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文档简介

1、2012年上海市春季高考数学试卷 一、填空题(本大题满分56分)本大题共有14题,要求直接填写结果,每题答对得4分,否则一律得零分。 1(4分)(2012?上海)已知集合A=1,2,k,B=2,5若AB=1,2,3,5,则k= 3 【分析】根据集合的并集运算定义即可得k的值 【解答】解:A=1,2,k,B=2,5,且AB=1,2,3,5 3A k=3 故答案为:3 2(4分)(2012?上海)函数y= 的定义域是 2,+) 【分析】根据根有意义的条件的条件进行求解; 【解答】解:函数y= , x+20, x2, 故答案为:2,+); 2=8x的焦点坐标是 (2,2012?上海)抛物线y0) 3

2、(4分)( 【分析】根据抛物线的标准方程,进而可求得p,根据抛物线的性质进而可得焦点坐标 2=8x,【解答】解:抛物线y 所以p=4, 所以焦点(2,0), 故答案为(2,0) 4(4分)(2012?上海)若复数z满足iz=1+i(i为虚数单位),则z= 1i 【分析】由iz=1+i,两边除以i,按照复数除法运算法则化简计算 =1i+iz=1i,得z=解:由【解答】 故答案为:1i 5(4分)(2012?上海)函数f(x)=sin(2x+)的最小正周期为 【分析】由函数解析式找出的值,代入周期公式T=中,即可求出函数的最 小正周期 【解答】解:f(x)=sin(2x+), =2, =,T= 则

3、函数的最小正周期为 故答案为: xx1+=0的解为 x=1 4分)(2012?上海)方程426( x2x,代入方程关系式即可=2由于【分析】4 x2x,=2【解答】解:4 xx12xx1+,2=2可化为:2=04方程 2x=x+1, x=1 故答案为:1 ,则 7(4分)(2012?上海)若 1+aa+a=a+a+a+ 513420 即可求出所有项的系数之和,即为结论1【分析】直接令变量为 5,+a+a+a1)a=1=a+a2【解答】解:令x=1可得,( 513402,=1a+a+a+a+a+a则 5410321故答案为: 为奇函数,则实数m= =2 上海)若8(4分)(2012?f(x) 为

4、奇函数,可得f(=f【分析】由(x)1)=f(1),代入可求 【解答】解:f(x)=为奇函数, f(1)=f(1) 即m1=3(1+m) m=2 故答案为:2 , 的最大值为 5 y=4分)(2012?上海)函数(9 【分析】利用换元法,设t=logx,则t1,2,将问题转化为求函数y=t+在 2 1,2上的最大值问题,利用导数证明此函数为减函数,利用单调性求最值即可 【解答】解:设t=logx,x2,4,t1,2 2 y=t+的导函数y=10 t1,2 y=t+在1,2上为减函数, y=t+的最大值为1+=5 , 的最大值为 5 y= 故答案为 5 10(4分)(2012?上海)若复数z满足

5、|zi| (i为虚数单位),则z在复平 面内所对应的图形的面积为 2 )为圆心,为的轨迹是以(0,zi|1 的几何意义可知,点Z【分析】由| 半径的实心圆由圆的面积公式可得答案 ,i|【解答】解:|z z在复平面内所对应的点Z的轨迹是以(0,1)为圆心, 为半径的实心圆, =2 该圆的面积为: 故答案为:2 11(4分)(2012?上海)某校要从2名男生和4名女生中选出4人担任某游泳 (结男、女生都有的概率为 赛事的志愿者工作,则在选出的志愿者中, 果用数值表示) 再分析选名女生中选出4人数目,名男生和【分析】根据题意,首先计算从24女生都有的情况数目,由排除法可得男、人中只有男生、出的4女生

6、的数目,进而由等可能事件的概率公式,计算可得答案 4种取法,=15有442根据题意,【解答】解:从名男生和名女生中选出人,C 64种情况,没有全部为男生的情况,C其中全部为女生的有=1 4则选出的4名志愿者中,男、女生都有的情况有151=14种, 则其概率为; 故答案为 2kx+k10对x(112(4分)(2012?上海)若不等式x,2)恒成立,则实数k的取值范围是 (,2 【分析】根据题意,分离参数,利用函数的单调性,即可得到实数k的取值范围 22xk10可化为(1x【解答】解:不等式x)kx+k1 x(1,2) x=1+k 是一个增函数+xy=1 1=2+k1 2实数k取值范围是(, 2故

7、答案为:(, 的首项及公差均为正数,令(2012?上海)已知等差数列a13(4分)n , k=b 的最大项时, 当b是数列 nk 1006 ,由 , , 【分析】设 2222222222=+yyb+x)+y,=2(式根据基本不等(x+y)x=x+y得+2xyx+n2 ,由此能求出结果=4a)=2( 2a)2(a+a( 1006nn10062012, 【解答】解:设 , 222222222,+yy+x)+y=2()根据基本不等式(x+yx=x+y2xy+x+ 22 ,(=22a)=4a)+b得(= )2(aa 10061006nnn2012取到最大值,b时,当且仅当a=a n2012nnk=10

8、06,所以此时n=1006 故答案为:1006 满足a,a,a,a1,114(4分)(2012?上海)若矩阵, 22121121 =0,则这样的互不相等的矩阵共有 8 个且 【分析】根据题意,分类讨论,分主对角线相同、相反,即可得出结论 ,a,a解:,a,a1,1,【解答】 22111221 、可以是、矩阵 、 故答案为:8 二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,选对得5分,否则一律得零分。 15(5分)(2012?上海)已知椭圆C:+=1,C:+=1,则( ) 21 AC与C顶点相同BC与C长轴长相同 2121CC与C短轴长相同DC与

9、C焦距相等 2121【分析】求出两个椭圆的a,b,c 即可判断选项 ,所以a= ,b=2,c=2 : 【解答】解:因为椭圆 ,所以a=4,b=2 ,c=2 ;: 椭圆 所以两个椭圆有相同的焦距 故选:D 1(x)x)的反函数为y=f如果函数y=f16(5分)(2012?上海)记函数y=f(1(x)+1的图象过点( )的图象过点(1,0),那么函数y=f )(x A(0,0)B(0,2)C(1,1)D(2,0) 1(x)必过点(0y=f,1),从而可得答案【分析】由题意可知, 【解答】解:y=f(x)的图象过点(1,0), 11(0)=1,)必过点(0,1),即y=f其反函数fx( 1(x)+1

10、的图象过点(0,y=f2) 故选:B n与l异面,且m与l若n、m、l上海)已知空间三条直线2012?(分)5(17异面,则( ) Am与n异面 Bm与n相交 Cm与n平行 Dm与n异面、相交、平行均有可能 【分析】可根据题目中的信息作图判断即可 【解答】解:空间三条直线l、m、n若l与m异面,且l与n异面, m与n可能异面(如图3),也可能平行(图1),也可能相交(图2), 故选:D 满足z、y、上海)设O为ABC所在平面内一点若实数x(185分)(2012? 222”的边所在直线上O在ABC0),则“xyz=0”是“=x +y +z ,(x点+y+z) 的( 必要而不充分条件BA充分而不必

11、要条件 既不充分也不必要条件C充要条件D , z = =0移项得x +y 【分析】画出草图,根据已知条件x+y +z,再根据三角形的性质进行求解;0,z只有一个为再由xyz=0,推出x,y =+、yz满足x +y z所在平面内一点实数解:【解答】O为ABCx、222,+zy)0(x+ , x +y=z 222z+y+x这与,z=0可推出,x=y=0(否则若,0中只能有一个为z、y、x则xyz=0”若0矛盾) , =z , y假设x=0(、z不为0),可得y 上;边只能在ABCBC向量 和 共线,O 共线, ABC的边所在直线上,假设在边AB上,说明向量 和若点O在 ,z=0 ,xyz=0 的充

12、要条件;的边所在直线上点O在ABC”“xyz=0”是“ 故选:C 题,解答下列各题必须写出必要三、解答题(本大题满分74分)本大题共有5的步骤。 ,高C1D的底面边长为12分)(2012?上海)如图,正四棱柱ABCDAB19(1111的中点ABM为线段为2, 的体积;MBC1求:()三棱锥C 1MC所成角的大小(结果用反三角函数值表示)(2)异面直线CD与 1 ,得到1ABCD边长为中点,且正方形CM,根据M为AB(【分析】1)连接 的MBC平面ABCD,是三棱锥因为BCM的面积为S=S=CC11ABCD 正方形 的体积;MBC高,所以利用锥体体积公式,可得三棱锥C 1(或其补角)为异C,所以

13、MBABCD中,因为CDAB,正方形(2)连接BC11 ,AB=,而=BCBMCRt所成的角与面直线CDMC中,可算出 MB= 111 MB=,所以异面直= 利用直角三角形中三角函数的定义,得到tanC 1 arctan 线CD与MC所成角为 1,CM1)连接【解答】解:( ,中点,且边长为1中,正方形ABCDM为AB =SBCM的面积为S= ABCD正方形 又CC平面ABCD, 1CC是三棱锥CMBC的高, 11 三棱锥CMBC的体积为:V=××2=; MBCC11 (2)连接BC 1CDAB, CMB(或其补角)为异面直线CD与MC所成的角 11?平面BCBCCB,AB

14、平面BCCB, 11111ABBC 1 BCRtMCB中,=,MB=AB= 11 CMB=tan 1 MCCD与所成角为arctan所以异面直线 1 上海)某环线地铁按内、外环线同时运行,内、外环线的长(分)2012?20(14千米(忽略内、外环线长度差异)30均为 10列列车同时在内环线上运行时,要使内环线乘客最长候车时间为)当(19分钟,求内环线列车的最小平均速度; (2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时,外环线列车平均速度为30千米/小时现内、外环线共有18列列车全部投入运行,要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟,向内、外环线应各投入几列列车运行? 【分析】(

15、1)设内环线列车的平均速度为v千米/小时,根据内环线乘客最长候 ,从而可求内环线列车的最小平均速度;可得10分钟,车时间为 (2)设内环线投入x列列车运行,则外环线投入(18x)列列车运行,分别求 ,出内、外环线乘客最长候车时间 ,解不等式,即可求得结论 ,根据 【解答】解:(1)设内环线列车的平均速度为v千米/小时,则要使内环线乘客 分钟,可得最长候车时间为10 v20 要使内环线乘客最长候车时间为10分钟,内环线列车的最小平均速度是20千米/小时; (2)设内环线投入x列列车运行,则外环线投入(18x)列列车运行,内、外环线乘客最长候车时间分别为t,t分钟, 21 则 , xN,x=10

16、+当内环线投入10列列车运行,外环线投入8列列车时,内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟 14分)C:(2012?上海)已知双曲线21( 1 (1)求与双曲线C有相同焦点,且过点P(4, )的双曲线C的标准方程; 21 (2)直线l:y=x+m分别交双曲线C=3 ? 两点当B、A的两条渐近线于1时,求实数m的值 的焦点坐标,根据双曲线C与双曲【分析】(1)先确定双曲线C: 21 线C有相同焦点,且过点P(4, ),建立方程组,从而可求双曲线C的标 21准方程; (2)直线方程与双曲线C的两条渐近线联立,求出A、B两点的坐标用坐标,1利用数量积,即可求得实数m的值 , :1)双曲线C【解答

17、】解:( 1 , 0) ,0),焦点坐标为( ,)0,b0 (a的标准方程为设双曲线C 2 ) C双曲线C与双曲线有相同焦点,且过点P(4, 12 ,解得 的标准方程为C双曲线 2 2x,y=的两条渐近线为(2)双曲线Cy=2x 1 )2mm,由,可得x=m,y=2m,A( ),m,y=m,B(m由,可得x=m 2=3m 满足1622(分)(2012?上海)已知数列a、b、c nnn 的值;、时,求bb3+1)设c=3n6,a是公差为的等差数列当b=1( 3n1n2* N 求正整数k,使得对一切n ;,均有b, (2)设b kn , 的通项公式b=1b时,求数列 3()设当 n1 【分析】(1

18、)先根据条件得到数列b的递推关系式,即可求出结论; n(2)先根据条件得到数列b的递推关系式;进而判断出其增减性,即可求出n结论; (3)先根据条件得到数列b的递推关系式;再结合叠加法以及分类讨论分情n况求出数列b的通项公式,最后综合即可 n【解答】解:(1)aa=3, n1n+bb=n+2, nn1+b=1, 1b=4,b=8 32 2)( aa=2n7, n1n+ ,b=b nn1+ ;bbbn由bb0,解得4,即 6n154n+bbbb0,解得n3,即bb由 43n121n+k=4 1n+,1)(3)aa=( nn1+nn1+(1)+(2nbb= n1n+nn1+n1)(n2)bb=(1

19、)(2 1nn1+1=2b;故b 122+22),b=(1)(b 23 n1n2+n2=bb(1)2)( 2nn1nn1+n1)b=(1)(2b 1nn当n=2k时,以上各式相加得 2n2n1)+12+(n+22)+(n12bb=(2+2) 1n =+=+ =+b+= n 当n=2k1时, n+n)+(2=+ =+ b= n 23(18分)(2012?上海)定义向量 =(a,b)的“相伴函数”为(fx)=asinx+bcosx, 记O为坐标原点)a,b)(其中+bcosx的“相伴向量”为 =(函数f(x)=asinxS”构成的集合为平面内所有向量的“相伴函数 ;)S,求证:g(xx)=3sin(x+)+4sinx(1)设g( 的模;,求其“相伴向量”+2co

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