专题71瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题(解析版)

1、专题71瓜豆原理中动点轨迹不确定型最值问题【专题说明】动点枇迹非圆或直线,时，宓本上将此线段转化为一个三角形中，(D利用三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求最值。(2)在转化较难进行时，可借助直角三角形斜边上的中线及中位线或构建全等图形进一步转化求最值。【知识精讲】所谓“瓜豆原理”，就是主动点的轨迹与从动点的轨迹是相似性，根据主、从动点与定点连线形成 的夹角以及主、从动点到定点的距离之比，可确定从动点的轨迹，而当主动点轨迹是其他图形时， 从动点轨迹必然也是.【精典例题】1、如图，在反比例函数y = -2的图像上有一个动点儿连接月。并延长交图像的另一支于点5在 X第一象限内有一点。，满

2、足月06。，当点月运动时，点C始终在函数y =的图像上运动，若市口 xNG后2,则A的值为()A. 2B. 4C. 6D. 8 【分析】/水公90且月0:。生1:2,显然点0的轨迹也是一条双曲线，分别作出人B垂直x轴，垂足分别为.从连接纥 易证，CV=2。从。仁24W,，公.。仁4田八。从 故F4X2=8.【思考】若将条件“SnZ的2”改为“放是等边三角形”，女会是多少？【模型】一、借助直角三角形斜边上的中线1、如图，在AABC中，NC=90 , AOI, BC=2,点A、C分别在x轴、y釉上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是（）A. 6B. 2

3、/6C. 2V5D. 26+2【答案】D【解析】解：如图，取CA的中点D,连接OD、BD,则 0DXD=Acx4=2, 乙乙由勾股定理行，BD=a/22 + 22-2V2-当0、D、B三点共线时点B到原点的距离最大,所以，点B到原点的最大距离是2+2金.故答案为2+272-9【模型】二、借助三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边1、如图，已知等边三角形上边长为26，两顶点月、6分别在平面直角坐标系的x轴负半轴、轴的正半轴上滑动，点。在第四象限，连接,则线段0。长的最小值是（）D. y/3A. V3-1B. 3一6C. 3【答案】B【详解】解：如图所示：过点。作于点耳 连接0E,是等边三角

4、形，.CE=ACXsin60 =2/Jx正=3，AE=BE,2V ZA0B=90 ,:E0=aB=6EC-0E20C,.当点。，0, 在一条直线上，此时最短，故X的最小值为：kCE- E0=3-E故选6.2、如图，NMON=90 ,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM、0N上，当B在边0N上运动时，A随之在0M上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=4, BC=2.运动过程中点D到点0的最大距离是.【答案】2+2 【详解】如图，取AB的中点E,连接OE、DE、OD,VODOE-DE,.当0、D、E三点共线时，点D到点0的距离最大,此时，VAB=4, BC20E=AEAB=2,2DE= y

5、lAD2+AE2 = 22 + 22 = 272，0D的最大值为：2JJ+2, 故答案为23-2.3、如图，在ABC中，NACB = 900, NGR = 30。，AB = 6,以线段A3为边向外作等边A3。，点 石是线段A3的中点，连结CE并延长交线段于点尸.(1)求证：四边形8cp。为平行四边形：(2)求平行四边形BCFD的面积；(3)如图，分别作射线CM, CN ,如图中43。的两个顶点A, 3分别在射线CN, CM上滑动，在这 个变化的过程中，求出线段co的最大长度.【答案】证明见解析：90；3 + 36.【详解】(1)在ABC中，/ACB = 90。，/CAB = 30。，./ABC

6、 = 60。，在等边 aABD 中，/BAD = 60。，./BAD =/ABC = 60。，.E为AB的中点，.AE = BE,又./AEF=NBEC，.nAEF9BEC,在ABC中，NACB = 90。，E为 AB 的中点，.CE = LaB, BE = 1aB, 22/.CE = AE. .-.EAC = ECA = 30, /. BCE = EBC = 60,又.AEF4BEC, ./AFE = 4CE = 60。，又./D = 60。，./AFE = ND = 60。，.-.FC|BD,又:/3=/2 = 60。，也”：,即FD|BC.-四边形BCFD是平行四边形：在RSABC中，.

7、/BAC = 30。，AB = 6，BC = 1aB = 3,2, AC = JabLBC2 =旧_ =3褥，二S平行四边形bcpd = 3x 3 = 90： 取AB的中点G,连结CG, DG, CD /CD.BCE是等边三角形，BC 二 BE,V ZPBQ=ZCBE=60 ,:.ZQBC=ZPBE,VQB=PB, CB=EB,AAQBCAPBE (SAS),V QC = PE,，当EPLAC时，QC的值最小，在 RtZkAEP 中，NA=30 ,，pe/aeW24ACQ的最小值为4故答案为：J 42、如图，边长为12的等边三角形血中，必是高四所在直线上的一个动点，连结班，将线段笈好绕点万逆时

8、针旋转60得到笈V,连结小：则在点必运动过程中，线段小，长度的最小值是（）cIC. 2D. 1. 5A. 6B. 3【答案】B【详解】解：如图，取BC的中点G,连接MG,旋转角为60 ,A ZMBH+ZHBN=60 ,又 V NMBH+ NMBC=NABC二600 ,/. ZHBN=ZGBMVCH是等边AABC的对称轴，1二一 AB, 2，HB 二 BG,又MB旋转到BX, ，B仁 BN,在和NBH中,BG = BHNMBG = ZNBH , MB = NBAANffiGANBH (SAS),，MG 二 NH,根据垂线段最短，当MG_LCH时，XG最短，即HN最短,此时NBCH=，X60 =3

9、0 , CG=-AB=- X12=6, 222X6=3, 22/HN=3：故选:B.【模型】四、借助中位线 1、如图，在等腰直角&45。中，斜边AB的长度为8,以AC为直径作圆，点P为半圆上的动点，连接BP ,取BP的中点M，则C”的最小值为（）A. 35/5B.C. 710-72 D. 3应-小【答案】C【详解】I解：连接AP、CP,分别取AB、BC的中点E、F,连接EF、EM和FM,A EM. FM和EF分别是AABP、ZXCBP和AABC的中位线E1AP, FMCP, EFAC. EFAC 2，NEFC= 1800 -ZACB=90 AC为直径 ，/APC = 90 , HP API C

10、P，点M的运动轨迹为以EF为直径的半圆上 取EF的中点0,连接0C,点0即为半圆的圆心 当0、尔C共线时，CM最小，如图所示，CX最小为（X的长, 等腰直角&亚中,斜边AB的长度为8.AC = BC 二- AB = 4g ；.EF二;AC =2五，FC二;BC = 2E,A0Mx=0F=-EF = V22根据勾股定理可得0C7OF、FC1=回IACMfOC 0M：=V10-/2即cm最小值为故选c.2、如图，抛物线,，=5%2-1与无轴交于A B两点,。是以点。(0,4)为圆心，1为半径的圆上的动点，E是线段A0的中点，连接OE8。，则线段O石的最小值是()A. 2B. C. -D. 322【答案】A【详解】 12,:)，= 一厂一1 , 9.,.当丁 = 0时，0 = 一1,解得：x=3,A点与B点坐标分别为:(一3, 0), (3, 0),即：A0二B0二3