七年级下册数学专题复习1.2实数重难点题型(2)

1、专题1.2实数重难点题型【考点1实数相关概念】【方法点拨】掌握有理数与无理数相关概念是关键.【例1】（2019秋？资中县月考）下列说法：一个无理数的相反数一定是无理数；一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算；一个有理数与一个无理数的和或差一定是无理数；实数m的倒数是工.m其中，正确的说法有（）A.B.C.D.【分析】根据实数的有关定义及运算逐一判断即可.【答案】解：一个无理数的相反数一定是无理数，正确；一切实数都可以进行开立方运算，只有非负数才能进行开平方运算，正确；一个有理数与一个无理数的和或差一定是无理数，正确；0没有倒数，此结论错误；故选：C.【变式1-1（2019?

2、绵阳校级期中）下列说法：实数和数轴上的点是一一对应的；无理数是开方开不尽的数；负数没有立方根；16的平方根是 4,用式子表示是 加 4;某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是0,其中错误的是（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【分析】利用实数的分类，无理数定义，立方根及平方根定义判断即可.【答案】解：实数和数轴上的点是一一对应的，正确；无理数不一定是开方开不尽的数，例如k错误；负数有立方根，错误;16的平方根是用式子表示是 ±万互=M，错误；某数的绝对值，相反数，算术平方根都是它本身，则这个数是 0,正确,则其中错误的是3个，故选：D.【变式1-2（2019春

3、?莘县期中）下列说法中，其中不正确的有（）任何数都有算术平方根；一个数的算术平方根一定是正数；a2的算术平方根是a;算术平方根不可能是负数.A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个【分析】分别根据平方根和算术平方根的概念即可判断.【答案】解：根据平方根概念可知：负数没有算术平方根，故错误；反例：0的算术平方根是0,故错误；当a<0时，a2的算术平方根是-a,故错误；算术平方根不可能是负数，故正确.所以不正确的有.故选：D.【变式1-3（2019秋?成都月考）下列说法正确的是 （）A. 一个有理数的平方根有两个，它们互为相反数B.负数没有立方根C.无理数都是开不尽的方根数D.无理数都是无限

4、小数B,【分析】解答本题可以有排除法解答，根据平方根的性质可以排除A,根据立方根的意义可以排除根据无理数的定义可以排除 C,故可以得到正确答案.【答案】解：（1）由平方根的性质可以得知，负有理数没有平方根，0的平方根是0,，A错误.（2）二任何实数都有立方根， B答案错误.（3）二无理数的定义是无限不循环小数叫做无理数，C答案错误. .D答案正确.【考点2无理数的概念】【方法点拨】无理数有三个条件：（1）是小数；（2）是无限小数；（3）不循环.在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一点，归纳起来有四类：（1）开方开不尽的数，如 "V2 等; 冗（2）有特定意义的数，如圆周率 兀，或化

5、简后含有 兀的数，如一+8等;3（3）有特定结构的数，如 0.1010010001等;【例2】（2019春?阜阳期末）有下列实数:是（）0,汨,0.&&,其中无理数的个数2A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【分析】根据无理数、有理数的定义即可判定选择项.【答案】解：竿，-3.14159, 0,处而，0召1是有理数，Vs 会是无理数，故选：B.【变式2-1（2019?定陶区期中）在实数 1.414,a,3.1S&, 2邪,3.212212221, 3.14中，无理数的个数是（）个.A. 1B. 2C. 3D. 4【分析】无理数常见的三种类型（1）开不尽的方根（2）特

6、定结构的无限不循环小数（3）含有兀的绝大部分数，如2 7t.兀是无理数，31 4无限循环小数是有理数,3.14有限小数是有理数.【答案】解：-1.414是有限小数，是有理数，鱼是无理数,2+,是无理数，3.212212221 是无限不循环小数是无理数，, 点，0.&,0.1010010001 （两个 1 之间【变式2-2（2019春?越秀区校级期中）下列各数：1 ,7依次多一个0）,J49中无理数的个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【分析】无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数，

7、而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.【答案】解：-筋，-0.1010010001（两个1之间依次多一个 0）是无理数,【变式2-3（2019秋?花溪区校级期末）一7 一一11在石,3.33, - , 2- , 0, 0.454455444555 , J09,127, $中，无理数的个数有（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个【分析】根据无理数的定义求解即可.【答案】解：,0.454455444555，-是无理数，【考点3无理数的估算】【方法点拨】 在一些题目中我们常常需要估算无理数的取值范围，要想准确地估算出无理数的取值范围需要记住一些常用数的平方。一般情况下从1到达20整数的

8、平方都应牢记。【例3】（2019?南开区校级期中）估计 历 2的值（）A .在4和5之间 B .在3和4之间 C .在2和3之间 D .在1和2之间【分析】求出*五的范围，者B减去2即可得出答案.【答案】解：: 36<41<49,. .每 <历<正，.-6<Hi< 7,4屈-2<5,故选：A.【变式3-1（2019?海淀区校级期中）已知整数 m满足m J38 m 1,则m的值为（）A. 4B. 5C. 6D. 7【分析】本题从 子荻的整数大小范围出发，然后确定m的大小.【答案】解：由题意当m=6时，则m+1=7适合.则a b的值为（b） ab的值是（【

9、例4】（2019秋冻港市期中）如图，数轴上A, B两点表示的数分别为1 ,J2 ,点B关于点A的对称点为点C ,则点C所表示的数是（|鼻BA5a. 1 72b. 72 1【分析】首先利用已知条件可以求出线段【答案】解：二点 A是B, C的中点.）C. 2 V2D. V2 2AB的长度，然后根据对称的性质可直接解答.【变式3-2】（2019春?德城区期末）若 3 Q的小数部分为a, 3展的小数部分为b,A. 0B. 1C. 1D. 2【分析】运用有理数逼近无理数，求无理数的近似值求解.【答案】解：: 2 VMiv 3,5V 3+V?< 6, 0V 3/5< 1a = 3+- 5=5

10、- 2. b = 3 -，a+b=- 2+3 -1,故选：B.【变式3-3（2018春？巴南区期末）若 #3的整数部分是a ,小数部分是b ,则式子3（a）A.9B, 9C. 19D. 3A【分析】先进行估算 后的范围，确定a, b的值，再代入代数式即可解答.【答案】解：:描<-3< J13< 4,a = 3, b = V13- 3, .3 （a+b） - ab=3x （3+五1 3） - 3X （寸记-3） = 301 -旷自9= 9.故选：B.【考点4实数与数轴上点的对应关系】【方法点拨】数轴上的点与实数一一对应设点C的坐标是x,则二/也二-1,2贝U x= - 2+，点

11、C表小的数是-2+J.故选：D.【变式4-1如图，数轴上 A, B两点表示的数分别为1和J3,点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数为（）1 1 »C Ao £A. 2 73B,1 73C, 2 V3D. 1 V3【分析】由于 A, B两点表示的数分别为-1和唐，先根据对称点可以求出OC的长度，根据 C在原点的左侧，进而可求出 C的坐标.【答案】解：二对称的两点到对称中心的距离相等， .CA=AB, |- 1|+|/3|= 1+VS, .OC = 2+Vj,而C点在原点左侧，二.C表示的数为：-2 -故选：A.【变式4-2（2019春?I临河区期末）如图，数轴上表示1、

12、4的对应点分别为点 A、点B.若点A是BC的中点，则点C所表示的数为（）A.内 1B. 1 石C. 73 2D. 2 V3【分析】设点C表示的数是x,再根据中点坐标公式即可得出x的值.【答案】解：设点 C表示的数是x,数轴上表示1、的对应点分别为点 A、点B,点A是BC的中点，.士叵=1,解得x = 2一心.2故选：D.【变式4-3（2018摘通）如图，数轴上的点A, B, O, C, D分别表示数 2, 1, 0, 1, 2,则表示数2娓的点P应落在（） A B O C D -4-3-21012345A .线段AB上B .线段BO上 C.线段OC上 D .线段CD上【分析】根据2VMiV 3

13、,得到-1V2-诋<0,根据数轴与实数的关系解答.【答案】解：2<V5<3, - 1V 2 -0,表示数2-Q另的点P应落在线段BO上，故选：B.【考点5实数比较大小】【方法点拨】实数大小比较的几种常用方法(1)数轴比较：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。(2)求差比较：设a、b是实数,a b 0 a b, a b 0b, a(3)求商比较法：设 a、b是两正实数,.ab； 1 a bbl 1ab；(4)绝对值比较法：设 a、b是两负实数，则(5)平方法：设a、b是两负实数，则a2b2【例5】已知a , b , c23则下列大小关系正确的是【分析】将a,A.VxB

14、. Vxx2 C. x2xxD.【分析】由于已知 x的取值范围,所以可用取特殊值的方法比较大小.b, c变形后，根据分母大的反而小比较大小即可.【变式5-1若01的大小关系为（【答案】解：二若 0vxv1,可取x= 0.01,o. 01= 10,= 0.1, x2= 0.012=0.0001 ,故选：D.代入上式得： Vi=a/O. 01【变式5-2】（2019以津模拟）比较大小：4、尺、丁70的大小关系是（）70即可判断出4、星、A.后 4 3/70- B. 4 3;70 炳 C,痂 4 厢 D. 4 压 3【分析】根据实数大小比较的方法，分别判断出4、J1豆以及4、齐诃 的大小关系，如后的

15、大小关系.【答案】解：: （五口2=15，42=16, 15<16, /<4;-43=64, C）3= 70, 64<70,4<| 痂，1S< 4 V故选：A.b、c的大小关系是（【变式5-3】（2019秋?高邮市期末）若a 5 屈,b 3 后,c 1 加，则a、）A. cbaB. bcaC. cabD. b a c【分析】分别给a, b, c平方，再比较大小即可.【答案】解：: a= 5+J16, b = 3+、J17, c= 1+VT9,.-.a2=40+10/i5, b2= 26+617, c2= 20+2719,a2> b2>c2,a>b

16、> c,故选：A.【考点6实数的运算】【例6】（2019春曲昌县期中）（1）计算：/8 6 （V3）2 |1 衣|（2）解方程（x 3）2 64【分析】（1）直接利用立方根以及绝对值、二次根式的性质分别化简得出答案;（2）直接利用平方根的定义得出答案.【答案】解：（1）原式=-2-J+3+巧-1=0；（2）由题意可得：x-3= 8 或x-3=- 8解得：x= 11 或 x= - 5.【变式6-1】（2019春？!匕流市期中）（1）计算：J4 百了8（2）求 x 的值：12（x 1）2 27【分析】（1）直接利用立方根的性质以及二次根式的性质分别化简得出答案；（2）直接利用平方根的定义计算

17、得出答案.【答案】解：（1）原式=2 -（兀 2（2） 12 （x+1） 2 = 27则（x+1） 3 (x- 2) 2 = 27号故x+1 =节，解得：x1 =x2=一8. 2 ( 1)2019【变式6-2】（2019春?费县期中）（1）计算：（1） （ 2）（2）解方程：3（x 2）2 27【分析】（1）直接利用二次根式以及立方根的性质分别化简进而得出答案;（2）直接利用平方根的性质计算得出答案.【答案】解：（1）原式=4>i+2+£_l=4 -（x - 2） 2=9,则x - 2=垃解得：x = - 1或5.【变式6-3】（2019春？都县期中）（1）计算：（45）2喀（

18、善）33；1（2）3 ；（2）解方程：2（x 1）3 16 0【分析】（1）直接利用立方根以及算术平方根化简得出答案；（2）直接利用立方根的定义分析得出答案.【答案】解：（1）（通）2-亚福+|-（如）3臼 J） $=5_5_4_2=6;（2）2 （x- 1） 3+16=0贝U （ x- 1） 3= - 8,故 x - 1 = - 2,解得：x= - 1 .【考点7平方根立方根性质的应用】【方法点拨】1、平方根如果一个数的平方等于 a,那么这个数就叫做 a的平方根（或二次方跟）。一个数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。2、算术平方根正数a的正的平方根叫做 a的算术平

19、方根。正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。3、立方根如果一个数的立方等于 a,那么这个数就叫做 a的立方根（或a的三次方根）。一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根是零。【例7】（2019春?宁县期末）已知 2a 1的算术平方根是3, 3a b 1的平方根是 4, c是病的整数部 分，求a 2b c的平方根.【分析】先依据算术平方根和平方根的定义列出关于a、b的方程组求得a、b的值，然后估算出 后的大小，可求得c的值，接下来，求得 a+2b-c的值，最后求它的平方根即可.【答案】解：由题意得：Pa-1=9,1-1=16a = 5, b = 2.,9V13

20、V16,3<713< 4.c= 3.a+2b c= 6.a+2b-c的平方根是 士医.【变式7-1(2018春坪凉期中)已知5a 2的立方根是3, 3a b 1的算术平方根是4, c是展的整数部 分.(1)求a , b , c的值；(2)求3a b c的平方根.【分析】(1)利用立方根的意义、算术平方根的意义、无理数的估算方法，求出 a、b、c的值；(2)将a、b、c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可.【答案】解：(1) . 5a+2的立方根是3, 3a+b - 1的算术平方根是4,.-5a+2=27, 3a+b- 1 = 16,a = 5, b = 2,c是I： 的整数

21、部分， c= 3.(2)将 a=5, b=2, c= 3 代入得：3a b+c= 16,3a-b+c的平方根是 也.【变式7-2】(2018春?庆阳期中)已知 M n</m 3是m 3的算术平方根，N 2m 4n)n 2是n 2的立方 根，试求M N的值.【分析】根据算术平方根和立方根的定义得出方程组，求出 m、n,再求出M、N,即可得出答案.【答案】解：.M=V福百是m+3的算术平方根，N = 2m4./三是n- 2的立方根，n - 4= 2, 2m 4n+3=3,解得：m=12, n=6,M=V12+3=, N=如,【变式7-3(2018秋?卢龙县期中)已知 A mjm n 10是m

22、 n 10的算术平方根，B m 2nl4m 6n是4m 6n 1的立方根，(1)求出m、n的值.(2)求A B的平方根.【分析】(1)根据立方根和平方根的定义，列出有关m和n的方程，求出 m、n的值.(2)把m、n的值代入求出 A和B,进一步得出 A- B的平方根.【答案】解：(1)根据题意得：m- n= 2, m- 2n+3 = 3,解得：m = 4, n=2;(2)m=4, n=2,. m+n+10= 16, A=4; 4m+6n- 1 = 27, B=3,.A- B = 1,A-B的平方根为土 .【考点8利用实数的性质求代数式的值】【例8】(2019秋？F城区校级期中)求下列各代数式的值

23、(1)已知 1a2b| 2,求2a4b 3a_6b 3 的值. a 2ba 2b a 2b(2)实数10 V5的整数部分是x,小数部分是y,求x y的值.(3)若a、b互为相反数，a、c互为倒数，并且 m的平方等于它的本身，试求 2a 2b ac的值.m 2【分析】(1)先求出空学-=受，再分别代入求出即可；a-2b(2)求出的范围，求出x、y,再代入求出即可；(3)根据已知求出 a+b=0, ac=1, m=0或1,再分别代入求出即可.【答案】解：(1) |亘上组|=2,a+2b当口理=2时，生型=工，a-2b4+2b 22a+4b + 3a-6b 3=2x(-2) +3x(-1)=- 5.

24、5； a-2b 升生2(2) . 2<V<5< 3, . 12V10+ 7s< 13,x= 12, y= 10+而-12=2,x- y= 12 - ( fS 2) = 14-枳;(3) .a、b互为相反数，a、c互为倒数，并且m的平方等于它的本身,a+b= 0, ac=1, m= 0或 1,当 m= 0 时，及+2匕 +ac= 0+1 = 1；nH-2当 m= 1 时，囱母-+ac= 0+1 = 1;nrF2即 +ac= 1.m+2【变式8-1(2019春哦石港区校级期中)已知 a、b互为相反数，c它本身，p是平方根等于本身的实数，求p2019 cd 2 m2的值.d互

25、为倒数,m的算术平方根等于【分析】直接利用相反数以及倒数、算术平方根、平方根的定义分别代入化简得出答案.【答案】解：: a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的算术平方根等于它本身,p是平方根等于本身的实数,m= 0 或 1, p= 0,当m= 1时,2019.二二.+mJ b=0+1+0+1=2;当m= 0时,2019 'I , _+ud+m=0+1+0+0的平方根，求yz x的平方故答案为：1或2.【变式8-2（2018秋第西县期中）已知实数 a,b,c,d,e, f,且a, b互为倒数,数，e的绝对值为72, f的算术平方根是8,求1ab c-d e2 3 f 的值.25【分析】根

26、据相反数，倒数，以及绝对值的意义求出c+d, ab及e的值，代入计算即可.【答案】解：由题意可知：ab=1, c+d=0, e=l/±, f = 64,，e2=（正）2=2,在褥4,.寺b+e2+/=+0+2+4 = *【变式8-3（2019春？W禺区期中）已知 a, b互为相反数，c , d互为倒数，x是3包巨展d x的值.4【分析】直接利用相反数的定义以及倒数的定义、平方根的定义分别分析得出答案.【答案】解：: a, b互为相反数，c, d互为倒数，x是3的平方根,a+b= 0, cd=1, x=斤+x=0 _ 3 3=-2 7或 0.【考点9算术平方根的非负性】【例9】（201

27、9春哦州区期末）已知|y 2| 0,且羽 2z与我z 5互为相反数,>根.【分析】根据非负数的性质求出x, y的值，根据相反数求出 z的值，再代入代数式求值.【答案】解： h/s+l+|y-2|=0, - x+1 = 0, y- 2=0,x= - 1, y= 2.;且折石与性W互为相反数，1 2z+3z_ 5= 0解得z= 4.，yz-x=2X4- (- 1) =9,，yz- x的平方根是3.【变式9-1(2019秋琳甸县期末)若 x、y都是实数，且y "3 J3""X 8,求x 3 y的立方根.【分析】首先根据二次根式的非负性可以求出x的值，再将其代入已知

28、等式即可求出y的值，从而求出x+3y的值，再对其开立方根即可求解.【答案】解：: y= Vm-3+a/ 3r+8,3-x0解得：x=3,将x=3代入，得到y=8,，x+3y=3+3 X8=27,晒=3,即x+3y的立方根为3.【变式9-2(2019春评龙区校级期中)已知12a b |与。3b 12互为相反数.(1)求2a 3b的平方根；(2)解关于x的方程ax2 4b 2 0.【分析】(1)依据非负数的性质可求得a、b的值，然后再求得 2a-3b的值，最后依据平方根的定义求解即可；(2)将a、b的值代入得到关于 x的方程，然后解方程即可.【答案】解：由题意，得 2a+b=0, 3a+12=0,

29、解得 b=-4, a=2.(1) 2a- 3b= 2X23X( 4) =16,，2a-3b的平方根为也.(2)把 b= - 4, a= 2 代入方程，得 2x2+4X ( 4) - 2 = 0,即 x2= 9,解得x=坟变式9-3】已知实数 x、v、m满足关系式5y2m J2'x3ym 尿100yg汗而xy ,求xy的值.【分析】根据被开方数大于等于0列式求出x+y=100,再根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解.【答案】解：由题意得， x-100+yRO且100-x- y所以，x+y>100且 x+y< 100所以，x+y=100，等式可化为 V3x+5y-2ir+V2x+3y-in=0,所以，3x+5y-2-m = 0, 2x+3y-m=0,两式相减得，x+2y=2，联立解得x= 198,y= - 98,所以，xy= 198X(- 98) =- 19404.【考点10利用实数性质化简求值】【例10】(2019秋？宜兴市期中)实数a、b、c在数轴上的对应点位置如图所示，化简：.(c)2 |a b| 3 (a b)3 |b c|i