22、单线段最值问题整合

1、单线段最值问题(一)基本分类邓晋荣一、 单动点若要求最值的线段一端为定点，另一端为动点，则需要研究动点所在轨迹，一般为圆或直线.1 .点在直线上运动点尸是直线/上一动点，A是直线外一点，求从产的最小值.过点/H乍APU/,垂足为P,贝IJAPWAP.2 .点在圆上运动点P为£0上一动点，A是圆外一点，求AP的最值.连接A0并延长，交的于4、鸟两点，则A64APVA2.例L如图，已知正方形ABC。，A8=2, E、/分别在8C、C。上运动，且BE=CF, AE . BF交于点、G ,则CG的最小值为.例2.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2, 4),点P0.O) , 8是轴y上一动

2、点，过点A作A8_LAC交x轴于点C,财是6C中点，则的最小值为.例3,如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OA8c的顶点A在)，轴上，QA = 3, OC = 4, D 是线段A8上一动点，以CD为边在与点8同侧作正方形CQEE,则OE的最小值为例4,如图，在边长为。的等边A8C中，4XL8C,点E是直线AO上的一个动点，连接CE, 把线段CE绕点。逆时针旋转60。得到CF,连接QF,则。尸的最小值为.例5.如佟I，在RtAABC中，ZAC8 = 90。，AC = 8C = 4,。是3C边上一动点，连接AO交 以CO为直径的圆于点E，则8E的最小值为.例6,如图，在A5C中，ZACB = 90

3、% NBAC=30。，BC = 2,。是AB边上一点，以AD 为边在aABC外侧作等边AQE,过点。作。E的垂线，/是垂线上一点，G是E尸中点， 则CG的最小值为.3.多动点转化为单动点（1） 双动点转单动点例7,如图，在RIA48C中,ZC = 90° , AC = 4 , 3C=3,。是 AC 上一动点，DEI AC.DF工BC,则上厂的最小值为例8如图，0A与人轴交于8（2, 0）、。（4, 0）两点，点尸是y轴上一动点，DP切0A于点D,则OP的最小值为例7（2） 相对运动转化例9.如图,在坐标系中，点A、8分别在X、y轴上运动，且A8 = 2 ,在第一象限作等边A5C ,

4、则OC的最大值为.例10. 如图，在坐标系中，点A、3分别在X轴、直线），=工上运动，且AB = 2,以A3为 边在点O异侧作等边A8C ,则OC的最大值为.圆中的弦，由半径与圆心角（圆周角）决定，若圆心角固定，则弦的最值转化为半径的最值.半径的最值问题可以转化为单动点问题，也可以由半径与弦的关系求得（0</W2r）.例 11. 如图，在A5C中，A8 = AC = 8, ZBAC= 120°, O在线段3c上且 8 = 33。, 点、E、尸分别在射线区4、C4上，若NE>。尸=60。，则EP的最小值为.单线段最值问题（二）连锁轨迹3 Q例12. 如图，已知y = -1F

5、-Lr + 6与入轴交于A、B两点,与），轴交于点C, O是线段 84BC上一动点，尸是A。中点.过点D分别作AB、AC的垂线，垂足为E、F两点，则EF 的最小值为.例 13. 如图，在RtZiABC中，AC = 6, 8c = 8, P、。是AC、8c上的动点，CP0的 外接圆，恰好与直线AB相切，则P。的最小值为.例12三、动态折叠动态折叠的情况更加复杂，可以转化为单动点问题，也可能无法转化.例 14. 如图，在RtaABC中，ZACB = 90% AC = 6, BC = 4,。是 AC 中点，E在BC 上运动，沿OE折叠，使点。落在C处，则8C'的最小值为.例 15. 如图，在

6、 R»A3C 中，ZACB = 900 9 AC = 6, BC = 8, D、E 分别是 AC、BC 上的动点，沿DE折叠,使点C落在C'处，则AU的最小值为.例16. 如图，已知等边A3C,边长为4,。、E是AC、A3上两动点，沿OE折叠，使点A恰好落到BC上，则8的最大值为.例14例15邓晋荣 例L如图，在A48c中，A8 = 2, 47 = 3,以BC作等边BCD, B、D、C三点为逆时 针顺序，则AO的最大值为.例2,如图，在平面直角坐标系中，己知矩形。4BC的顶点A在丫轴上，。4 = 3, OC = 4,。是 线段A8上一动点，以CZ）为边在与点8同侧作正方形CD

7、EF,则OE的最小值为例3.如佟I，在边长为。的等边A8C中，4XL8C，点E是直线AO上的一个动点，连接CE， 把线段CE绕点C逆时针旋转60。得到CF,连接OF,则。F的最小值为.例3实际上，例1可以修改如下：例4.如图，AC= 3 ,点B在以A为圆心，半径为2的圆上运动，以BC为边作等边BCD , B、C、。三点为逆时针顺序，则AO的最大值为思考，我们能否证明点。也在某个圆上运动？如果把例4中的等边三角形改为等腰直角三角形呢？例5.如图，AC = 3,点8在以A为圆心，半径为2的圆上运动，以5c为斜边作等腰直角 BCD, B、C、。三点为逆时针顺序，则A。的最大值为.1.位似变换如图，A

8、是定点，点P在直线BC （感。）上运动，A （定点）A （定点）.4/（从动点B，/主动点）/ M从动点M是AP中点定点从动点）MBP （主动点）P（主动点）O2 .旋转变换（旋转型全等）如图，A是定点，点P在直线8c 蛾 O）上运动，作等腰直角AP。，NPA0 = 9O。（此处可以看作点P绕点A逆时针旋转90。）从动点）例10例93 .旋转位似变换（旋转型相似）如图，A是定点，点P在直线8c 蛾 O）上运动，作等腰直角“尸。，乙4P0 = 90。（此处可以看作点P绕点儿逆时针旋转45。后，再以点A为位似中心扩大/2倍）结论1：若某动点（称为主动点）在某轨迹上运动，则与其连锁运动的点（称为从动

9、点）也 在同样的轨迹上运动。主动点在某直线上运动，从动点也在另一直线上运动；主动点在某圆上 运动，从动点也在另一圆上运动。（此处的“连锁运动”即指主动点经过固定几何变换得到从动点）结论2：若主动点圆上运动，则应该把圆心进行同样的几何变换，得到从动点的圆心；若主动 点在直线上运动，则选择该直线上任意一点，进行同样的几何变换，变换后的点与从动点构成从动点所在直线，之后，再通过“手拉手”模型进行推导证明。结论3：主动点所在轨迹与从动点所在轨迹的长度之比等于位似比。例6 ,如图，在四边形A8CO中，ZABC=Z4DC=90% AD=CD=G , E是BD中点"则 CE的最小值为.例7.如图，

10、在坐标系中，点A(3, 0),点5在直线)，= -6x +3上运动，以A3为边作等边A3C, 5、A、C三点为逆时针顺序，则OC的最小值为.例8.如图，A8是的直径，C是OB上一点，P是。上一动点，以CP为底边作等腰直 角MPD ,、。、。三点为逆时针顺序,若从8 = 6, OC=2,则AD的最小值为.例9如图，点O在线段A反上，。4=1, 03=2,以点。为圆心，。4长为半径作9。，点 P 在 QP 上运动，以 BP 为边作 aBCP ,使 NP5C = 90。，tanZBPC=2, P、B、C 三点 为逆时针顺序，则AC的取值范围是.例10.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2, 4),

11、点尸(1, 0) , 3是轴)，上一动点，过点A作A8L4C交x轴于点C, M是8c中点，则PM的最小值为.单线段最值问题练习练L如图，在8中，半径为6, C是8上一动点，且Z4CB=30。，延长。3交过点A的 切线于点Q，则5。的最小值为.练2.如图，点A是直线y = r上的动点，点8在x轴上运动，作矩形ABC。，加=2,4)= 1， A、B、C、。四点为逆时针顺序，则。的最大值为.练3.如图，在等边aABC中，A8 = 3,点。、E分别在8C、AC上运动，且8O = CE, AD 交BE于点、F ,则CF的最小值为.练4 .如图，在菱形A5CO中，AC = 2, 8。= 4, P是CD上一

12、动点、,分别作点P关于AC、A。的对称点4、R,则62的最小值为练5 .如图，已点A(3,0), C(0.4) , 0C的半径为2,点尸题)C上一动点，M是AP中点，则0M的最小值为.练6.如图，已知半径为3 , A、8是00上两点，将点B绕点A逆时针旋转90。得到点C, 则OC的最小值为.练5练7 .如图，AB是C/7的直径，C是AB中点，。是3C上一动点，过点C作CE_LCD交月。于点E,则BE的最小值为.练8.如图，在等边ABC中，。是5c上一动点，M是AO中点，将线段0M绕点。顺时 针旋转60。得到ON.当点。从点B运动到点。时，点N运动的轨迹长为.练9.如图，已知定点A横坐标为26，

13、过点A且垂直于x轴的直线交x轴于点M ,交直线 ，=_4,于点N.尸是线段ON上一动点，作APB, N8AP=90。，ZAPB = 30。，A、尸、 8三点为逆时针顺序.当点尸从点。运动到点N时，点8运动的轨迹长为.Ay练10. 如图，AP = 3, BP = 4,作正方形A8CO, A、8、。、。四点为逆时针顺序，CP 的最大值为.练1L 如图等边ABC中，P是AC边上一动点，作BOP, ZPBD = 30° , PB = PD, P、B、。三点为逆时针顺序，则CO的最小值为.练 12. 如图，aABCs力£>石，NBAC=ND4E = 90。，AB = 6, AC = 8,厂是OE 中点， 若点。在直线3C上运动，连接