高考名师手稿四解析几何1

1、高考名师手稿：解析几何一 考试要求：1直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式直线方程的一般式两条直线平行与垂直的条件两条直线的交角点到直线的距离用二元一次不等式表示平面区域简单的线性规划问题曲线与方程的概念由已知条件列出曲线方程圆的标准方程和一般方程圆的参数方程考试要求：（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系（3）了解二元一次不等式表示平面区域（4）了解线性规

2、划的意义，并会简单的应用（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念。理解圆的参数方程II圆锥曲线方程考试内容：椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质了解椭圆的参数方程双曲线及其标准方程双曲线的简单几何性质抛物线及其标准方程抛物线的简单几何性质考试要求：（1）掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程（2）掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质（3）掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质（4）了解圆锥曲线的初步应用特别注意： 2007年高考数学考试大纲修订说明中文科的直线和圆的方程部分，将原考试要求中的“(6

3、)掌握圆的标准方程和一般方程，理解圆的参数方程”改为“(6)掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程”。文科的圆锥曲线方程部分，将原考试要求中的“(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质. 理解椭圆的参数方程”改为“(1)掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质. 了解椭圆的参数方程”。高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题, 1个填空题, 1个解答题)，共计30分左右，考查的知识点约为20个左右。 其命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查。选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程和极坐标系中的基础知识。解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点，通过知识

4、的重组与链接，使知识形成网络，着重考查直线与圆锥曲线的位置关系，求解有时还要用到平几的基本知识和向量的基本方法，这一点值得强化。二、重点难点热点 直线与圆 （共3课时）问题1：求直线方程.常用待定系数法，即根据已知条件，首先确定采用直线方程的形式，然后确定其中相关的待定常数，如斜率、截距等.例1已知直线l经过点P（2,1），且直线l：x-2y+4=0的夹角为，求直线l的方程.思路分析：在l的斜率存在的前提下，可采用点斜式方程，若l的斜率不存在，则可直接写出方程.解：若直线l的斜率存在，设其为k，则这时直线l的方程为3x+4y-11=0.若直线l的斜率不存在，其方程为x=1，经过验证，这时它与l

5、的夹角为.因此，直线l的方程为3x+4y-11=0或x=1.点评：涉及用点斜式求直线方程的问题，一定要注意其斜是否存在；用截距式求方程时要讨论直线是否过原点.演变1：已知等腰直角三角形ABC中，C90，直角边BC在直线2+3y-6=0上，顶点A的坐标是(5，4)，求边AB和AC所在的直线方程点拨与提示：利用等腰直角三角形的性质，得出ABC45，再利用夹角公式，求得直线AB的斜率，进而求得了直线AB的方程问题2：两直线的位置关系利用两条直线平行或垂直的条件判定它们平行或垂直，由直线到直线的角和夹角公式求直线到直线的角和夹角.例2抛物线有光学性质由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称

6、轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p0)一光源在点M(,4)处，由其发出的光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l2x4y17=0上的点N，再折射后又射回点M(如下图所示)(1)设P、Q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明y1y2=p2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由分析：对称问题是直线方程的又一个重要应用本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了韦达定理，点关于直

7、线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程等知识点 及理解问题、分析问题、解决问题的能力解：(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点F(，0)，设直线PQ的方程为y=k(x) 由式得x=y+,将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2yp2=0,由韦达定理，y1y2=p2当直线PQ的斜率角为90时，将x=代入抛物线方程，得y=p,同样得到y1y2=p2(2)解因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M(，4)关于l的对称点为M(x,y)，则解得 直线QN的方程为y=1,Q点的纵坐标y2=1，由题设P点的纵坐标y1=4

8、，且由(1)知y1y2=p2,则4(1)=p2,得p=2,故所求抛物线方程为y2=4x(3)解将y=4代入y2=4x,得x=4，故P点坐标为(4，4) 将y=1代入直线l的方程为2x4y17=0,得x=, 故N点坐标为(，1) 由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y12=0,设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1)又M1(,1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点(，1)与点M关于直线PN对称解题回顾：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时 点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键演变1：在ABC中，BC边上的高所在的直线方程是x2y+1=0,A的平分

9、线所在的直线方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.点拨与提示：根据条件分析出图形，利用数形结合求解，是解决此题的关健.问题3：线性规划及应用准确找出及表示出已知条件下的线性约束条件及目标函数，利用线性约束条件所表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数的最值.例3：画出以A（3，1）、B（1，1）、C（1，3）为顶点的ABC的区域（包括各边），写出该区域所表示的二元一次不等式组，并求以该区域为可行域的目标函数z=3x2y的最大值和最小值思路分析：本例含三个问题：画指定区域；写所画区域的代数表达式不等式组；求以所写不等式组为约束条件的给定目标函数的最值解：如图，连结点A、B、

10、C，则直线AB、BC、CA所围成的区域为所求ABC区域直线AB的方程为x+2y1=0，BC及CA的直线方程分别为xy+2=0，2x+y5=0在ABC内取一点P（1，1），分别代入x+2y1，xy+2，2x+y5得x+2y10，xy+20，2x+y50,y0），.若PF2F1为直角，则P（），这时PF1，PF2，这时.若PF2F1为直角，则由，解得：.于是PF14，PF22，这时.点评：由椭圆的方程，熟练准确地写出其几何性质（如顶点，焦点，长、短轴长，焦距，离心率，焦半径等）是应对考试必备的基本功；在解法2中设出了P点坐标的前提下，还可利用PF1a+ex,PF2=a-ex来求解.演变2：已知双曲

11、线的方程为, 直线通过其右焦点F2，且与双曲线的右支交于A、B两点，将A、B与双曲线的左焦点F1连结起来，求|F1A|F1B|的最小值点拨与提示：由双曲线的定义得：|AF1|=(x1+)=x1+2，|BF1|=x2+2,|F1A|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 ，将直线方程和双曲线的方程联立消元，得x1+x2=, x1x2= .本题要注意斜率不存在的情况.问题3：有圆锥曲线的定义的问题利用圆锥曲线的第一、第二定义求解.例3：已知某椭圆的焦点F1（4,0），F2（4,0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个焦点为B，且10，椭圆上不同两点A（x1,y1）,C

12、(x2,y2)满足条件F2A，F2B，F2C成等差数列.（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标.思路分析：因为已知条件中涉及到椭圆上的点到焦点的距离，所以可以从椭圆的定义入手.解：（1）由椭圆的定义及已知条件知：2aF1BF2B10，所以a=5,又c3，故b=4.故椭圆的方程为.由点B（4，y0）在椭圆上，得F2By0|，因为椭圆的右准线方程为，离心率.所以根据椭圆的第二定义，有.因为F2A，F2B，F2C成等差数列，所以：x1+x2=8,从而弦AC的中点的横坐标为点评：涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲

13、线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.演变3：已知椭圆C的中心在原点，左焦点为F1，其右焦点F2和右准线分别是抛物线的顶点和准线.求椭圆C的方程； 若点P为椭圆上C的点，PF1F2的内切圆的半径为，求点P到x轴的距离；若点P为椭圆C上的一个动点，当F1PF2为钝角时求点P的取值范围.点拨与提示：本题主要复习圆锥曲线的基本知识，待定系数法和定义法等通性通法的运用.根据抛物线确定抛物线的顶点和准线方程，从而得到椭圆的标准方程.解题时注意椭圆的定义的运用.问题4：直线与圆锥曲线位置关系问题利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，利用判别式、韦达定理来求

14、解或证明.例4：抛物线C的方程为，过抛物线C上一点P(x0,y0)(x 00)作斜率为k1,k2的两条直线分别交抛物线C于A(x1,y1)B(x2,y2)两点(P,A,B三点互不相同)，且满足.（）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；（）设直线AB上一点M，满足，证明线段PM的中点在y轴上；（）当=1时，若点P的坐标为（1，-1），求PAB为钝角时点A的纵坐标的取值范围.思路分析：将直线方程和抛物线方程组成的方程组转化为一元二次方程，用韦达定理来求解.解：（）由抛物线的方程（）得，焦点坐标为，准线方程为（）证明：设直线的方程为，直线的方程为点和点的坐标是方程组的解将式代入式得，于是，故又点和点的坐

15、标是方程组的解将式代入式得于是，故由已知得，则设点的坐标为，由，则将式和式代入上式得，即线段的中点在轴上（）因为点在抛物线上，所以，抛物线方程为由式知，代入得将代入式得，代入得因此，直线、分别与抛物线的交点、的坐标为，于是，因为钝角且、三点互不相同，故必有求得的取值范围是或又点的纵坐标满足，故当时，；当时，即点评：解析几何解题思维方法比较简单，但对运算能力的要求比较高，平时练习要注意提高自己的运算能力.演变4.(05年重庆)已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0)，右顶点为.(1)求双曲线C的方程；(2)若直线l：与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且(其中O为原点)，求k的取值范围.问题

16、5：轨迹问题根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征. 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念，求轨迹是根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.。求轨迹方程常用的方法有：直译法、相关点法、参数法等。求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性例6已知M：轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.分析：本题考察圆的性质与直线的方程，以及平面几何知识的简单运用。解:（1）由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， 故，所以直线AB方程是（2）连接MB，MQ，设由点M，P，

17、Q在一直线上，得由射影定理得即 把（*）及（*）消去a，并注意到，可得解题回顾：有关圆的问题，往往要运用圆的几何性质，如弦中点与圆心的连线与弦所在直线垂直等，适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。 点评：本题命题意图是考查解析几何中求轨迹方程的方法,考查建立坐标系,数形结合数学思想方法,勾股定理,两点间距离公式等相关知识点,及分析推理、计算化简技能、技巧等.演变7：已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数,求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线演变8：如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点且满足APB=90，求矩形APBQ的顶点Q的轨迹

18、方程点拨与提示：本题主要考查利用“相关点代入法”求曲线的轨迹方程对某些较复杂的探求轨迹方程的问题，可先确定一个较易于求得的点的轨迹方程，再以此点作为主动点，所求的轨迹上的点为相关点，求得轨迹方程演变7：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则A(a,0）,B(a,0)设M(x,y）是轨迹上任意一点则由题设，得=,坐标代入，得=,化简得(12)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0(1)当=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴)(2)当1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0点M的轨迹是以(，0）为圆心，为半径的圆演变8设AB的中点为

19、R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点，依垂径定理在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程例5. （05年江西）如图，M是抛物线上y2=x上的一点，动弦ME、MF分别交x轴于A、B两点，且MA=MB. （1）若M为定点，证

20、明：直线EF的斜率为定值；（2）若M为动点，且EMF=90，求EMF的重心G的轨迹思路分析：（1）由直线MF（或ME）方程与抛物线方程组成的方程组解出点F和点E的坐标，利用斜率公式来证明；（2）用M点的坐标将E、F点的坐标表示出来，进而表示出G点坐标，消去y0即得到G的轨迹方程（参数法）.OABEFM解：（1）设M（y,y0），直线ME的斜率为k(l0)则直线MF的斜率为k，方程为由，消解得(定值)所以直线EF的斜率为定值.（2）直线ME的方程为由得同理可得设重心G（x, y），则有消去参数得点评：这是一道重要的数学问题,几乎是高考数学每年的必考内容之一,此类问题一定要“大胆假设,细心求解”,

21、根据题目要求先将题目所涉及的未知量都可以设出来,然后根据题目把所有的条件都变成等式,一定可以求出来,当然求的过程中,采取适当的小技巧,例如化简或适当分类讨论,可以大为简化过程,而且会尽量多多得分,同时这一类题目也需要很强的计算能力.演变5：已知椭圆的左、右焦点分别是F1（c，0）、F2（c，0），Q是椭圆外的动点，满足点P是线段F1Q与该椭圆的交点，点T在线段F2Q上，并且满足（）设为点P的横坐标，证明；（）求点T的轨迹C的方程；（）试问：在点T的轨迹C上，是否存在点M，使F1MF2的面积S=若存在，求F1MF2的正切值；若不存在，请说明理由.点拨与提示：本题在求点T的轨迹用的是代入法：即用T

22、点的坐标将Q点的坐标表示出来，再代入Q所满足的曲线方程即可.问题6：与圆锥曲线有关的定值、最值问题建立目标函数，转化为函数的定值、最值问题.例6：点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，.（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值.OF2F1A2A1PM思路分析：设椭圆上动点坐标为(x,y)，用该点的横坐标将距离d表示出来，利用求函数最值的方法求d的最小值. 解（1）由已知可得点A(6,0),F(0,4) 设点P(,),则=+6, ,=4, ,由已知可得则2+918=0,=或=6.由

23、于0,只能=,于是=. 点P的坐标是(,) (2) 直线AP的方程是+6=0. 设点M(,0),则M到直线AP的距离是. 于是=,又66,解得=2. 椭圆上的点(,)到点M的距离有,由于66, 当=时,d取得最小值点评：解决有关最值问题时，首先要恰当地引入变量（如点的坐标、角、斜率等），建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法求解.演变6：（05年浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|A1F1|21 ()求椭圆的方程； ()若直线l1：xm(|m|1)，P为l1上的动点，使F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐

24、标(用m表示)点拨与提示：（1）待定系数法；（2）利用夹角公式将F1PF2的正切值用y0表示出来，利用基本不等式求其最值.演变7：（05年全国）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线. （1）求椭圆的离心率；（2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.点拨与提示：（1）将AB的方程与椭圆方程联立成方程组，然后求解；（2）将M点的坐标用A、B的坐标表示出来，代入到椭圆方程，结合韦达定理求解.问题7：与圆锥曲线有关的对称问题利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.例7：过点(1，0)的直线l与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆

25、C相交于A、B两点，直线y=x过线段AB的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称，试求直线l与椭圆C的方程思路分析：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A、B两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB斜率的等式，再利用对称点所连线段被对称轴垂直平分来列式求解；解法二，用韦达定理解法一由e=,得,从而a2=2b2,c=b设椭圆方程为x2+2y2=2b2,A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆上则x12+2y12=2b2,x22+2y22=2b2,两式相减得，(x12x22)+2(y12y22)=0,设AB中点为(x0,y0)，则kAB=，又(x0,y0)在直线y=x上，

26、y0=x0,于是=1，kAB=1，设l的方程为y=x+1. 右焦点(b,0)关于l的对称点设为(x,y),由点(1,1b)在椭圆上，得1+2(1b)2=2b2,b2=所求椭圆C的方程为 =1,l的方程为y=x+1解法二由e=,从而a2=2b2,c=b设椭圆C的方程为x2+2y2=2b2,l的方程为y=k(x1),将l的方程代入C的方程，得(1+2k2)x24k2x+2k22b2=0,则x1+x2=,y1+y2=k(x11)+k(x21)=k(x1+x2)2k=直线ly=x过AB的中点(),则,解得k=0，或k=1若k=0,则l的方程为y=0,焦点F(c,0)关于直线l的对称点就是F点本身，不能

27、在椭圆C上，所以k=0舍去，从而k=1，直线l的方程为y=(x1),即y=x+1,以下同解法一点评：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题，成为解决本题的关键.注意在设直线方程时要对直线斜率是否存在进行讨论.演变8：（05年湖南）已知椭圆C：1（ab0）的左右焦点为F1、F2，离心率为e. 直线l：yexa与x轴y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，P是点F1关于直线l的对称点，设.（）证明：1e2；（）确定的值，使得PF1F2是等腰三角形.点拨与提示：（1）由A、B的坐标求出M点的坐标（

28、x0,y0），代入椭圆的方程即可；（2）利用等腰三角形的性质|PF1|=|F1F2|来求的值.演变答案及点拨演变1：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a,则A(a,0）,B(a,0)设M(x,y）是轨迹上任意一点则由题设，得=,坐标代入，得=,化简得(12)x2+(12)y2+2a(1+2)x+(12)a2=0(1)当=1时，即|MA|=|MB|时，点M的轨迹方程是x=0，点M的轨迹是直线(y轴)(2)当1时，点M的轨迹方程是x2+y2+x+a2=0点M的轨迹是以(，0）为圆心，为半径的圆演变2设AB的中点为R，坐标为(x,y)，则在RtABP中，|AR|=|PR|又因为R是弦AB的中点，依垂

29、径定理在RtOAR中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2)又|AR|=|PR|=所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即x2+y24x10=0因此点R在一个圆上，而当R在此圆上运动时，Q点即在所求的轨迹上运动设Q(x,y)，R(x1,y1)，因为R是PQ的中点，所以x1=,代入方程x2+y24x10=0,得10=0整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程演变3：以O为原点，P1OP2的角平分线为x轴建立如图的直角坐标系设双曲线方程为=1(a0,b0)由e2=，得两渐近线OP1、OP2方程分别为y=x和y=x设点P1(x1,x1),P2(x2,x2)(x10,x20),

30、则由点P分所成的比=2,得P点坐标为(),又点P在双曲线=1上，所以=1,即(x1+2x2)2(x12x2)2=9a2,整理得8x1x2=9a2即x1x2=由、得a2=4,b2=9，故双曲线方程为=1演变4：设A(x1,y1),B(x2,y2)，A到双曲线的左准线x= = 的距离d=|x1+|=x1+，由双曲线的定义，=e=,|AF1|=(x1+)=x1+2,同理，|BF1|=x2+2,|F1A|F1B|=(x1+2)(x2+2)=x1x2+(x1+x2)+4 (1)双曲线的右焦点为F2(,0), (1)当直线的斜率存在时设直线AB的方程为：y=k(x)，由消去y得 (14k2)x2+8k2x

31、20k24=0,x1+x2=, x1x2= , 代入(1)整理得|F1A|F1B|=+4=+4=+4=+|F1A|F1B|;(2)当直线AB垂直于x轴时，容易算出|AF2|=|BF2|=,|AF1|=|BF1|=2a+=(双曲线的第一定义), |F1A|F1B|=由(1), (2)得：当直线AB垂直于x轴时|F1A|F1B|取最大值演变5：抛物线的顶点为(4,0)，准线方程为,设椭圆的方程为,则有c=4，又，椭圆的方程为设椭圆内切圆的圆心为Q，则设点P到x轴的距离为h，则.设点P的坐标为(x0,y0)，由椭圆的第二定义得：由F1PF2为钝角知：即为所求.演变6：（）设双曲线方程为由已知得故双曲

32、线C的方程为（）将由直线l与双曲线交于不同的两点得即设，则而于是由、得故k的取值范围为演变7：（）证法一：设点P的坐标为由P在椭圆上，得由，所以证法二：设点P的坐标为记则由（）解法一：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点.在QF1F2中，所以有综上所述，点T的轨迹C的方程是解法二：设点T的坐标为当时，点（，0）和点（，0）在轨迹上.当|时，由，得.又，所以T为线段F2Q的中点. 设点Q的坐标为（），则，因此由得将代入，可得综上所述，点T的轨迹C的方程是（）解法 C上存在点M（）使S=的充要条件是：由得上式代入得于是，当时，存在点M，使

33、S=；当时，不存在满足条件的点M. 当时，记，由知，所以演变8：（）设椭圆方程为（），半焦距为c, 则,由题意，得, 解得，故椭圆方程为（II）设P(当时，当时, ，只需求的最大值即可.直线的斜率，直线的斜率当且仅当=时，最大，演变9：设椭圆方程为则直线AB的方程为化简得.令则共线，得又，即，故离心率为（II）证明：由（I）知，所以椭圆可化为.设，由已知得在椭圆上，即由（I）知又又，代入得故为定值1.演变10：（）因为A、B分别是直线l：与x轴、y轴的交点，所以A、B的坐标分别是设M的坐标是所以因为点M在椭圆上，所以即解得（）解：因为PF1l，所以PF1F2=90+BAF1为钝角，要使PF1F

34、2为等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|.设点P的坐标是，则由|PF1|=|F1F2|得两边同时除以4a2，化简得从而于是. 即当时，PF1F2为等腰三角形.专题小结1、求曲线方程常利用待定系数法，求出相应的a，b，p等.要充分认识椭圆中参数a,b,c,e的意义及相互关系，在求标准方程时，已知条件常与这些参数有关. 2、涉及椭圆、双曲线上的点到两个焦点的距离问题，常常要注意运用第一定义，而涉及曲线上的点到某一焦点的距离，常常用圆锥曲线的统一定义.对于后者，需要注意的是右焦点与右准线对应，不能弄错.3、直线与圆锥曲线的位置关系问题，利用数形结合法或将它们的方程组成的方程组转化为一元二次方程，

35、利用判别式、韦达定理来求解或证明.4、对于轨迹问题，要根据已知条件求出轨迹方程，再由方程说明轨迹的位置、形状、大小等特征.求轨迹的常用方法有直接法、定义法、参数法、代入法、交轨法等.5、与圆锥曲线有关的对称问题，利用中心对称以及轴对称的概念和性质来求解或证明.三、典型例题分析（包括分析、求解、回顾）第一课时 直线与圆【例1】函数y=asinx+2bcosx图象的一条对称轴方程为x=，则直线ax+by+1=0与直线x+y+2=0夹角大小为 （B） Aarctan3 BarctanCarctan Darctan（3）分析： 由题意知，整理得（a2b）2=0，a=2b，=2，即ax+by+1=0的斜

36、率为2，x+y+2=0的斜率为1，两直线夹角的正切值tan= ，故选B变式题 函数y=asinxbcosx的一条对称轴方程为x=则直线axby+c=0的倾斜角为（ ）A45 B60 C120 D135【例2】实数x、y满足不等式组，则w=的取值范围是（D）A1，B，C，+D，1分析：点（x，y）在图4161中阴影部分，w=表示动点（x，y）与定点A（1，1）连线的斜率，l1为斜率k1=kAB=l2与xy=0平行，w，1【例2备选题】已知有三个居民小区A、B、C构成三角形ABC，这三个小区分别相距BC=800m、AB=700m、AC=300m，为解决居民就业、服务小区生活，在与A、B、C三个小区

37、距离相等处建造一个食品加工厂，同时为了不影响小区居民的正常生活和休息，在厂房的四周需要安装隔音窗或建造隔音围墙根据以往经验，机器从厂房发出的噪音是85分贝，而维持居民正常生活和休息时的噪音不得超过50分贝，每安装一道隔音窗降低3分贝，花费3万元隔音窗不能超过3道；每建造一堵隔音墙降低15分贝，花费10万元；距离厂房平均每25m噪音均匀降低1分贝（1）求加工厂距A区的距离；（1.732，精确到1m）（2）怎样建造隔音设备，使其隔音设备成本最低？【例3】抛物线有光学性质由其焦点射出的光线经抛物线折射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线y2=2px(p0)一光源在点M(,4)处，由其发出的

38、光线沿平行于抛物线的轴的方向射向抛物线上的点P，折射后又射向抛物线上的点Q，再折射后，又沿平行于抛物线的轴的方向射出，途中遇到直线l2x4y17=0上的点N，再折射后又射回点M(如下图所示)(1)设P、Q两点坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，证明y1y2=p2；(2)求抛物线的方程；(3)试判断在抛物线上是否存在一点，使该点与点M关于PN所在的直线对称？若存在，请求出此点的坐标；若不存在，请说明理由分析：对称问题是直线方程的又一个重要应用本题是一道与物理中的光学知识相结合的综合性题目，考查了韦达定理，点关于直线对称，直线关于直线对称，直线的点斜式方程，两点式方程等知识点 及理解问题、分

39、析问题、解决问题的能力解：(1)证明：由抛物线的光学性质及题意知光线PQ必过抛物线的焦点F(，0)，设直线PQ的方程为y=k(x) 由式得x=y+,将其代入抛物线方程y2=2px中，整理，得y2yp2=0,由韦达定理，y1y2=p2当直线PQ的斜率角为90时，将x=代入抛物线方程，得y=p,同样得到y1y2=p2(2)解因为光线QN经直线l反射后又射向M点，所以直线MN与直线QN关于直线l对称，设点M(，4)关于l的对称点为M(x,y)，则解得 直线QN的方程为y=1,Q点的纵坐标y2=1，由题设P点的纵坐标y1=4，且由(1)知y1y2=p2,则4(1)=p2,得p=2,故所求抛物线方程为y

40、2=4x(3)解将y=4代入y2=4x,得x=4，故P点坐标为(4，4) 将y=1代入直线l的方程为2x4y17=0,得x=, 故N点坐标为(，1) 由P、N两点坐标得直线PN的方程为2x+y12=0,设M点关于直线NP的对称点M1(x1,y1)又M1(,1)的坐标是抛物线方程y2=4x的解，故抛物线上存在一点(，1)与点M关于直线PN对称解题回顾：在证明第(1)问题，注意讨论直线PQ的斜率不存在时点关于直线对称是解决第(2)、第(3)问的关键【例4】已知M：轴上的动点，QA，QB分别切M于A，B两点，（1）如果，求直线MQ的方程；（2）求动弦AB的中点P的轨迹方程.分析：本题考察圆的性质与直

41、线的方程，以及平面几何知识的简单运用。解:（1）由，可得由射影定理，得 在RtMOQ中， 故， 所以直线AB方程是（2）连接MB，MQ，设由点M，P，Q在一直线上，得由射影定理得即 把（*）及（*）消去a，并注意到，可得解题回顾：有关圆的问题，往往要运用圆的几何性质，如弦中点与圆心的连线与弦所在直线垂直等，适时应用平面几何知识，这是快速解答本题的要害所在。 第二课时 圆锥曲线的基本问题【例5】已知椭圆C1=1的一条通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线C2：y2=2px（p0）的通径重合，则椭圆的离心率为 （A） A1 B C1 D分析： 由已知得=2p，c=，则b2=2ac，a2c2=2a

42、c，1e2=2e，即e2+2e1=0，则e=1，故选A 【例5备选题】（2005年全国卷）已知双曲线=1的焦点为F1、F2，点M在双曲线上且MF1x轴，则F1到直线F2M的距离为 （ ） A B CD【例6】双曲线的虚轴长为4，离心率，F1、F2分别是它的左，右焦点，若过F1的直线与双曲线的左支交于A、B两点，且|AB|是|AF2|与|BF2|的等差中项，则|AB|为（ ）. A、 B、 C、 D、8分析:利用双曲线定义， AB在左支上，|AF2|-|AF1|=2a, |BF2|-|BF1|=2a |AF2|+|BF2|-(|AF1|+|BF1|)=4a, 又 2|AB|=|AF2|+|BF2

43、|, |AF1|+|BF1|=|AB| 2|AB|-|AB|=4a. |AB|=4a,而 得， ，选A.解题回顾：利用好定义，是解圆锥曲线基本问题的方法之一。【例6备选题】1、设F1、F2为椭圆两焦点，点P是以F1，F2为直径的圆与椭圆的一个交点，若PF1F2=5PF2F1，则椭圆离心率为（ ）. A、 B、 C、 D、分析:P在以F1F2为直径的圆上，则F1PF2=90， 而PF1F2=5PF2F1，PF1F2=75， PF2F1=15， ，而|PF2|+|PF2|=2a,.2、F1、F2为椭圆两个焦点，Q为椭圆上任一点，以任一焦点作F1QF2的外角平分线的垂线，垂足为P，则P点轨迹为（ ）

44、. A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线分析:延长F2P交F1Q的延长线为M，由椭圆定义及角平分线，|F1Q|+|MQ|=|F1M|=2a,则点M(x0,y0)的轨迹方程为. 设P点坐标(x, y), P为F2M中点，代入，得 (2x-c+c)2+(2y)2=4a2, x2+y2=a2, 选A.3、双曲线的左支上一点P，O为PF1F2的内切圆，则圆心O的横坐标为（ ）.A、a B、-a C、 D、分析:设PF1，PF2，F1F2与内切圆O的切点分别为M，N，Q，由双曲线定义， |PF2|-|PF1|=2a, |PN|+|NF2|-(|PM|+|MF1|)=2a, 而 |DN|=|PM| ，|MF1|=|QF1|, |NF2|=|QF2| |QF2|-|QF1|=2a 又 |QF2|+|QF1|=2c, |QF2|=a+c=c-xQ, xQ=-a,OQF1F2, xQ=xQ=-a， 选B.【例7】（02北京）已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是 （ ）分析：本题主要考查圆锥曲线的几何性质，即椭圆、双曲线焦点求法和双曲线渐近线方程求法.由双曲线方程判断出公共