2012年上海市春季高考数学试卷 教师版

1、2012年上海市春季高考数学试卷 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，要求直接填写结果，每题答对得4分，否则一律得零分。 1（4分）（2012?上海）已知集合A=1，2，k，B=2，5若AB=1，2，3，5，则k= 3 【分析】根据集合的并集运算定义即可得k的值 【解答】解：A=1，2，k，B=2，5，且AB=1，2，3，5 3A k=3 故答案为：3 2（4分）（2012?上海）函数y= 的定义域是 2，+） 【分析】根据根有意义的条件的条件进行求解； 【解答】解：函数y= ， x+20， x2， 故答案为：2，+）； 2=8x的焦点坐标是 （2，2012?上海）抛物线y0） 3

2、（4分）（ 【分析】根据抛物线的标准方程，进而可求得p，根据抛物线的性质进而可得焦点坐标 2=8x，【解答】解：抛物线y 所以p=4， 所以焦点（2，0）， 故答案为（2，0） 4（4分）（2012?上海）若复数z满足iz=1+i（i为虚数单位），则z= 1i 【分析】由iz=1+i，两边除以i，按照复数除法运算法则化简计算 =1i+iz=1i，得z=解：由【解答】 故答案为：1i 5（4分）（2012?上海）函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期为 【分析】由函数解析式找出的值，代入周期公式T=中，即可求出函数的最 小正周期 【解答】解：f（x）=sin（2x+）， =2， =，T= 则

3、函数的最小正周期为 故答案为： xx1+=0的解为 x=1 4分）（2012?上海）方程426（ x2x，代入方程关系式即可=2由于【分析】4 x2x，=2【解答】解：4 xx12xx1+，2=2可化为：2=04方程 2x=x+1， x=1 故答案为：1 ，则 7（4分）（2012?上海）若 1+aa+a=a+a+a+ 513420 即可求出所有项的系数之和，即为结论1【分析】直接令变量为 5，+a+a+a1）a=1=a+a2【解答】解：令x=1可得，（ 513402，=1a+a+a+a+a+a则 5410321故答案为： 为奇函数，则实数m= =2 上海）若8（4分）（2012?f（x） 为

4、奇函数，可得f（=f【分析】由（x）1）=f（1），代入可求 【解答】解：f（x）=为奇函数， f（1）=f（1） 即m1=3（1+m） m=2 故答案为：2 ， 的最大值为 5 y=4分）（2012?上海）函数（9 【分析】利用换元法，设t=logx，则t1，2，将问题转化为求函数y=t+在 2 1，2上的最大值问题，利用导数证明此函数为减函数，利用单调性求最值即可 【解答】解：设t=logx，x2，4，t1，2 2 y=t+的导函数y=10 t1，2 y=t+在1，2上为减函数， y=t+的最大值为1+=5 ， 的最大值为 5 y= 故答案为 5 10（4分）（2012?上海）若复数z满足

5、|zi| （i为虚数单位），则z在复平 面内所对应的图形的面积为 2 ）为圆心，为的轨迹是以（0，zi|1 的几何意义可知，点Z【分析】由| 半径的实心圆由圆的面积公式可得答案 ，i|【解答】解：|z z在复平面内所对应的点Z的轨迹是以（0，1）为圆心， 为半径的实心圆， =2 该圆的面积为： 故答案为：2 11（4分）（2012?上海）某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳 （结男、女生都有的概率为 赛事的志愿者工作，则在选出的志愿者中， 果用数值表示） 再分析选名女生中选出4人数目，名男生和【分析】根据题意，首先计算从24女生都有的情况数目，由排除法可得男、人中只有男生、出的4女生

6、的数目，进而由等可能事件的概率公式，计算可得答案 4种取法，=15有442根据题意，【解答】解：从名男生和名女生中选出人，C 64种情况，没有全部为男生的情况，C其中全部为女生的有=1 4则选出的4名志愿者中，男、女生都有的情况有151=14种， 则其概率为； 故答案为 2kx+k10对x（112（4分）（2012?上海）若不等式x，2）恒成立，则实数k的取值范围是 （，2 【分析】根据题意，分离参数，利用函数的单调性，即可得到实数k的取值范围 22xk10可化为（1x【解答】解：不等式x）kx+k1 x（1，2） x=1+k 是一个增函数+xy=1 1=2+k1 2实数k取值范围是（， 2故

7、答案为：（， 的首项及公差均为正数，令（2012?上海）已知等差数列a13（4分）n ， k=b 的最大项时， 当b是数列 nk 1006 ，由 ， ， 【分析】设 2222222222=+yyb+x）+y，=2（式根据基本不等（x+y）x=x+y得+2xyx+n2 ，由此能求出结果=4a）=2（ 2a）2（a+a（ 1006nn10062012， 【解答】解：设 ， 222222222，+yy+x）+y=2（）根据基本不等式（x+yx=x+y2xy+x+ 22 ，（=22a）=4a）+b得（= ）2（aa 10061006nnn2012取到最大值，b时，当且仅当a=a n2012nnk=10

8、06，所以此时n=1006 故答案为：1006 满足a，a，a，a1，114（4分）（2012?上海）若矩阵， 22121121 =0，则这样的互不相等的矩阵共有 8 个且 【分析】根据题意，分类讨论，分主对角线相同、相反，即可得出结论 ，a，a解：，a，a1，1，【解答】 22111221 、可以是、矩阵 、 故答案为：8 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，选对得5分，否则一律得零分。 15（5分）（2012?上海）已知椭圆C：+=1，C：+=1，则（ ） 21 AC与C顶点相同BC与C长轴长相同 2121CC与C短轴长相同DC与

9、C焦距相等 2121【分析】求出两个椭圆的a，b，c 即可判断选项 ，所以a= ，b=2，c=2 ： 【解答】解：因为椭圆 ，所以a=4，b=2 ，c=2 ；： 椭圆 所以两个椭圆有相同的焦距 故选：D 1（x）x）的反函数为y=f如果函数y=f16（5分）（2012?上海）记函数y=f（1（x）+1的图象过点（ ）的图象过点（1，0），那么函数y=f ）（x A（0，0）B（0，2）C（1，1）D（2，0） 1（x）必过点（0y=f，1），从而可得答案【分析】由题意可知， 【解答】解：y=f（x）的图象过点（1，0）， 11（0）=1，）必过点（0，1），即y=f其反函数fx（ 1（x）+1

10、的图象过点（0，y=f2） 故选：B n与l异面，且m与l若n、m、l上海）已知空间三条直线2012?（分）5（17异面，则（ ） Am与n异面 Bm与n相交 Cm与n平行 Dm与n异面、相交、平行均有可能 【分析】可根据题目中的信息作图判断即可 【解答】解：空间三条直线l、m、n若l与m异面，且l与n异面， m与n可能异面（如图3），也可能平行（图1），也可能相交（图2）， 故选：D 满足z、y、上海）设O为ABC所在平面内一点若实数x（185分）（2012? 222”的边所在直线上O在ABC0），则“xyz=0”是“=x +y +z ，（x点+y+z） 的（ 必要而不充分条件BA充分而不必

11、要条件 既不充分也不必要条件C充要条件D ， z = =0移项得x +y 【分析】画出草图，根据已知条件x+y +z，再根据三角形的性质进行求解；0，z只有一个为再由xyz=0，推出x，y =+、yz满足x +y z所在平面内一点实数解：【解答】O为ABCx、222，+zy）0（x+ ， x +y=z 222z+y+x这与，z=0可推出，x=y=0（否则若，0中只能有一个为z、y、x则xyz=0”若0矛盾） ， =z ， y假设x=0（、z不为0），可得y 上；边只能在ABCBC向量 和 共线，O 共线， ABC的边所在直线上，假设在边AB上，说明向量 和若点O在 ，z=0 ，xyz=0 的充

12、要条件；的边所在直线上点O在ABC”“xyz=0”是“ 故选：C 题，解答下列各题必须写出必要三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5的步骤。 ，高C1D的底面边长为12分）（2012?上海）如图，正四棱柱ABCDAB19（1111的中点ABM为线段为2， 的体积；MBC1求：（）三棱锥C 1MC所成角的大小（结果用反三角函数值表示）（2）异面直线CD与 1 ，得到1ABCD边长为中点，且正方形CM，根据M为AB（【分析】1）连接 的MBC平面ABCD，是三棱锥因为BCM的面积为S=S=CC11ABCD 正方形 的体积；MBC高，所以利用锥体体积公式，可得三棱锥C 1（或其补角）为异C，所以

13、MBABCD中，因为CDAB，正方形（2）连接BC11 ，AB=，而=BCBMCRt所成的角与面直线CDMC中，可算出 MB= 111 MB=，所以异面直= 利用直角三角形中三角函数的定义，得到tanC 1 arctan 线CD与MC所成角为 1，CM1）连接【解答】解：（ ，中点，且边长为1中，正方形ABCDM为AB =SBCM的面积为S= ABCD正方形 又CC平面ABCD， 1CC是三棱锥CMBC的高， 11 三棱锥CMBC的体积为：V=××2=； MBCC11 （2）连接BC 1CDAB， CMB（或其补角）为异面直线CD与MC所成的角 11?平面BCBCCB，AB

14、平面BCCB， 11111ABBC 1 BCRtMCB中，=，MB=AB= 11 CMB=tan 1 MCCD与所成角为arctan所以异面直线 1 上海）某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长（分）2012?20（14千米（忽略内、外环线长度差异）30均为 10列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为）当（19分钟，求内环线列车的最小平均速度； （2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？ 【分析】（

15、1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，根据内环线乘客最长候 ，从而可求内环线列车的最小平均速度；可得10分钟，车时间为 （2）设内环线投入x列列车运行，则外环线投入（18x）列列车运行，分别求 ，出内、外环线乘客最长候车时间 ，解不等式，即可求得结论 ，根据 【解答】解：（1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，则要使内环线乘客 分钟，可得最长候车时间为10 v20 要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，内环线列车的最小平均速度是20千米/小时； （2）设内环线投入x列列车运行，则外环线投入（18x）列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t，t分钟， 21 则 ， xN，x=10

16、+当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟 14分）C：（2012?上海）已知双曲线21（ 1 （1）求与双曲线C有相同焦点，且过点P（4， ）的双曲线C的标准方程； 21 （2）直线l：y=x+m分别交双曲线C=3 ? 两点当B、A的两条渐近线于1时，求实数m的值 的焦点坐标，根据双曲线C与双曲【分析】（1）先确定双曲线C： 21 线C有相同焦点，且过点P（4， ），建立方程组，从而可求双曲线C的标 21准方程； （2）直线方程与双曲线C的两条渐近线联立，求出A、B两点的坐标用坐标，1利用数量积，即可求得实数m的值 ， ：1）双曲线C【解答

17、】解：（ 1 ， 0） ，0），焦点坐标为（ ，）0，b0 （a的标准方程为设双曲线C 2 ） C双曲线C与双曲线有相同焦点，且过点P（4， 12 ，解得 的标准方程为C双曲线 2 2x，y=的两条渐近线为（2）双曲线Cy=2x 1 ）2mm，由，可得x=m，y=2m，A（ ），m，y=m，B（m由，可得x=m 2=3m 满足1622（分）（2012?上海）已知数列a、b、c nnn 的值；、时，求bb3+1）设c=3n6，a是公差为的等差数列当b=1（ 3n1n2* N 求正整数k，使得对一切n ；，均有b， （2）设b kn ， 的通项公式b=1b时，求数列 3（）设当 n1 【分析】（1

18、）先根据条件得到数列b的递推关系式，即可求出结论； n（2）先根据条件得到数列b的递推关系式；进而判断出其增减性，即可求出n结论； （3）先根据条件得到数列b的递推关系式；再结合叠加法以及分类讨论分情n况求出数列b的通项公式，最后综合即可 n【解答】解：（1）aa=3， n1n+bb=n+2， nn1+b=1， 1b=4，b=8 32 2）（ aa=2n7， n1n+ ，b=b nn1+ ；bbbn由bb0，解得4，即 6n154n+bbbb0，解得n3，即bb由 43n121n+k=4 1n+，1）（3）aa=（ nn1+nn1+（1）+（2nbb= n1n+nn1+n1）（n2）bb=（1

19、）（2 1nn1+1=2b；故b 122+22），b=（1）（b 23 n1n2+n2=bb（1）2）（ 2nn1nn1+n1）b=（1）（2b 1nn当n=2k时，以上各式相加得 2n2n1）+12+（n+22）+（n12bb=（2+2） 1n =+=+ =+b+= n 当n=2k1时， n+n）+（2=+ =+ b= n 23（18分）（2012?上海）定义向量 =（a，b）的“相伴函数”为（fx）=asinx+bcosx， 记O为坐标原点）a，b）（其中+bcosx的“相伴向量”为 =（函数f（x）=asinxS”构成的集合为平面内所有向量的“相伴函数 ；）S，求证：g（xx）=3sin（x+）+4sinx（1）设g（ 的模；，求其“相伴向量”+2co