F平面向量(文科)

1、F平面向量F1平面向量的概念及其线性运算4. H1、F1 2012上海卷若d= (2,1)是直线I的一个方向向量，贝Ul的倾斜角的大小为(结果用反三角函数值表示).4. arctan* 解析考查直线的方向向量、斜率与倾斜角三者之间的关系，关键是求出 直线的斜率.1 1由已知可得直线的斜率k = 2, k= tana,所以直线的倾斜角 a= arctan.220. H5、F1、H1 2012陕西卷已知椭圆C1 ：乡+屮=1,椭圆C2以G的长轴为短轴, 且与C1有相同的离心率.(1) 求椭圆C2的方程；B分别在椭圆C1和C2上, Ob = 2OA，求直线AB的方程.2 2C2的方程为吗+ x =

2、1(a 2),a 420.解：(1)由已知可设椭圆宁，贝V a= 4,(2) 设O为坐标原点，点 A,其离心率为呼，故2a22故椭圆C2的方程为七+ 7 = 1.164解法一：A, B两点的坐标分别记为(xa, yA), (xb, yB),由OB= 2OA及(1)知，O, A, B三点共线且点 A, B不在y轴上, 因此可设直线AB的方程为2将y = kx代入才+ y2= 1中，2 2将y = kx代入16+ ： = 1中，y= kx.得(1 + 4k2)x2= 4,所以得(4 + k2)x2= 16,所以2_4xA =2,1 + 4k216xb=2,4 + k又由 OB = 2OA得 xB=

3、 4xA，即 2 =丄2,4 + k 1 + 4k解得k= 1，故直线AB的方程为y= x或y= x. 解法二：A, B两点的坐标分别记为(xa, yA), (xb, yB),由OB= 2OA及(1)知，O, A, B三点共线且点 A, B不在y轴上, 因此可设直线AB的方程为2将y = kx代入4 + y2= 1中，y= kx.得(1 + 4k2)x2= 4,所以 xA =2,1 + 4k歩歩16由 OB = 20A得 xB =1 + 4k22将xB, yB代入16 + x = 1中，得216kyB=2,1 + 4k4 + k21 + 4k21 ?即 4 + k2 = 1 + 4k2，解得

4、k= 1,故直线AB的方程为y= x或y= x.F2平面向量基本定理及向量坐标运算13. F2、F32012 湖北卷已知向量 a = (1,0), b= (1,1)，则(1)与2a+ b同向的单位向量的坐标表示为 向量b 3a与向量a夹角的余弦值为13.答案迈殛)(2)巒10 ， 10 ()即解析由题意，2a + b= (3,1), ，而.(2)因为 a= (1,0), b= (1,1)，所以所以与2a+b同向的单位向量的坐标为30, .10，b 3a= ( 2,1).设向量b 3a与向量a的夹角为0,则 cos0=)上=(2，； H1, 0 =巒3.A.C.3.9.F22012 广东卷若向量

5、 AB = (1,2), BC = (3,4)，则 AC =()(4,6) B . ( 4, 6)(2, 2) D . (2,2) A 解析因为 AC = AB+ BC = (1,2) + (3,4) = (4,6) 所以选择 A.F22012 全国卷 ABC 中，AB 边的高为 CD，若CB = a, CA = b, a b= 0, |a|= 1, )2 2B.3a3b44d5a-5b|b= 2，则 AD =(1 1A.a 3 b I33C.5a5b9. D 解析本小题主要考查平面向量的基本定理，解题的突破口为设法用|b 3 a|a|5X 15为基底去表示向量 AD.5，=5,/AD = 4

6、AB = (a b)，故选 D.易知adb, |AB|= .5,用等面积法求得|CD| =2乏AD = AC2 CD2=誉，AB7. F2、C62012 陕西卷设向量 a = (1, cos0)与 b= ( 1,2cos 0)垂直，贝U cos2 0等于()B.2 C. 0 D. 122则有一1 + 2cos 0= 0,则a27. C 解析由向量垂直的充要条件可知，要使两向量垂直，cos2 0= 2cos 0 1 = 0.故选 C.6. F2、F32012 重庆卷设 x R，向量 a = (x,1), b= (1, 2),且 a丄b,则|a+ b|=()A. . 5 _B. .10C. 2 .

7、5 D. 106. B解析因为a lb,所以 ab= 0，即 x 1 + 1( 2) = 0,解得 x=2,所以a+b= (3,1), |a+ b|= 32 + 1 2 = 10,选 B.F3平面向量的数量积及应用12. F32012上海卷在矩形ABCD中，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足 号=号，则AM AN的取值范围是 .|BC| |CD|12. 1,4解析令BM= nBC(0 AN= AD + (1 - n)AB，所以 AM AN = (AB + nAD) AD + (1 - n)AB=(1 - n)AB2 + nAD2= 4 - 3n,而函数f(n

8、)= 4 3n在0,1上是单调递减的，其值域为1,4,所以AM AN的取值范围是1,4.1. F32012 辽宁卷已知向量 a= (1, - 1), b= (2, x)，若 a b= 1，贝U x=()1A . 1 B . 21C2 D. 11. D 解析本小题主要考查向量数量积的坐标运算.解题的突破口为正确运用数量 积的坐标运算公式.因为 a b= (1, - 1) (2, x)= 1X 2-1 x= 1? x= 1，所以答案选 D.15. F32012课标全国卷已知向量 a, b夹角为 45且|a|= 1, |2a-，则|b|15. 答案3 2解析因为 |2a - b|=J0，平方得 4a

9、2- 4 a b+ b2= 10,得 44X 以今 + |b|2= 10,解 得|b|= 3 2.12. F32012 江西卷设单位向量 m= (x, y), b= (2, - 1).若 mb,则 |x+ 2y| =.12/. 5 解析设 c= (1,2)，则 c!b,.cm.| m |= 1, /.|m-c|= |c|= . 5.21. H5、H8、F32012重庆卷如图，设椭圆的中点为原点 O,长轴在x轴上，上顶 点为A，左、右焦点分别为 F1, F2，线段OF1, OF2的中点分别为B1, B2, 且厶AB1B2是面 积为4的直角三角形.(1) 求该椭圆的离心率和标准方程；过B1作直线交

10、椭圆于 P, Q两点，使PB2丄QB2，求 PB2Q的面积.2 221.解：(1)设所求椭圆的标准方程为 令+ y2= 1(ab0)，右焦点为F2(c,0).a b因AB1B2是直角三角形且|AB1|=|AB2|,故/B1AB2为直角，从而|OA|=|OB2|,即 b =；结合 c2= a2- b2得 4b2= a2 - b2,故 a2= 5b2,c2= 4b2,所以离心率 e= = 5、5.在 RtAB1B2 中，OA JB1B2，故SAB1B2 =1 |B1B2| |OA|= |OB2| |OA| =号 b= b2,222由题设条件 SAB1B2 = 4得b = 4，从而a = 5b =

11、20.22因此所求椭圆的标准方程为：20+丁=1.(2) 由(1)知B1(-2,0)、B2(2,0).由题意，直线 PQ的倾斜角不为0,故可设直线PQ的方 程为：x= my-2代入椭圆方程得2 2(m + 5)y - 4my- 16 = 0.(*)设PX, y”，Q(x2, y2),贝U y1, y2是上面方程的两根，因此4m-16y1+ y2=花，y1 y2=齐又 B2P=(Xi 2, yi), B2Q =(X2 2, y2)，所以B2P B2Q=(X1 2)(x2 2) + y1y2=(my1 4)(my2 4) + y22=(m + 1)y1y2 4m(y1 + y2)+ 1616 m

12、+ 116m2 ,= 2 2 + 16m + 5 m + 52小，16m 64 2m + 5由 PB2IQB2,知 B2PB2Q = 0,即卩 16m2 64= 0,解得 m=戈.当 m= 2 时，方程(*)化为：9y2 8y 16= 0,4 + 4 104 4,101, y2=9， |y1 y2| =1 16S= 2IB1B2I |y1 y2| = . 10.故 y1=9B2Q的面积当m= 2时,同理可得(或由对称性可得)PB2Q的面积S=書所.综上所述， PB2Q的面积为 1： 10.9. F32012江苏卷如图1 3,在矩形 ABCD中，AB = ,2, BC = 2,点E为BC的中 点

13、，点F在边CD上，若AB AF = 2，则 Ae BF的值是9. .2解析本题考查几何图形中的向量的数量积的求解，解题突破口为合理建立平面直角坐标系，确定点F的位置.以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则 Ab = (.2, 0). 设AF = (x,2)，则由条件得.2x= 2，得x= 1 ,从而 F(1,2), Ae = ( 2, 1), BF = (1 2, 2),于是 Ae BF = .2.15. F32012湖南卷如图1 5,在平行四边形 ABCD中，AP丄BD，垂足为P,且AP图1 515. 18解析本题考查平面向量的数量积和向量的表示，意在考查考生对数量积的1

14、3.答案10 ,10解析由题意，2a + b= (3,1), 即念匝何.10 ， 10 .(2)因为 a= (1,0), b= (1,1)，所以 r(b 3 a ( 2, 1 )(1, 0)贝 U cos 0=|b 3 a|a|所以与2a+b同向的单位向量的坐标为b 3a= ( 2,1).设向量b 3a与向量_ 2/55 .a的夹角为0,2若两个非零)n，且ab和ba都在集合号n z中，则a10. F32012广东卷对任意两个非零的平面向量a和3,定义a 2=才R.P 3的平面向量a, b满足a与b的夹角n4, 2掌握和向量相互转化能力；具体的解题思路和过程：把未知向量用已知向量来表示.AP

15、AC = AP (DB + 2BC)=2AP BC = 2AP AD = 2|AP| |AP|= 18.易错点本题易错一：找不到已知向量，无法把未知向量用已知向量表示；易错二： 不会转化Ad = BC，把向量放到同一个直角三角形中；易错三：发现不了Ad在向量AP上的射影等于|AP|.13. F2、F32012 湖北卷已知向量 a = (1,0), b= (1,1)，贝U(1) 与2a+ b同向的单位向量的坐标表示为(2) 向量b 3a与向量a夹角的余弦值为2逓531B.? C. 1 DQD 解析根据新定义得：aJ)=os0= n( n ) (1)a b= b b |b|b|b|2(ntZ),

16、(1)b_a |a|b|cos0 |b|cos0 mb a= aa = aiai =ai = 2(m(Z),以上两式相乘得：cos2 0= 罟(n, m題).cos2 0 0, 1，即10.b=(5A.2tnf，2丿n4m1，所以0mn2,又因为n, m題，所以m= n=1,所以a b= *所以选择D.11. F32012 安徽卷设向量 a = (1,2m), b= (m+ 1,1), c= (2, m),若(a + c)丄 b,则 |a|11. 2 解析因为 a+ c= (3,3m)，又 b= (m+ 1,1), (a+ c)_Lb,所以(a + c) b = 0,即1(3,3m) (m+

17、1,1) = 6m+ 3= 0,解得 m=贝U a= (1, 1)故 |a|= . 2.13. F32012北京卷已知正方形 ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点，则DE CB的值为, DE DC的最大值为 .13. 11解析本题考查平面向量的数量积，平面向量的投影等基础知识.法一：投影法：设向量 DE, DA的夹角为 0,则DE CB= DE DA =|DE|DA|cosB,由图可 知，|DE|cos0=|DA|,所以原式等于|DA|2= 1，要使DE DC最大只要使向量 DE在向量DC上的 投影达到最大即可，因为De在向量DC上的投影达到最大为|DC|= 1,所以(d1 DC)max=

18、 |dcf =1;一一一一一一一一一一 f一法二：因为 DE = DA + AE且DA 1AE,所以 DECB = (DA + AE)DA = |DA|f= 1, DEDC =(Da+AE) Ab=Ab Ae = |Ab|Ae|= |Ae|,所以要使de Dc最大，只要|Al|最大即可，明显随 着 E 点在 AB 边上移动 |Al|max = 1 ,故(Di DC)max= 1.法三：以D为坐标原点，DC与DA所在直线分别为x, y轴建立平面直角坐标系，如图所示，可知 E(x,1), 0 x 0,所以(DE DC) max= 1.3. A2、F32012 福建卷 1A . x= 2 B . x

19、= 1C. x = 5 D. x= 03. D 解析因为alb,已知向量( )所以 a b= 0,即(x- 1) x 2 + f x 1 = 0,解得 x= 0.& F32012 天津卷在厶 ABC 中，/ A= 90 AB= 1, AC= 2,设点 P, Q 满足 AP=瓜b, ?)AC,入 R若BQ CP = 2,则入=()2B.3AQ = (1 1A.3C4C.38. B 解析BQ CP = (AQ AB) (AP Ac)= (1 =(1 aC AB = 3 ? 4 = 2,解得=3. ?)AC AB (- ；AB AC)7. F32012浙江卷设a, b是两个非零向量()A .若 |a

20、+ b|= |a| |b|,则 a 丄 bB .若 a丄 b,则 |a+ b|= |a |b|C.若|a+ b|= |a |b|,则存在实数 入使得b= /a所以 De = (x,1), Cb = (0,1)，可得 Di Cb= xx 0 + 1x 1 = 1.D 若存在实数 入使得b= :a，则|a + b|=|a |- |b|7. C 解析本题考查对平面向量数量积理解及应用法一：对于选项A，若|a + b|=|a|- |b|可得a b=- |a|b贝U a与b为方向相反的向量， A不正确；对于选项 B，由a_lb, 得 a b= 0,由 |a+ b|= |a|- |b|得 a b=- |a

21、|b|,故 B 不正确；对于选项 C,若 |a+ b|= |a|- |b| 可得a b=- |a|b|,则a与b为方向相反的共线向量，-b= ?a;对于选项D，若b= ?a，当？0 时，|a+ b|=|a|+|b|,当 X0 时，可有 |a + b|= |a|-|b|,故 D 不正确.法二：特值验证排除，先取 a= (2,0), b= ( 1,0),满足|a+ b|= |a|- |b|,但两向量不垂 直，故A错；再取a = (2,0), b= (1,0)，满足a= ?b，但不满足|a+ b|= |a|b|,故D错；取 a= (2,0), b= (0, - 1)，满足a Jb,但不满足|a+ b

22、|= |a|- |b|,故B错，所以答案为 C.点评由|a+ b|= |a|- |b|判断a, b方向相反，且有|a|b|是一个重要的结论，由此可以 对各选项加以正确分析与应用.15. C8、F32012浙江卷在厶ABC中，M是线段 BC的中点，AM = 3, BC= 10，则AB AC15.- 16解析本题主要考查平面几何的性质、平面向量的线性运算与数量积.法 AB AC = (AM + MB) (AM + MC) 2 2=|AM |2- |MB|2= 9 - 5X 5 =- 16.法二：特例法：假设 ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，如图,AM = 3, BC= 10, AB = AC= . 34, cos/