山东省2021年普通高等教育专升本统一考试

1、山东省2021年普通高等教育专升本统一考试高等数学（n）试题（考生回忆版）1.本考试为闭卷，试题满分100分，考试试卷120分钟。2.本考试说明,需要使用草稿纸，不允许使用计算器。、单项选择题（本大题共5道题，每小题3分，共15分）1.已知函数沁，则x2是函数f（x）的（）A.连续点解:选才iD;B.可去间断点C.跳跃间断点D.无穷间断点limfxlim2.微分方程A.1解:选才iB;x24limx2x2是函数f（x）的无穷间断点.2y"B.2y30的阶数为C.3D.4微分方程的阶数为最高阶导数的阶数，该微分方程的最高阶导数为二阶导数。3.曲线yx3A.(-1,1)解:选才iC;2y

2、'3x26x;3x23的拐点是(B.(0,3)C.(1,1)D.(2,1)当x1时,4.已知函数y"6x6令y"0;当x1时,sinxyy1,所以曲线的拐点为1,1AxsinxyB.xsinxyC.xcosxyDxcos(xy)解:选择A；xcosxy*cosxy,yysinxyxxsinxy5.已知函数f（x）在区间1,+8）上连续函数,.2A.2fxB.2xfx2fx2*2xx2fx2二、填空题（本大题共5题,x每题3分,共15分）6.已知nimanQimbn2,则nim2an2bn解:nim2an222bnliman2atilimbnnn2'27.已知

3、limnxa2,则ax解：ln2;limnxlimn8.曲线xylny1一ea2,则aln2,x0在(1,1)处的法线方程为所以aln2.解：y2x1:两边同时对x求导得yxy1x1,y1代入得y-,所以k法2,则法线方程为yi2(xi)9.直线x4,y0与曲线，即y2x1。x围成平面图形的面积为解:学；S423oxdx-x21610.已知函数f(x，y)在R2连续,设1dx0一22fx,ydy'dx"fx,ydy,交换积分次序10后I=12y2解：I0dy2yy2fx,ydx;积分区域D为圆x2y22y0与、解答题(本大题共8小题,每小题y22以及7分，共y0围成的在第一象

4、限的闭区域56分)11.求极限limnx22解：limnlimnx22x(x1)x1limn12.求极限叫x3xtanx3解：limx0xtanxlim013x22-secx3x2lim2x0tanx3x2lim-x0x13.己知函数ax.1+x12b1,x,x>0b2cosx,x<0x0处连续，求实数a,b解:limfxlimx0b+2cosx=b+2,f0=2b+1limx0x=limx0axu1x1ax=lim=2a因为函数在x0处连续,limfx0limfx0xf(0)0所以b22b12a,所以a14.求不定积分2sinxcosx2-dx4sinx解:_2sinxcosx2

5、dx14sinx_2sinx2dsinx14sin2x24sinx14sin2x1-dsinx1141-sinx4114sin2xdsinxIsinx41,c.一arctan2sinx815.求定积分5C、_,d2x1e(1dx解:令J2x当x1时,时,2x1edx1t3i(tdttde1tet16.求微分方程2ydy1解:方程可化为dydx11arctan42,dxtdt;cosx2sinx3etdt11y21cosx1y22y3e3eet3dx0在条件2ydy2e3.yx00条件下的特1cosxdx两边同时积分得当dy1ycosx解得1nxsinxC又Vx0。代入上式得C,所以特解为1n1

6、sinx17.求fx,y2x3xy3c2y2的极值.f解：x,yx223yfyx,y3x3y0得驻点(1,1),(2,2)fxxfx,y2x,fxyx,y3,fwx,y在(1,1)处，A2,B3,C3，则acB23。，故(1,1)不是极值点.在2,2处，A4,B3,C3,贝UACB23。，又A0,所以2,2是极值点，且极小值为2f2,2一318.计算二重积分2ydxdy，其中d是由直线yx,y4x与曲线xy1围成的在第一象限内的闭区域。y解：y4x1交点为2,2xD1202ydxdy12dx02ydy1xxx2ydyxy4xdx1"dxx20x22x2dx2x2dx6x3212153

7、2123四、应用题(本大题共1题，每小题7分，共7分)19.生产某设备的固定成本为1000万元，每生产一台成本增加20万元，已知需求价格函数为PQ200Q,问销售量为多少时，总利润达到最大？最大利润是多少？解:成本函数为CQC1QC。20Q1000,则利润函数为LQRQCQ200QQ20Q1000Q2180Q1000L'Q2Q180,令L'Q0得唯一驻点Q90,L20由于实际问题最大值一定存在，故唯-的极大值点即为最大值点所以销售Q90台时，总利润达到最大，最大利润为L907100万元.五、证明题(本大题共1小题，每小题7分，共7分)20.设函数f(x)在区间0，1上连续，在区间(0,1)内可导，且f00,证明：存一点(0,1)使彳#f()ftan(1)成立.解:设Fxfxsin(1x),显然F(x)在0,1内连续，在区间(0,1)内可导又F0f0sin1