2013高三暑期第3讲函数的性质初步尖子班

1、 函数的讲第3 性质初步 课时重点应当本讲分三小节，分别为函数的奇偶性、函数的单调性、函数的周期性，建议用时3放在对常见函数的性质的判断与初步应用上对于函数的性质，需要对照的把握其代数特征与图形特征，因此应以函数性质的代数表示形式的转化及数形互化为主要教学目标由于在研究函数的性质时或多或少总会遇到复合函数，因此有部分涉及复合函数的性质的题目出现，但有关复合函数的性质会 在下一讲系统讲解，在此不作为教学重点 道例题其中第一小节为函数的奇偶性，共2 主要讲解函数的奇偶性的判断；例1 主要讲解函数的奇偶性的应用；例2 道例题其中第二小节为函数的单调性，共3 3主要讲解函数的单调性的判断；例 4主要讲

2、解函数的单调性的应用；例 主要讲解指函数的奇偶性与单调性的综合应用；例5 道例题其中第三小节为函数的周期性，共2 6主要讲解函数的周期性的判断；例 主要讲解函数性质的综合应用例7 知识结构图 知识梳理 、函数的奇偶性1 定义 ? 关于原点对称，那么如果函数的定义域xfD? 为奇函数；若对任意，均有，则称x?f?xffxDx? 若对任意，均有，则称为偶函数xxf?xff?Dx? 判断 根据定义判断； 对于函数的四则运算，有 奇函数与奇函数的和为奇函数；偶函数与偶函数的和为偶函数； 偶函数与偶函数的积为偶函数；偶函数与奇函数的积为奇函奇函数与奇函数的积为偶函数； 数 【备注】偶函数与奇函数的和一般

3、为非奇非偶函数 代数特征? ，则有；具有奇偶性，且定义域为 若，则 xfD?x?x?D?D 奇函数满足：当自变量的和为时，函数值恒互为相反数； 0 偶函数满足：当自变量的和为时，函数值恒相等 0? 若奇函数处有定义，则在 0f?f0x0?x 图形特征 轴对称 奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于 y 、函数的单调性2 定义 ?xf 如果函数上满足：在定义域的某个区间 ID?xx?ffxf ，上单调递增；，均有，则称在区间 对任意xxD?,xx?I212121? ，则称 对任意，均有在区间上单调递减 xfxx?ffx?D?x,xxI212121 判断 根据定义判断； 对于函数的四则运算，有

4、 增函数与增函数的和为增函数；减函数与减函数的和为减函数； 恒正增函数与恒正增函数的积为增函数；恒正减函数与恒正减函数的积为减函数； ?xf?xfy?y? 若为增函数，则为减函数； 1?x?yf为减函数为恒正的增函数，则 若?y ?xf 代数特征?0x?fxx?f?xxf? ，为区间上的单调递增函数，则 若，；x,?xx?x?II?22112121?0x?xx?fx?f?xf ；上的单调递减函数，则为区间，若，xIx?x,?xI?21212112?xfx?f21 【备注】有时也写作分式形式： x?x21 图形特征 增函数图象上任意两点的连线斜率为正；减函数图象上任意两点连线斜率为负 3、函数的

5、周期性 定义 ?的一个周期 在整个定义域内有（如果函数），则称为函数 xffxxf?xT?f0?TT 判断 根据定义判断； TT?， （的一个周期，为函数）使得的一个周期， 若为函数且存在xfxg0T?TTT 12TT21? 都是整数，则四则运算后的结果是周期函数，与是它的一个周期xfxgT 代数特征 根据定义判断； 周期性的常见表达： ，对于Ra?m,0a? ，则为函数若的一个周期；xxfm?f?xaf?a2m? 的一个周期；若），则为函数（xfa?02m?x?fa ?xf?的一个周期；为函数若 ，则xx?afx?ffax?2f?a6?的一个周期若为函数 ，则x?ffx?fax?2a?fxa

6、6 图形特征 周期函数的图象周期性的重复出现 【备注】周期性有三大来源， 函数对应法则的天然周期（如三角函数）； 类周期性引起的周期性； 双对称性引起的周期性这里重点讲解，而对于，会在秋季课程中复习 真题再现 ） 2008北京理13（?2 ，有如下条件：，对于上的任意，已知函数x?cos)?xf(x，?xx? 1222?22 ； ；x?xxx?xx? 212121 其中能使恒成立的条件序是 )ff(x)?(x21 ；【解析】 ?2xcosy?x?y 与时，为偶函数，且当都是增函数，0x?)f(x? 2?上单调递增，在故 在上单调递减，?0，0)f(x? 22? )x?x)f(?)(?)(fxf

7、xf 正确从而知，当时，有从而知xx? 2112212 小题热身 ?的是”中，满足“下列函数对任意，当时，都有 1、 xfffx?xx,x?0,x?x 211221 ） （ 12?x D B AC 1?fxx1xflgx?e?xf?xf xx2? ）的图象（ 2、 函数log?y 2x2? 关于直线对称 B A关于原点对称 xy? 关于直线对称 D C关于轴对称 xy?y1? ） ，则使函数 的定义域为、 3 ，且奇函数的所有 的值为（设x?y3?1,1,?R ? 2?1 DC B A 31,1,311,?1, 2? ） 是上周期为的奇函数，且满足 （， 4、 ，则 若?x?f23f?12?1

8、f4ff5R D C B A 2?2?11 ? 有，）（，足：对任的定义在上、 5偶 函数意的满?0f,xx?xxx?R2211?xf?xf12 ） 则（ 0? x?x12?3?f21fff13?f?2f B A ? D C 2?ff13?f?3ff?21?f?x ?f?xf1b?2?x?2fx ），则设 （ 为定义在上的奇函数，当时，6 、 0xR D C B A33?1?1? xf，则，7、， 已知定义在上的奇函数是一个减函数，且 0?x?0xx?x?0x?x?R132312?xx?ffxf ） 的值（ 312 以上均有可能 D B小于 C等于A大于 000? ） 8、 若，则实数的取值范

9、围为（在 恒有 1xf?2,f?x?logxaa111? D A B C21,?21,20,0,1? 222?x ） 9、 若函数，则有、（分别为上的奇函数、偶函数，且满足 xfxgexxf?g?R?2?ff3?g30gf0f2 B A ?3?f23gf0f?2g?0f CD ?x1?f ? 10fxf0971f?93f21?的值为， 满足 ）则10 、 已知函数，（?x?f2 ?x?1f D C B A3202?4 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 C C D A A A A A A D 经典精讲 函数的奇偶性3.1 考点：函数的奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性：【例1】 xsin

10、 x3 ； ； ； x1?1?y?x?2y?x2?y?x?y x 判断下列函数的奇偶性： 2? 0x,x?x?xxx?1x?1216?1?y ； ； lg?y1?xy?y?x2x?12x?10x?,x?x? 非奇非偶函数；偶函数；偶函数；【解析】 奇函数； 奇函数奇函数；偶函数； 非奇非偶函数； 【备注】设置这两组例题的目的是为了： 考虑函数的单调性，先考虑函数的定义域； 熟悉一些具有奇偶性的典型函数的结构，尤其是有关多项式函数的； 对于复杂函数，总是回归定义考查奇偶性 考点：函数的奇偶性的应用1? ； 若 ， 是奇函数，则 【例2】3?a?1,x?a?b?ab?x?f x1?2 ?1?1y?

11、f?f2xx ； 已知 的图象必经过点是上奇函数，则函数 R ?2 ； 满足当时， ，则当时， 若偶函数 ?xffx2?xxf?x?0?0xx ?0f?x 的解集为 不等式 ? R为偶数函数，、函均定义在，上且数为奇函xxffxxgg?32xfxgxxx?gx?f?1? ， 的解析式为 ，则 的解析式是 1 ，【解析】 1a?b 21? 1,? 2?2?2?2,?,? ，2x?x 注意画函数图象解决问题?231?x?gxfxx ， ?35?f?10f2?28?axbx?f?x?x 已知 ， ， 】【拓1 2?1sinx?x?的最大值和最小值之和为 已知函数 ?fx 21x? 【解析】； 26?

12、 2 函数的单调性3.2 考点：函数的单调性的判断bb上的单在在区间 已知函数和上都是减函数，则函数【例3】axy?)?(0，?R1?y?x?y? ax （填增函数或减函数或非单调函数）调性是_?32 已知函数上为减函数，则的取值范围为_在?,?2fxx?1?aa ?2 上单调递增，则实数在若函数上单调递减，在?,22,2013?xf?x?axa _的值为_ ?2 在区间 上为减函数，则若函数的取值范围是 4,?2?xaf?x1?x2?a ； 【解析】 减函数； 或；3a?1a?1?a4? 考点：函数的单调性的应用?，则上函数时，已知在区间若是减函数，且当【例4】 0fx0,?xfb?ax?0

13、0 ）（ ?a?bfbbaafaafbbfbfa?afbfbaf? C BA D? 为解式集义在的上的减函数，则不等是定0f4?3,?2fxx?11?f?x _ ； C【解析】?2?1, 考点：函数的单调性与奇偶性的综合应用1? ?0,f?x取值范围在区间已知偶函数的【例5】 单调递增，则满足f2x?1f?x? 3? ； 是 ? 满足：定义在上的偶函数xfR?0?x?xff?xx0,x? 对任意的，），（，有?xxx?11222211?*1ff?n?1fn?n ； ， 则当时， 三者从小到大的关系为， Nn? ?xx?ff? 02，?ffx?0的，则为奇函数，且在若函数内是增函数，又0? x

14、解集为 ?3 0bf?a?fxx?fx? 是，则） 的（ 已知函数0?ba? 必要非充分条件 B A充分非必要条件 既非充分也非必要条件 D C充分必要条件 21? 【解析】 ,? 33?1n1fn?f?fn? ? 2，00?2 ； C ?1?x?log0f的的取定义在上的偶函数上递增，则满足在【拓2】 ?0f,x?0f?xR? 13? 8值范围是 ； x?3?的所有则满足 设时是单调函数，是连续的偶函数，且当xxffff?x0?xx? x?4?之和为 A B C D 83?83?33? 已知 ， ，则 0?2014?y?12013?y0?20121x?2013x?yx? ?2式，对任意函数，

15、且当时，不等， 设若奇为2,axx?afxxf?0x?恒成立，则实数的取值范围是 xf2x?afa 1? 【解析】 ?,?2,0? 2? 8? 2? ?2,? 3.3函数的周期性 考点：函数的周期性的判断与应用0x?1?1，? ff?x?x1f?x则满足义在上的函数，且，【例6】 定?fxR?10?x?1，?f2011 _1? 则，件对于任意实数满足函数条若51?fx?f?x?f2x ?xf?ff2009 ? ?10x?log，x?2? 2013xff值则足满的上函数，的义定在?xfR?0，?fx?2x?xf?1? 为 ；【解析】 1?1 ；? 5 2 考点：函数的性质的综合应用?x 上设函数

16、，则是以7】 2为周期的奇函数，已知在【例21f1,xf?xx0,2xf? ） 是（ ? 增函数且 减函数且 AB0fx?0xf? 增函数且D减函数且 C0ffx?0x? ，且当是已知函数上的偶函数，若对于，都有xx?,?2fffx?0x? ； ，则 的值为 时， 2013?f?20120，2x?f1xf?x?log2 ?既是奇函数，又是周期函数，定义在上的函数是它的一个正周期若将方程xfTR? ） ，则可能为（ 在闭区间 上的根的个数记为T?0,f?xTnn 5D 3 B1 CA0 ； C【解析】 1 ； D 课后习题 一、选择题? ），则 1、 设函数（是定义在上的奇函数，且 ?20f?f

17、3?3ffxR D B CA 733?2 【解析】 C ?3 ） ，则 2、 函数 的值为（），若 af?f2a1?x?sinfxx?R?x D C A B 032?1? B【解析】?1? 1ff? 已知函数）为 上的减函数，则满足 3、的实数 的取值范围是（ xfRx?x?0,111,?1,1?0,1,?1,0? DCA B D【解析】? ?1fffx2013f?12012 ），则 若（ 是上周期为4 、的奇函数，且满足 4R D C A B 2?211? A【解析】? ?2?13fffxf1x99?fx?2? ，则上的函数 5、 定义在，） 满足： （R132 C D 13 A B2 13

18、2 【解析】 C2? ?,0xf，上的偶函数，且在区间是定义在上是增函数令 6 、已知sina?fR? 7?55? ），则（ tanccos?fb?f? 77? D C A B ca?a?b?cb?a?cb?ab?c A【解析】 二、填空题m? 则称，成中心对函数的图象关 7、 于原点已知为非零实数，若 1?y?lgm? 1x? ?m 【解析】2? 的单调递减区间是 8、 函数 3x?logx?logx?1f0.50.5 ? 【解析】 ?,?31?2 ，则 9、 已知1fxx?xf?fa? a? 【解析】 x2k? 10、 若函数 在定义域上为奇函数，则实数 ?k?fx x2?k?1 【解析】 1 4? 1,xy?fx?3，时 11、当 已知函数时，且当是偶函数，0x?xfx x?mnfx 恒成立，则的最小值是 n?m 【解析】1 三、解答题1a? xf