仿真实验：线性系统稳定性分析

1、实验四系统的稳定性，就要求出系统特征方程的根，并检验它们是否都具有负实部。MATLAB 中对多项式求根的函数为 roots（）若求以下多项式的根 s4 10s3 35s2函数。50s 24 ，则所用的 MATLAB 指令Stability analysis of linear systems线性系统稳定性分析、实验目的1通过响应曲线观测特征参量和 n 对二阶系统性能的影响。2熟练掌握系统的稳定性的判断方法。、基础知识及MATLA函数 注意： routh （）和 hurwitz （）不是 MATLAB 中自带的功能函数， （在共享文 件夹里有 劳斯判据和赫尔维茨判据的 m 文件，把其中的 rou

2、th.m 和 hurwitz .m 放到 MATLAB 文件夹下的 work 文件夹中才能运行 ）。1）直接求根判稳 roots（） 控制系统稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。 因此，为了判别为：>> roots(1,10,35,50,24)ans =-4.0000 -3.0000 -2.0000 -1.0000特征方程的根都具有负实部，因而系统为稳定的。2）劳斯稳定判据 routh （）劳斯判据的调用格式为： r, info=routh（den） 该函数的功能是构造系统的劳斯表。其中， den 为系统的分母多项式系数向 量，r为返回的routh表矩阵，info为返回的r

3、outh表的附加信息。以上述多项式为例，由 routh 判据判定系统的稳定性。>> syms EPS den=1,10,35,50,24;ra=routh(den,EPS)r=13524105003024042002400info=由系统返回的routh表可以看出，其第一列没有符号的变化，系统是稳定的。3)赫尔维茨判据hurwitz ()赫尔维茨的调用格式为：H=hurwitz (den)。该函数的功能是构造 hurwitz矩阵。其中，den为系统的分母多项式系数向量。以上述多项式为例，由hurwitz判据判定系统的稳定性。>>de n=1,10,35,50,24; H

4、=hurwitz(de n)H=105000135240010500013524由系统返回的hurwitz矩阵可以看出，系统是稳定的。与前面的分析结果完 王一致。4)开环增益Ko和时间常数T改变对系统稳定性及稳态误差的影响系统开环传递函数为：G(s)10K0s(0.1s 1)(Ts 1)参考以下图片中的仿真程序:G(s)s(0.1s 1)(Ts 1)式中，K0 = R2 / R， R1100k，R20 - 500kT RC,R 100k,C 取 1 F系统开环传递函数为:10K0或0.1 F两种情况。(1 )输入信号Ur1, C1 F ;改变电位器，使R2从07500 k 方向变化，观察系统的

5、输出波形，确定使系统输出产生等幅震荡时相应的R2值及Ko值，分析Ko变化对系统稳定性的影响。(2)分析T值变化对系统的影响。(3)观察系统在不同输入下稳态误差变化的情况。四、软件仿真实现方法(1)开机执行程序c:MatlabbinMatlab.exe (或用鼠标双击MATLAB 图标)，进入MATLAB 命令窗口： “Command Window ”。(2)系统开环传递函数为:G(s)10K0s(O.1s 1)(Ts 1)取 T=0.1，即令 R 100k，C1 F ；取Ko=1，即令R1 R2100k ，建立系统数学模型，绘制并记录其阶跃曲线。(3)理论分析Ko对稳定性的影响。保证T=0.1

6、不变，改变Ko，令Ko分别等于2,3,4,5,即将可变电阻R2分别设置在 200,300,400,500 k 。用劳斯判据求出使系统稳定的Ko值范围，并对上述各种情况分别判断稳定性。(4)由实验验证第(3)步的理论分析结果。分别绘制相应的阶跃响应曲线，并分析Ko变化对系统稳定性的影响。键入程序:%定义元件参数R1=1o5;%电阻参数R1 1ookR=1o5;%电阻参数R 1ookR2=1,2,3,4,5*1o5;%电阻参数R2矩阵，包含R2可取的5个数据C1=1oa(-6);%电容参数C11 FC2=1oa(-7);%电容参数C20.1 FT=R*C1,R*C2;%时间常数T矩阵，包含T可取的

7、两个值%建立系统传递函数；并绘制其阶跃响应曲线for i=1:5K0(i)=R2(i)/R1;%给增益Ko赋值num=10*K0(i);%开环传递函数分子多项式模型den=0.1*T(1),0.1+T(1),1,0;%开环传递函数分母多项式模型Gopen=tf(num,den)%建立开环传递函数 GopenGclose=feedback(Gopen,1,-1)%建立闭环传递函数Gclosefigure(i)t=0:.01:10%建立第 i 个图形窗口step(Gclose,t)%求系统阶跃响应并作图end运行结果如图 3.2-3 所示。可见，K0=2 时，系统临界稳定；随着 K0 的增加，系统

8、将趋于不稳定。（5）在K0=1 （系统稳定）和 K0=2 （系统临界稳定）两种情况下，分别绘制T=0.1和T=0.01 （即保持R=100k Q不变，C分别取 m F和0.1卩F）时系统的阶跃响应，分析T值变化对系统阶跃响应及稳定性的影响。键入程序：%定义元件参数R1=105;R=105;R2=1,2,3,4,5*10A5;C1=10A(-6);C2=10A(-7);T=R*C1,R*C2;%取 K0=1 ，分别绘制 T=0.1 和 T=0.01 时的阶跃响应曲线K0=R2(1)/R1;for i=1:2num=10*K0;开环传递函数分子多项式模型den=0.1*T(i),0.1+T(i),

9、1,0;开环传递函数分母多项式模型Gopen(i)=tf(num,den)建立开环传递函数 Gopen建立闭环传递函数 GcloseGclose(i)=feedback(Gopen(i),1,-1)endfigure(1)%建立第 1 个图形窗口ste p(Gclose(1), 'r',Gclose(2), 'g')%求系统阶跃响应并作图num=10*K0;%开环传递函数分子多项式模型1.6Step Response1.41.210.80.60.40.2107890123456Time (sec)0Ste p Res po nse1.8Step Resp ons

10、e1.61.210.60.40.2m 0.8012345678910Time (sec)0250Step Response2.50.5-0.51 LSte p Res po nse-> * System: Gclose 'Time (sec): 4.67AmpI itude: 0.92123456789Time (sec)200150100e 50.-r /-50-100-150-200010Time (sec)图 3.2-3Ko取不同值时系统响应曲线运行结果如图3.2-4所示。可见,时间常数T减少时，系统动态性能得到改善。%取Ko =2，分别绘制T=0.1和T=0.01时的阶跃

11、响应曲线K0=R2(2)/R1;%取K。=2，即使系统临界稳定的K。值for i=1:2den=0.1*T(i),0.1+T(i),1,0%开环传递函数分母多项式模型Gopen (i)=tf( nu m,de n)%建立开环传递函数GopenGclose(i)=feedback(Go pen( i),1,-1)% 建立闭环传递函数 Gcioseendfigure (2)%建立第2个图形窗口%系统阶跃响应并作图hold onste p(Gclose(1), 'r',Gclose(2), 'g')运行结果如图3.2-5所示。可见，T从0.1变为0.01时，系统由原来

12、的临界稳定状态变为衰减震荡，稳定性和动态性能均得到改善。i.eStep Response141.20.80.604020.533.544.5225Time (secj0015图3.2-4 K0 =1，T分别取0.1和0.01时系统响应曲线Step Response2i.e1.62345e7e9Time （secj图3.2-5 Ko =2, T分别取0.1和0.01时系统响应曲线三、实验内容1. 系统的特征方程式为2s4 s3 3s2 5s 10 0，试用三种判稳方式判别该系统的稳定性。2.单位负反馈系统的开环模型为KG（s） （S 2）（s 4）（S2 6s 25）试分别用劳斯稳定判据和赫尔维茨稳定判据判断系统的稳定性，并求出使得闭环 系统稳定的K值范围。10Ko3,分析开环增益K）和时间常数T改变对系统稳定性及稳态误差的影响，系统开环传递函数为：G（s） s（0.1s 1）（Ts 1）（0.1s 3）四、实验报告1