高考数学主题复习——函数周期性与对称性

1、函数的周期性与对称性函数周期性与对称性 1. 常见函数周期:y=sinx，最小正周期T2； y=cosx，最小正周期T2； y=tanx，最小正周期T； y=cotx，最小正周期T.周期函数f(x) 最小正周期为T,则y=Af(x+)+k 的最小正周期为T/|.2.几种特殊的抽象函数的周期：函数满足对定义域内任一实数（其中为常数）, ，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数； ，则是以为周期的周期函数；，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.，则是以为周期的周期函数.函数满足（），若为奇函数，则其周期为，若为偶函数，则其周期为.函数的图象关于直

2、线和都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于两点、都对称，则函数是以为周期的周期函数；函数的图象关于和直线都对称，则函数是以为周期的周期函数；（二）主要方法：判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的恒有; 二是能找到适合这一等式的非零常数，一般来说，周期函数的定义域均为无限集.解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值。二、对称性：函数关于原点对称即奇函数： 函数关于对称即偶函数： 函数关于直线 对称：或或 者 函数关于点对称：1f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，且f(2)=0在区

3、间（0，6）内解的个数的最小值是 A2； B3； C4； D5（ ）2设函数为奇函数，则（ ）A0B1CD53已知f(x)是R上的偶函数，对都有f(x6)=f(x)f(3)成立，若f(1)=2，则f(2011)=( )A、2005 B、2 C、1 D、04 设f（x）是定义在R上以6为周期的函数，f（x）在(0,3)内单调递减，且y=f（x）的图象关于直线x=3对称，则下面正确的结论是 （ ）(A)； (B)；(C)； (D)5设函数与的定义域是,函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于A. B. C. D.6.已知定义在R上的函数f (x)的图象关于成中心对称，且满足f (x) =, f

4、(0) = 2，则f (1) + f (2) + f (2010)的值为（ ）A2 B1 C0 D17.已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值是 高考资源网 A.0 B. C.1 D. 8.若是定义在R上的奇函数，且当x0时，则 9.定义域为R，且对任意都有，若则=_10设f(x)是定义在R上的奇函数,且y=f(x)的图象关于直线对称,则f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)= 。11：已知函数f(x)在(1，1)上有定义，f()=1,当且仅当0<x<1时f(x)<0,且对任意x、y(1,1)都有f(x)+f(y)=f(),试证明: (

5、1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(1，1)上单调递减. 12. 已知函数yf (x)是定义在上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数又知yf (x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值. 证明：；求的解析式；求在4,9上的解析式.13设是R上的偶函数（）求a的值；（）证明f（x）在（0，+）上是增函数14设（）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称对任意，都有（）（）·（），且f(1)=()求； ()证明（）是周期函数； （）记（），求参考答案7.解析：令，则；令，则由得，所以，故选择A。8.2 9. 10.011.证明: (1)由f(x)+f

6、(y)=f()可令x=y=0,得f(0)=0,令y=x,得f(x)+f(x)=f()=f(0)=0. f(x)=f(x). f(x)为奇函数. (2)先证f(x)在(0，1)上单调递减. 令0<x1<x2<1,则f(x2)f(x1)=f(x2)+f(x1)=f()0<x1<x2<1,x2x1>0,1x1x2>0，>0,又(x2x1)(1x2x1)=(x21)(x1+1)<0，x2x1<1x2x1,0<<1,由题意知f()<0，即f(x2)<f(x1). f(x)在(0，1)上为减函数，又f(x)为奇函数且

7、f(0)=0 f(x)在(1，1)上为减函数.12.解：f (x)是以为周期的周期函数，又是奇函数，当时，由题意可设，由得，是奇函数，又知yf (x)在0,1上是一次函数，可设，而，当时，f (x)=-3x，从而当时，故时，f (x)= -3x，.当时，有，0. 当时， 13.（I） 解：依题意，对一切有，即 所以对一切成立. 由此得到即a2=1. 又因为a0，所以a=1. （II）证明一：设0x1x2， 由 即f（x）在（0，+）上是增函数 证明二：由得 当时，有此时 所以f（x）在（0，+）上是增函数14.()解：因为对，都有（）（）·（x）,所以（）0， ()证明：依题设（）关

8、于直线对称，故（）（）， 即（）（），R又由（）是偶函数知（）（），R，（）（），R，将上式中以代换，得（）（），这表明（）是R上的周期函数，且2是它的一个周期. （）解：由()知（）， （）的一个周期是2 （）=（）,因此an=（三）典例分析： 问题1(山东)已知定义在上的奇函数满足，则的值为 xyBA问题2(上海) 设的最小正周期且为偶函数,它在区间上的图象如右图所示的线段,则在区间上, 已知函数是周期为的函数，当时，当 时，的解析式是 是定义在上的以为周期的函数，对，用表示区间，已知当时，求在上的解析式。 问题3（福建）定义在上的函数满足，当时，则 ； ； （天津文） 设是定义在上以为周

9、期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是 问题4定义在上的函数，对任意，有，且，求证：；判断的奇偶性；若存在非零常数,使，证明对任意都有成立；函数是不是周期函数，为什么？问题5（全国）设是定义在上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意的，都有.设，求、；证明：是周期函数.记，求.（四）巩固练习： （北京春）若存在常数，使得函数满足，的一个正周期为 设函数（）是以为周期的奇函数，且，则 函数既是定义域为的偶函数，又是以为周期的周期函数，若在上是减函数，那么在上是增函数 减函数 先增后减函数 先减后增函数设，记，则 （五）课后作业： 已知函数是以为周期的周期函数，且当时，则的

10、值为 设偶函数对任意，都有，且当时，则 设函数是定义在上的奇函数，对于任意的，都有，当时，则 已知是定义在实数集上的函数，满足，且时，.求时，的表达式；证明是上的奇函数（朝阳模拟）已知函数的图象关于点对称，且满足，又，求的值（六）走向高考： （福建）是定义在上的以为周期的奇函数，且在区间内解的个数的最小值是 （安徽）定义在上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期若将方程在闭区间上的根的个数记为，则可能为 (全国)已知函数为上的奇函数，且满足，当时，则等于( ) （安徽）函数对于任意实数满足条件，若，则 (福建文）已知是周期为的奇函数，当时，设则（天津）定义在上的函数既是偶函数又是周期

11、函数，若的最小正周期是，且当时，则的值为 （天津）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则 （广东）设函数在上满足，且在闭区间上，只有（）试判断函数的奇偶性；（）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论【选择题】1.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（）的值为A.0B.C.TD.2.（2004天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是，且当x0，时，f（x）=sinx，则f（）的值为A. B.C.D.【填空题】3.设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间2，3上，=,则= 4.已知函数f(x)是偶函数，且等式f(4

12、+x)f(4-x)，对一切实数x成立，写出f(x)的一个最小正周 5.对任意xR，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且f(0)=6,f(4)=3,则f(69)= 6.设f(x)定义在R上的偶函数，且，又当x(0，3时，f(x)=2x，则f(2007)= 。【解答题】7.设函数f(x)的最小正周期为2002，并且f(1001+x)=f(1001x)对一切xR均成立，试讨论f(x)的奇偶性.8.设f(x)为定义在实数集上周期为2的函数，且为偶函数，已知x2,3时f(x)=x，求x-2,0时f(x)的解析式。9.设f(x)是定义在（-，+）上的函数，对一切xR均有f(x)+f(x+2)=0，当-1<x1时，f(x)=2x-1，求当1<x3时，函数f(x)的解析式。10.（2005广东）设函数在上满足， f(7-x)=f(7+x)，且