高考数学第九章平面解析几何第7课时椭圆2更多资料关注微博高中学习资料库

1、第九章平面解析几何第7课时椭 圆(2)1. 已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为_答案：1解析：e，2a12，a6，b3，则所求椭圆方程为1.2. 已知F1、F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_. 答案：3解析：依题意，有可得4c2364a2，即a2c29，故b3.3. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C于点D, 且2，则C的离心率为_答案：解析：(解法1)如图，|BF|a.作DD1y轴于点D1，则由2，得，所以|DD1|OF|c，即x

2、D，由椭圆的第二定义得|FD|ea.又由|BF|2|FD|，得a2a，即e.(解法2)设椭圆方程为1(ab，b0)，设D(x2，y2)，F分 BD所成的比为2，xFx2xFc；yFy2，代入··1e.4. F1，F2是椭圆y21的左右焦点，点P在椭圆上运动则·的最大值是_答案：1解析：设P(x，y)，依题意得F1(，0)，F2(，0)，·(x)(x)y2x2y23x22. 0x24，2x221. ·的最大值是1.5. 已知F1、F2为双曲线C：x2y21的左、右焦点，点P在C上，F1PF260°，则|PF1|·|PF2|_答

3、案：4解析：由余弦定理得cosF1PF2cos60°，即|PF1|·|PF2|4.1. 椭圆的第二定义平面内动点P到定点F的距离和它到定直线l的距离的比是常数e(点F不在直线l上)的点的轨迹是椭圆定点F是焦点，定直线l是准线，常数e是离心率2. 椭圆的焦半径(1) 对于焦点在x轴上的椭圆1(ab0)，设P(x，y)是椭圆上任一点，则|PF1|aex；|PF2|aex(2) 对于焦点在y轴上的椭圆1(ab0)，设P(x，y)是椭圆上任一点，则|PF1|aey；|PF2|aey.题型1求综合情况下椭圆的基本量例1如图，F1、F2是椭圆1(a>b>0)的左、右焦点，点

4、M在x轴上，且，过点F2的直线与椭圆交于A、B两点，且AMx轴，·0.(1) 求椭圆的离心率；(2) 若ABF1的周长为4，求椭圆的方程解：(1) 设F1(c，0)，F2(c，0)，A(x0，y0)，椭圆的离心率为e，则M，x0c.e， |AF1|aex0.同理，|AF2|aex0.·0， AF1AF2， |AF1|2|AF2|2|F1F2|2，(aex0)2(aex0)24c2, 即a2e2x2c2. x0c， a2e2·c22c2, 1e42e2，即3e48e240， e2或2(舍)，椭圆的离心率e.(2) ABF2的周长为4， 4a4， a.又， c2, b

5、22.椭圆方程为1.已知椭圆的右焦点F，左、右准线分别为l1：xm1，l2：xm1，且l1、l2分别与直线yx相交于A、B两点(1) 若离心率为，求椭圆的方程；(2) 当·<7时，求椭圆离心率的取值范围解：(1) 由已知，得cm，m1，从而a2m(m1)，b2m.由e，得bc，从而m1.故a，b1，得所求椭圆方程为y21.(2)易得A(m1，m1)，B(m1，m1)，从而(2m1，m1)，(1，m1)，故·2m1(m1)2m24m2<7，得0<m<1.由此离心率e，故所求的离心率取值范围为. 题型2与椭圆第二定义有关的问题例2设A、B分别为椭圆1(a

6、>b>0)的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且直线x4是它的右准线(1) 求椭圆的方程；(2) 设P为椭圆右准线上不同于点(4，0)的任意一点，若直线BP与椭圆相交于两点B、N，求证：NAP为锐角(1) 解：依题意，得解得从而b，故椭圆的方程为1 .(2) 证明：由(1)得A(2，0)，B(2，0)，设N(x0，y0)， N点在椭圆上， y(4x)又N点异于顶点A、B，2<x0<2，y00.由P、B、N三点共线可得P，从而(x02，y0)，则·6x0126x012(2x0)(x02) x02>0，y00，·>0，于是NAP为锐角如图，

7、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，动点M 为右准线上一点(异于右准线与x轴的交点)，设线段FM交椭圆C于点P，已知椭圆C的离心率为，点M的横坐标为.(1) 求椭圆C的标准方程；(2) 设直线PA的斜率为k1，直线MA的斜率为k2，求k1·k2的取值范围解：(1) 由已知，得解得椭圆C的标准方程为1. (2) 设点P(x1，y1)(2<x1<3)，点M.点F、P、M三点共线，x12，y2，点M.k1，k2，k1·k2×.点P在椭圆C上， 1，y (x9)k1·k2××.2

8、<x1<3，k1·k2<.k1·k2的取值范围是.题型3椭圆的综合问题例3已知椭圆的中心为坐标原点O，椭圆短半轴长为1，动点M(2，t)(t>0)在直线x(a为长半轴，c为半焦距)上(1) 求椭圆的标准方程；(2) 求以OM为直径且被直线3x4y50截得的弦长为2的圆的方程；(3) 设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，求证：线段ON的长为定值，并求出这个定值(1) 解：由点M在准线上，得2，故2， c1，从而a，所以椭圆方程为y21.(2) 解：以OM为直径的圆的方程为x(x2)y(yt)0，即(x1)21，其圆心为，半

9、径r，因为以OM为直径的圆被直线3x4y50截得的弦长为2，所以圆心到直线3x4y50的距离d，所以，解得t4，所求圆的方程为(x1)2(y2)25.(3) 证明：设N(x0，y0)，则(x01，y0)，(2，t)，(x02，y0t)，(x0，y0)， 2(x01)ty00， 2x0ty02.， x0(x02)y0(y0t)0， xy2x0ty02， |为定值已知椭圆C：1(a>b>0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2y2(c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N.(1) 若椭圆C经过两点、，求椭圆C的方程；(

10、2) 当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求·的值(O是坐标原点)；(3) 若存在点P使得PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围(1) 解：令椭圆mx2ny21，其中m，n，得所以m，n，即椭圆方程为1.(2) 证明：直线AB：1，设点P(x0，y0)，则OP的中点为，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为，化简为x2x0xy2y0y0，与圆x2y2作差，即直线MN：x0xy0y.因为点P(x0，y0)在直线AB上，得1，所以x00，即得x，y，故定点E，··.(3) 解：由直线AB与圆G：x2y2(c是椭圆的焦半距)相离，则，即4a2b2c2(a2b2

11、)，4a2(a2c2)c2(2a2c2)，得e46e240.因为0e1，所以0e23.连结ON、OM、OP，若存在点P使PMN为正三角形，则在RtOPN中，OP2ON2rc，所以c，a2b2c2(a2b2)，a2(a2c2)c2(2a2c2)，得e43e210.因为0e1，所以e21.由得e23，所以e.【示例】(本题模拟高考评分标准，满分14分)已知曲线C：(5m)x2(m2)y28(mR)(1) 若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；(2) 设m4，曲线C与y轴的交点为A，B(点A位于点B的上方)，直线ykx4与曲线C交于不同的两点M，N，直线y1与直线BM交于点G.求证：A，G，

12、N三点共线学生错解：解：(1) 曲线C是焦点在x轴上的椭圆，当且仅当解得2m5，所以m的取值范围是(2，5)(2) 当m4时，曲线C的方程为x22y28，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，2)由得(12k2)x216kx240.设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1kx14，y2kx24，x1x2，x1x2.直线BM的方程为y2x，点G的坐标为.因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN，kAG，所以kANkAGkk0.即kANkAG.故A，G，N三点共线审题引导： (1) 方程的曲线是焦点在x轴上的椭圆；(2) 证明三点共线的常用方法规范解答： 解：(1) 曲线C是焦

13、点在x轴上的椭圆，当且仅当(3分)解得m5，所以m的取值范围是.(4分)(2) 当m4时，曲线C的方程为x22y28，点A，B的坐标分别为(0，2)，(0，2)(5分)由得(12k2)x216kx240.(6分)因为直线与曲线C交于不同的两点，所以(16k)24(12k2)×240，即k2.(7分)设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则y1kx14，y2kx24，x1x2，x1x2.(8分)直线BM的方程为y2x，点G的坐标为.(9分)因为直线AN和直线AG的斜率分别为kAN，kAG，(11分)所以kANkAGkk0.即kANkAG.(13分)故A，G，N三点共线(

14、14分)错因分析： 易忽视焦点在x轴上，漏掉这一条件，从而失误联立消元后易忽视0这一前提条件1. 已知直线l经过点(1，0)且一个方向向量d(1，1)椭圆C：1(m>1)的左焦点为F1.若直线l与椭圆C交于A，B两点，满足·0，求实数m的值解：由已知可得直线l的方程：yx1，左焦点F1(1，0)，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，整理得：(2m1)x22mx2mm20.当m>1时，4m(2m24m2)>0恒成立因为(x11，y1)，(x21，y2)，所以(x11)(x21)y1y20.(*)因为y1x11，y2x21，所以(*)式化简得：x1x210.由此可得

15、10，(m>1)，由此解得m2.2. 如图，已知椭圆1(ab0)的离心率为，且过点A(0，1)(1) 求椭圆的方程；(2) 过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于点M、N，求证：直线MN恒过定点P.(1) 解：由题意知：e，b1，a2c21，解得a2，所以椭圆的标准方程为y21.(2) 证明：设直线AM的方程为ykx1(k0)，由方程组得(4k21)x28kx0，解得x1，x20，所以xM，yM.用代替上面的k，可得xN，yN.因为kMP，kNP，所以kMPkNP，因为MP、NP共点于P，所以M、N、P三点共线，故直线MN恒过定点P.3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知F1，F2分

16、别是椭圆E：1(a>b>0)的左、右焦点，A，B分别是椭圆E的左、右顶点，且50.(1) 求椭圆E的离心率；(2) 已知点D(1，0)为线段OF2的中点，M为椭圆E上的动点(异于点A、B)，连结MF1并延长交椭圆E于点N，连结MD、ND并分别延长交椭圆E于点P、Q，连结PQ，设直线MN、PQ的斜率存在且分别为k1、k2，试问是否存在常数，使得k1k20恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由解：(1) 50，5. ac5(ac)，化简得2a3c，故椭圆E的离心率为.(2) 存在满足条件的常数，.点D(1，0)为线段OF2的中点，c2，从而a3，b，左焦点F1(2，0)，椭圆E的

17、方程为1，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(x3，y3)，Q(x4，y4)，则直线MD的方程为xy1，代入椭圆方程1，整理得，y2y40. y1y3， y3.从而x3，故点P.同理，点Q.三点M、F1、N共线，从而x1y2x2y12(y1y2)从而k2，故k10，从而存在满足条件的常数.4. 如图，正方形ABCD内接于椭圆1(ab0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M、N在椭圆上，顶点P、Q在正方形的边AB上，且A、M都在第一象限(1) 若正方形ABCD的边长为4，且与y轴交于E、F两点，正方形MNPQ的边长为2. 求证：直线AM与ABE的外接圆相切；求椭圆的标准方程；

18、(2) 设椭圆的离心率为e，直线AM的斜率为k，求证：2e2k是定值(1) 证明： 依题意：A(2，2)，M(4，1)，E(0，2)，(2，1)，(2，4)，·0， AMAE. AE为RtABE外接圆直径，直线AM与ABE的外接圆相切解：由解得椭圆标准方程为1.(2) 证明：设正方形ABCD的边长为2s，正方形MNPQ的边长为2t，则A(s，s)，M(s2t，t)，代入椭圆方程1，得即 e21. k， 2e2k2为定值5. 已知椭圆1(a>b>0)的离心率为，且过点P，A为上顶点，F为右焦点点Q(0，t)是线段OA(除端点外)上的一个动点，过Q作平行于x轴的直线交直线AP

19、于点M，以QM为直径的圆的圆心为N.(1) 求椭圆方程；(2) 若圆N与x轴相切，求圆N的方程；(3) 设点R为圆N上的动点，点R到直线PF的最大距离为d，求d的取值范围解：(1) e，不妨设c3k，a5k，则b4k，其中k>0，故椭圆方程为1(a>b>0)， P在椭圆上，1，解得k1，椭圆方程为1.(2) kAP，则直线AP的方程为yx4，令yt(0<t<4)，则x， M， Q(0，t)， N，圆N与x轴相切，t，由题意M为第一象限的点，则t，解得t， N，圆N的方程为.(3) F(3，0)，kPF，直线PF的方程为y(x3)，即12x5y360，点N到直线PF

20、的距离为|65t|， d|65t|(4t)， 0<t<4.当0<t时，d(65t)(4t)，此时d<；当<t<4时，d(5t6)(4t)，此时<d<.综上，d的取值范围为.1. 已知椭圆1(ab0)，点P在椭圆上(1) 求椭圆的离心率；(2) 设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点若点Q在椭圆上且满足AQAO，求直线OQ的斜率的值解：(1) 因为点P在椭圆上，故1，可得.于是e21，所以椭圆的离心率e.(2) 设直线OQ的斜率为k，则其方程为ykx，设点Q的坐标为(x0，y0)由条件得消去y0并整理得x.由AQAO，A(a，0)及y0kx0，得(x0a

21、)2k2xa2.整理得(1k2)x2ax00，而x00，故x0，代入，整理得(1k2)24k2·4.由(1)知，故(1k2)2k24，即5k422k2150，可得k25.所以直线OQ的斜率k±.2. 已知椭圆C：1(a>b>0)经过点M(2，1)，离心率为.过点M作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C交于异于M的另外两点P、Q.(1) 求椭圆C的方程；(2) 试判断直线PQ的斜率是否为定值，证明你的结论解：(1) 由题设，得1，且，由、解得a26，b23，故椭圆C的方程为1.(2) 设直线MP的斜率为k，则直线MQ的斜率为k，假设PMQ为直角，则k·(k)

22、1，即k±1.若k1，则直线MQ的方程为y1(x2)，与椭圆C方程联立，得x24x40，该方程有两个相等的实数根2，不合题意；同理，若k1也不合题意故PMQ不可能为直角记P(x1，y1)、Q(x2，y2)设直线MP的方程为y1k(x2)，与椭圆C的方程联立，得(12k2)x2(8k24k)x8k28k40，则2，x1是该方程的两根，则2x1，即x1.设直线MQ的方程为y1k(x2)，同理得x2.因y11k(x12)，y21k(x22)，故kPQ1，因此直线PQ的斜率为定值3. 已知椭圆1(a>b>0)的离心率e，连结椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1) 求椭圆的方程；(2) 设直线l与椭圆相交于不同的两点A，B.已知点A的坐标为(a，0)若|AB|，求直线l的倾斜角解：(1) 由e，解得3a24c2.再由c2a2b2，解得a2b.由题意可知×2a×2b4，即ab2.解方程组得所以椭圆的方程为