能用向量的数量积判断向量的共线与垂直.2.空间向量的应用.（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究几何问题中的应用.命题趋势探究立体几

2、何试题中，证明线面、面面的位置关系一般利用传统方法（非向量法）证明，对于空间角和距离的计算，既可用传统方法解答，也可以用向量法解答，而且多数情况下向量法会更容易一些.预测在2015年高考对本专题的考查会在解答题中以中档题出现，分值保持在12分左右.知识点精讲一、空间向量及其加减运算1.空间向量在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量的起点是，终点是，则向量也可以记作，其模记为或.2.零向量与单位向量规定长度为0的向量叫做零向量，记作.当有向线段的起点与终点重合时，.模为1的向量称为单位向量.3.相

3、等向量与相反向量方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量.与向量长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为.4.空间向量的加法和减法运算（1），.如图8-152所示. （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律，二、空间向量的数乘运算1数乘运算实数与空间向量的乘积称为向量的数乘运算.当时，与向量方向相同；当时，向量与向量方向相反.的长度是的长度的倍.2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律，.3.共线向量与平行向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做

4、共线向量或平行向量，平行于，记作.4.共线向量定理对空间中任意两个向量，的充要条件是存在实数，使.5.直线的方向向量如图8-153所示，为经过已知点且平行于已知非零向量的直线.对空间任意一点，点在直线上的充要条件是存在实数，使，其中向量叫做直线的方向向量，在上取，则式可化为和都称为空间直线的向量表达式，当，即点是线段的中点时，此式叫做线段的中点公式.6.共面向量如图8-154所示，已知平面与向量，作，如果直线平行于平面或在平面内，则说明向量平行于平面.平行于同一平面的向量，叫做共面向量.图 8-1547.共面向量定理如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使

5、.推论：（1）空间一点位于平面内的充要条件是存在有序实数对，使；或对空间任意一点，有，该式称为空间平面的向量表达式.（2）已知空间任意一点和不共线的三点，满足向量关系式（其中）的点与点，共面；反之也成立.三、空间向量的数量积运算1.两向量夹角已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量，的夹角，记作，通常规定，如果，那么向量，互相垂直，记作.2.数量积定义已知两个非零向量，则叫做，的数量积，记作，即.零向量与任何向量的数量积为0，特别地，.3.空间向量的数量积满足的运算律：，（交换律）；（分配律）.四、空间向量的坐标运算及应用（1）设，则；.（2）设，则. 这就是说，一个向量在直角坐标系中

6、的坐标等于表示该向量的有向线段的终点的坐标减起点的坐标.（3）两个向量的夹角及两点间的距离公式.已知，则；已知，则,或者.其中表示与两点间的距离，这就是空间两点的距离公式.（4）向量在向量上的射影为.（5）设是平面的一个法向量，是内的两条相交直线，则，由此可求出一个法向量（向量及已知）.（6）利用空间向量证明线面平行：设是平面的一个法向量，为直线的方向向量，证明，（如图8-155所示）.已知直线（），平面的法向量，若，则.（7）利用空间向量证明两条异面直线垂直：在两条异面直线中各取一个方向向量，只要证明，即.（8）利用空间向量证明线面垂直：即证平面的一个法向量与直线的方向向量共线.图 8-15

7、5（9）证明面面平行、面面垂直，最终都要转化为证明法向量互相平行、法向量互相垂直.（10）空间角公式.异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则.线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则.二面角公式：设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则或（需要根据具体情况判断相等或互补），其中.（11）点到平面的距离为，为平面的法向量，则.题型归纳及思路提示题型116 空间向量及其运算思路提示空间向量的运算包括空间向量的加法、减法、数乘、数量积的几何意义及坐标运算，可以类比平面向量的运算法则.一、空间向量的加法、减法、数乘运算

8、例8.41 如图8-156所示，已知空间四边形，点分别为，的中点，且，用，表示，则.解析 ，.变式1 如图8-157所示，已知空间四边形，其对角线为，和分别是对边和的中点，点在线段上，且，现用基向量，表示向量，设，则的值分别是（ ）变式2 如图8-158所示，在四面体中，为的中点，为的中点，则（用，表示）.变式3 在空间四边形中，连接对角线，若是正三角形，且为其重心，则的化简结果为.变式4 如图8-159所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则下列向量中与相等的向量是（ ）二、空间共线向量定理的应用空间共线向量定理：.利用此定理可解决立体几何中的平行问题.例8.42 已知，且不共面，若，求的值

9、.解析 因为且，所以，即.又因为不共面，所以，解得.二、空间向量的数量积运算；求模长时，可根据；求空间向量夹角时，可先求其余弦值.要判断空间两向量垂直时，可以求两向量的数量积是否为0，即.为锐角；为钝角.由此，通常通过计算的值来判断两向量夹角是锐角还是钝角.例8.43 已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于，点分别是的中点，的值为（ ）.解析 依题意，点分别是的中点，如图8-160所示，.故选.变式1 如图8-161所示，已知平行六面体中，且，则.变式2 如图8-162所示，设是空间不共面的4个点，且满足，则的形状是（ ）.钝角三角形直角三角形锐角三角形 无法确定例8.44 如图8-163所

10、示，在的二面角的棱上有两点，点分别在内，且，则的长度为.分析 求的长度转化为求空间向量的模.解析 因为，故，设点在内的射影为，则，.故.故，则.变式1 已知二面角为，动点分别在面内，到的距离为，到的距离为，则两点之间距离的最小值为（ ）.变式2 在直角坐标系中，设，沿轴把坐标平面折成的二面角后，的长为（ ）.例8.45 如图8-164所示，设动点在棱长为1的正方体的对角线上，记.当为钝角时，求的取值范围.解析 由题设可知，以为单位正交基底，建立如图8-165所示的空间直角坐标系，则有，.由，.显然不是平角，所以为钝角，等价于，即，得.因此，的取值范围是.评析 利用向量知识将为钝角转化为求解是本

11、题的关键.变式1 已知正方体的棱长为1，点在线段上，当最大时，三棱锥的体积为（ ）.例8.46 如图8-166所示，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为（ ）.解析 取的中点，以为轴，垂直于的为轴，为轴，建立空间直角坐标系如图8-167所示.设，正方形的边长为， 则，得，即.所以点在正方形内的轨迹为一条线段，且过点和的中点.故选.评注 本题利用空间线面位置关系求解也很快.由题意知空间内与两定点距离相等的点均在线段中垂面内，即在线段的中垂面内.又为底面内一动点，则的轨迹为两平面的交线落在底面内的部分，排除、.又，故排除.故选.变式

12、1 到两互相垂直的异面直线距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ）.直线 椭圆 抛物线 双曲线变式2 空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离，已知平面，两两互相垂直，点，点到，的距离都是3，点是上的动点，满足到的距离是点到点距离的2倍，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（ ）.题型117 空间向量在立体几何中的应用思路提示用向量法可以证点共线、线共点、线（或点）共面、两直线（或线与面、面与面）垂直的问题，也可以求空间角和距离.因此，凡涉及上述类型的问题，都可以考虑利用向量法求解，且其解法一般都比较简单.

13、用向量法解题的途径有两种：一种是坐标法，即通过建立空间直角坐标系，确定出一些点的坐标，进而求出向量的坐标，再进行坐标运算；另一种是基底法，即先选择基向量（除要求不共面外，还要能够便于表示所求的目标向量，并优先选择相互夹角已知的向量作为基底，如常选择几何体上共点而不共面的三条棱所在的向量为基底），然后将有关向量用基底向量表示，并进行向量运算.一、证明三点共线（如A，B，C三点共线）的方法先构造共起点的向量，然后证明存在非零实数，使得.例8.47 如图8-168所示，已知在长方体中，点为的中点，点 在上，且，点为的中点.求证：，三点共线.解析 以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图8-169所示.不

14、妨设，则，则，因为，故，三点共线.变式1 在正方体中，,分别为棱和的中点，则在空间中与三条直线，都相交的直线（ ）.不存在 有且只有两条 有且只有三条 有无数条变式2 如图8-170所示，在空间四边形中，分别是和的中点，为线段的中点，为的重心.求证：三点共线.二、证明多点共面的方法要证明多点（如，）共面，可使用以下方法解题.先作出从同一点出发的三个向量（如，），然后证明存在两个实数，使得.例8.48 如图8-171所示，平面平面，四边形与都是直角梯形，.求证：四边共面.解析 由平面平面，又，平面平面，得平面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图8-172所示.设，则，.，因为，所以，则确定一

15、个平面，即四点共面.变式1 如图8-173所示，已知平行六面体，分别是棱的中点. 求证：四点共面.三、证明直线和直线平行的方法将证线线平行转化为证两向量共线.设是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为，则.例8.49 如图8-174所示，在正方体中，是异面直线与的公垂线段.求证：.解析 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图8-175所示.设正方体的棱长为，则，.设，由是异面直线与的公垂线段，得，又，故，令，则，所以，即.因此.四、证明直线和平面平行的方法（1）利用共面向量定理.设为平面内不共线的两个向量，证明存在两个实数，使得，则.（2）转化为证明直线和平面内的某一直线平行.（3）转化为证

16、明直线的方向向量与平面的法向量垂直（此方法最常用）.例8.50 如图8-176所示，在直四棱柱中，已知，是的中点.求证：平面.解析 因为，是的中点，所以.又因为平面，所以平面.评注 利用空间向量证明线面平行，已知直线的方向向量为，只要在平面内找到一条直线的方向向量为，问题转化为证明即可.变式1 如图8-177所示，已知是正方形所在平面外一点，、分别是、上的点，且.求证：直线平面.五、证明平面与平面平行的方法（1）证明两平面内有两条相交直线分别平行.（2）转化为证两平面的法向量平行（常用此方法）.例8.51 如图8-178所示，在正方体中，分别是 的中点.求证：平面平面.解析 解法一：以为坐标原

17、点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图8-179所示.设正方体的棱长为，则，所以，即，所以，即.因为，所以平面平面.解法二：设平面的法向量为，由，得，令，得，所以.设平面的法向量为，由，得，令，得，所以.因为，所以平面平面.变式1 如图8-180所示，在平行六面体中，分别是的中点.求证:平面平面.六、证明直线与直线垂直的方法设直线的方向向量为，则.这里要特别指出的是，用向量法证明两直线尤其是两异面直线垂直是非常有效的方法.例8.52 如图8-181所示，四棱锥中，底面为矩形，侧面底面，.求证：.分析 平面平面，在平面内作平面，以点为坐标原点建立空间直角坐标系.解析 作，垂足为，则平面，

18、且为的中点，以为坐标原点，为轴，建立如图8-182所示的直角坐标系.设，由已知条件知，.因为，所以。即.评注：。变式1 如图8-183所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于.点M，N分别为边AB，CD的中点.求证：MN为AB和CD的公垂线.七.证明直线与平面垂直的方法(1)证明直线和平面内的两天相交直线垂直.(2)证明直线和平面内的任一直线垂直.(3)转化为证明直线与平面的法向量共线.例8.53 如图8-184所示,在直四棱柱ABCD-中,已知ABCD,AB=AD=1,=CD=2.ABAD.求证：BC平面.解析 如图8-185所示,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,所以,因为,

19、所以.因为又面,所以BC平面.变式1 正三棱锥O-ABC的三条侧棱OA,OB,OC两两垂直，且长度均为2，E，F分别是AB，AC的中点，H是EF的中点，过EF的一个平面与侧棱OA,OB,OC或其延长线分别交于，。求证：面.变式2 如图8-186所示,在四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ABAD,ACCD,ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:PD面ABE.八.证明平面和平面垂直的方法(1)转化为证明两平面的法向量互相垂直(2)转化为证明一平面内的一条直线垂直于另一个平面.例8.54 如图8-187所示，在正方体ABCD-中，E，F分别是，CD的中点，求证：平面

20、DEA平面。解析 如图8-188所示，以D为坐标原点,建立空间直角坐标系,令,则设分别为平面DEA与平面的法向量，则又则令，得同理可得。所以。故平面DEA平面变式1 如图8-189所示，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，ABCD，DAB=90°，PA底面ABCD，且PA=AD=DC=½AB=1.求证：平面PAD平面PCD。九求两异面直线所成角的方法设两异面直线a和b的方向向量为和，利用求角余弦公式可求得和的夹角，由于两向量所成角的范围是0,而两异面直线所成角的范围是。所以。例8.55 如图8-190所示，已知点P在正方体ABCD的对角线上，PDA=60°，求

21、DP与CC所成角的大小。分析 从PDA=60°入手，确定点P的坐标与其相关点的坐标，利用向量的数量积来就是异面直线所成角的余弦值。解析：如图8-191所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D-xyz，则A(1,0,0），C(0,1,0），C(0,1,1），。连接，在平面BD中，延长DP交于，设由已知得，即可，解得，所以。因为所以=45°，即求DP与CC所成角的大小为45°.变式1 已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE与SD所成角的余弦值为（ ）变式2 如图8-192所示，等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB

22、，二面角C-AB-D的余弦值为，M，N分别是AC，BC的中点，则EM和AN所成角的余弦值等于。变式3 如图8-193所示，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是棱形，AB=2，BAD=60°，若PAAB，求PB与AC所成角的余弦值。十求直线与平面所成角的方法（）先作出该角，再利用求角余弦公式来求。（）改求直线的方向向量与平面的法向量所成角的余角，如图所示，设直角的方向向量为，平面的法向量为，直线和平面所成角为，则或，因为的取值范围是，所以。例.如图所示，四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD，已知ABC°，BC，AB，SAS

23、B，求直线SD与平面面SAB所成角的正弦值。解析 如图8-196所示，作,垂足为，连接，由侧面底面，得底面，由，可得。由ABC=45°，得ABO为等腰直角三角形，建立空间直角坐标系，则，由得令，则得，设直线与平面SAB所成角为，则所以直线与平面SAB所成角的正弦值为.变式1 如图8-197所示，在四棱锥P-ABCD中，PD底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC，E，F分别是AB,PB的中点，求DB与平面DEF所成角的正弦值。变式2 如图8-198所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA底面ABCD，PA=AD=4,AB =2,以AC的中点O为球心，以AC为直径的

24、球面交PD于点M，求直线CD与平面ACM所成角的正弦值。变式3, 如图8-199所示，四棱锥S-ABCD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1.求AB与平面SBC所成角的正弦值十一、求平面与平面所成角的方法 （1） 在平面内，在平面内，（是交线的方向向量），其方向如图8-200所示，则二面角-的平面角的余弦值为。(2)设是二面角-的两个半平面的法向量，其方向一个指向二面角内侧，另一个指向二面角的外侧，则二面角-的余弦值为。例8.57 如图8-201所示，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，PA=AB=2，ABC=60°

25、，E,F分别为BC，PC的中点，求二面角E-AF-C的余弦值。解析 因为AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图8-202所示的空间直角坐标系A-xyz，又E，F分别为BC，PC的中点，所以（,），设平面AEF的法向量为，则，又得，令，则。因为BDAC，BDPA，PAAC=A，所以BD平面PAC，故为平面AFC的法向量。又所以由图知所求的二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为。变式1 如图8-203所示，已知四棱锥P-ABCD，PBAD，侧面PAD是边长等于2的正三角形，底面ABCD为棱形，侧面PAD与底面ABCD所成二面角为120°，求平面APB与平面CPB所成二面角的余

26、弦值。变式2 如图8-204所示，四棱锥S-ABCD中，SD底面ABCD，ABDC，ADDC，AB=AD=1，DC=SD=2，E为棱SB上一点，平面EDC平面SBC，求二面角A-DE-C的大小。变式3 如图8-205所示，直三棱柱中，ACB=90°，AC=1，CB=，侧棱=1，侧面的两条对角线的交点为D，的中点为M，求平面与平面CDM所成二面角的正弦值。十二.求点到平面距离的方法如图8-206所示,平面的法向量为,点Q是平面内一点,点P是平面外的任意一点,则点P到平面的距离d,就等于向量在法向量方向上的投影的绝对值,即或例8.58 如图8-207所示,该多面体是由底面为ABCD的长方体被截而得到的,其中AB=4,BC=2,BE=1,求点C到平面的距离.解析 建立如图8-208所示的空间直角坐标系D-xyz,则.设,因为四边形为平行四边形,所以,得(-2,0,z)=(-2,0,2),故z=2，F（0,0,2），设为平面的法向量，由得，又，得，令，得，又，则点C到平面的距离变式1 如图8-209所示，在直三棱柱中，ACB=90°，AC=BC=a，D，E分别为棱AB，BC的中点，M为棱上的点，二面角M-DE-