九年级数学上册一元二次方程学案新新人教

1、1第二十一章一元二次方程21 . 1 一元二次方程f 爭耳日棘1.了解一元二次方程的概念，应用一元二次方程概念解决一些简单问题.2 掌握一元二次方程的一般形式ax2+ bx + c= 0(a 工 0)及有关概念.3 会进行简单的一元二次方程的试解；理解方程解的概念.f 翼庖申盲、重点：一元二次方程的概念及其一般形式；一元二次方程解的探索.难点：由实际问题列出一元二次方程；准确认识一元二次方程的二次项和系数以及一次项和系数及常 数项.F 预习爭呼、一、自学指导.(10 分钟)问题 1:如图，有一块矩形铁皮，长100cm宽 50cm在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作

2、一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积为3600cm,那么铁皮各角应切去多大的正方形？分析：设切去的正方形的边长为xcm则盒底的长为 _(100 2x)cn_，宽为_(50 2x)cm_.列方程2(100 2x) (50 2x) = 3600_，化简整理，得_x 75x + 350 = 0_ .问题 2:要组织一次排球邀请赛， 参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件， 赛程 计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？分析：全部比赛的场数为 _4X7= 28.x (x 1)设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他_(x 1)_个队各赛 1 场，所以全部比赛

3、共 -；- 场列x ( x_1 )方程(2= 28 ，化简整理，得x2 x 56= 0 探究：(1) 方程中未知数的个数各是多少？_1 个(2) 它们最高次数分别是几次？2 次_ 归纳：方程的共同特点是：这些方程的两边都是整式_,只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 2 的方程.1 一元二次方程的定义等号两边都是整式_，只含有 _二_个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是_2_(二次)的方程，叫做一元二次方程.2 一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：2ax + bx + c = 0(a丰0).这种形式叫做一元二次方程的一般形

4、式.其中_ax2_是二次项,_a_是二次项系数，_bx_是一次项,_b_是一次项系数，c 是常数项.点拨精讲：二次项系数、一次项系数、常数项都要包含它前面的符号二次项系数a0是一个重要条件，不能漏掉.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视.(6 分钟)1.判断下列方程，哪些是一元二次方程？3222(4)2(x+ 1) = 3(x + 1);(5)x2 2x = x2+ 1; (6)ax2+ bx + c= 0.解：点拨精讲：有些含字母系数的方程，尽管分母中含有字母，但只要分母中不含有未知数，这样的方程2(1)x 2x + 5 = 0; (2)x = 1 ;2123(3) 5x

5、2x 4= x 2x + 5;仍然是整式方程.2 .将方程 3x(x 1) = 5(x + 2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数 及常数项.解：去括号，得 3x2 3x= 5x + 10.移项，合并同类项，得3x2 8x 10= 0.其中二次项系数是 3, 一次项系数是8，常数项是10.点拨精讲：将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整.k 令作溉寃一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果.(8 分钟)1.求证：关于 x 的方程(m2 8m+ 17)x2+ 2mx+ 1 = 0，无论 m 取何值，该方程都是一元二次方

6、程.2 2证明：m 8m+ 17= (m 4) + 1,2/ (m 4) 0,(m 4)2+ 10,即(m 4)2+ 1 工 0.无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程.点拨精讲：要证明无论 m 取何值，该方程都是一元二次方程，只要证明m 8m+ 17 工0即可.2 .下面哪些数是方程 2x2+ 10 x + 12= 0 的根？4，3，2,1,0,1,2，3， 4.解：将上面的这些数代入后，只有2 和3 满足等式，所以 x= 2 或 x = 3 是一元二次方程 2x2+10 x + 12 = 0 的两根.点拨精讲：要判定一个数是否是方程的根，只要把这个数代入等式，看等式两边是否相等即可.二、

7、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.(9 分钟)1.判断下列方程是否为一元二次方程.2 2(1)1 x = 0; (2)2(x 1) = 3y;21 2(3)2x2 3x 1 = 0; (4)r -= 0;x 2 2；2(x + 3) = (x 3)；(6)9x = 5 4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；不是；(5)不是；(6)是.2.若 x = 2 是方程 ax2+ 4x 5= 0 的一个根，求 a 的值.2解：Tx= 2 是方程 ax + 4x 5= 0 的一个根， 4a+ 8 5 = 0,3解得 a= 3.43 .根据下列问题，列出关于x 的方程，并将

8、其化成一元二次方程的一般形式：(1) 4 个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长 x；(2) 一个长方形的长比宽多 2，面积是 100，求长方形的长 x.解：(1)4x = 25, 4x 25 = 0； (2)x(x 2) = 100, x 2x 100= 0.止玄亠学生总结本堂课的收获与困惑.(2 分钟)1 .一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程.2 .一元二次方程的一般形式ax2+ bx+ c = 0(a丰0)，特别强调 a*0.3 .要会判断一个数是否是一元二次方程的根.:，：学习至此，请使用本课时对应训练部分.(10 分钟)21 . 2 解一元二次方程21 .

9、 2.1 配方法(1)3f 皆习自赫* - 1.使学生会用直接开平方法解一元二次方程.2.渗透转化思想，掌握一些转化的技能.f 翼庖申 I 扁、重点：运用开平方法解形如(x + m)2= n(n 0)的方程；领会降次转化的数学思想.难点：通过根据平方根的意义解形如x2= n(n 0)的方程，知识迁移到根据平方根的意义解形如(x + m)2=n(n 0)的方程.匕预习暑甞一、自学指导.(10 分钟)问题 1: 一桶某种油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10 个同样的正方体形状的盒4子的全部外表面，你能算出盒子的棱长吗？ 设正方体的棱长为 xdm则一个正方体的表面积为 _6x2

10、_dm2,根据一桶油漆可刷的面积列出方程:2_10X6x=1500_,由 5,即 xi =_5_, X2=_ 5_ .可以验证_5和二都是方程的根，但棱长不能为负值，所以正方体的棱长为_5_dm探究：对照问题 1 解方程的过程，你认为应该怎样解方程(2x 1)2=5 及方程 X + 6x + 9 = 4?方程(2x 1)2= 5 左边是一个整式的平方， 右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为_2x 一 1 = 5_，即将方程变为 _2x - 1 = 5 禾口_2x - 1 = - 5_两个一元一次方程，从而得到方程(2x 1)2=5 的两个解为 X1=1二5, X2=1.在解上述方

11、程的过程中，实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样问 题就容易解决了.方程 x2+ 6x + 9= 4 的左边是完全平方式，这个方程可以化成(x + _3_)2= 4，进行降次，得到 _x + 3=2_，方程的根为 X1= _ 1_, X2= _ 5_.归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程.如果方程能化成x2=p(p 0)或(mx+ n)2= p(p 0)的形式，那么可得x= p 或 mx+ n= p.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视.(6分钟)解下列方程：2 2(1)2y = 8;(2)2(x 8) = 50;2

12、2(3)(2x 1) + 4 = 0; (4)4x 4x + 1= 0.2 2解：(1)2y = 8,(2)2(x 8) = 50,2 2y = 4,(X 8) = 25,x 8= 5,x 8 = 5 或 x 8 = 5,点拨精讲：观察以上各个方程能否化成x2= p(p 0)或(mx+ n)2= p(p 0)的形式，若能，则可运用直接开平方法解.一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果.(8 分钟)1. 用直接开平方法解下列方程：2 2(1)(3x + 1) = 7; (2)y+ 2y + 1 = 24;2(3)9 n 24n + 16= 11.1?厂40解：3；(

13、2)126；(3)3.2点拨精讲：运用开平方法解形如(mx+ n) = p(p 0)的方程时，最容易出错的是漏掉负根.2. 已知关于 x 的方程 x2+ (a2+ 1)x 3= 0 的一个根是 1，求 a 的值.解：1.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.(9 分钟)用直接开平方法解下列方程：2 2(1)3(x 1) 6 = 0 ; (2)x 4x + 4= 5 ；2 2根据平方根的意义，得x=_5y = 2,y1=2, y2= 2；2(2x 1) +4 = 0, x1=13,X2=3;2(4)4x4x+1=0,2(2x1)=0,x1=0,1问题 1: 一桶某种

14、油漆可刷的面积为1500dm2，小李用这桶油漆恰好刷完10 个同样的正方体形状的盒5(3)9x + 6x + 1 = 4; (4)36x 1 = 0；2 2(5)4x = 81;(x + 5) = 25；2(7)x + 2x + 1 = 4.解：(1)x1= 1 + . 2, X2= 1 2；6(2) x1 =2+ 5, X2= 2-5;1(3) xi=1,x2= 3；11(4) xi= 6，X2= 6；99(5) x1= 2， X2= 2；(6) x1= 0, X2= 10;(7) x1= 1, X2= 3.纥 学生总结本堂课的收获与困惑.(2 分钟)1 .用直接开平方法解一元二次方程.2

15、理解“降次”思想.2 23.理解 x = p(p 0)或(mx+ n) = p(p 0)中，为什么 p0?:，：学习至此，请使用本课时对应训练部分.(10 分钟)21 . 2.1 配方法(2)1 .会用配方法解数字系数的一元二次方程.2 .掌握配方法和推导过程，能使用配方法解一元二次方程.重点：掌握配方法解一元二次方程.2难点：把一元二次方程转化为形如(x a) = b 的过程.正盒 (2 分钟)1.填空：2 2(1) x 8X + 16_= (X _4_);2 2(2) 9x + 12x +4= (3x +2);(3) x2+ px + _苣_= (x + _|_)2.2 .若 4x2 mx

16、+ 9 是一个完全平方式，那么m 的值是_ 12_.匕预习曇辔$一、自学指导.(10 分钟)问题 1：要使一块矩形场地的长比宽多6m并且面积为 16m,场地的长和宽分别是多少米？设场地的宽为 xm则长为_(x + 6)_m根据矩形面积为16m,得到方程_x(x + 6) = 16_，整理得到 x + 6x 16= 0.探究：怎样解方程 x2+ 6x 16= 0?对比这个方程与前面讨论过的方程x2+ 6x+ 9= 4,可以发现方程 x2+ 6x + 9= 4 的左边是含有 x 的完全平方形式，右边是非负数，可以直接降次解方程；而方程 x2+ 6x 16= 0 不具有上述形式，直接降次有困难，能设

17、法把这个方程化为具有上述形式的方程吗？2解：移项，得 x + 6x = 16，622b2两边都加上 _9_即_，使左边配成 x + bx+(2)的形式，得2x + 6x + 9= 16+ _，左边写成平方形式，得2(x + 3) = 25，开平方，得x+3=5 ，(降次)即 x + 3= 5 或 x + 3= 5，解一次方程，得 X1= _2_， X2= _ 8_.归纳：通过配成完全平方式的形式解一元二次方程的方法，叫做配方法；配方的目的是为了降次，把 一元二次方程转化为两个一元一次方程.7问题 2:解下列方程：(1)3x2 1 = 5；(2)4(x 1)2 9 = 0；82(3)4x + 1

18、6x + 16= 9.&厂15解：(1)x =2; (2)xi= -, X2= 2；71(3)x1=2， X2= 2*归纳：利用配方法解方程时应该遵循的步骤：(1) 把方程化为一般形式 ax2+ bx + c= 0;(2) 把方程的常数项通过移项移到方程的右边；(3) 方程两边同时除以二次项系数a;(4) 方程两边同时加上一次项系数一半的平方；(5) 此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程 来解.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视.(8 分钟)1.填空：2 2(1)x + 6x + 5 = 0; (2)2x+ 6x +

19、 2= 0；2(1 + x) + 2(1 + x) 4= 0.解：(1)移项，得 x2+ 6x = 5,配方得 x2+ 6x + 32= 5 + 32, (x + 3)2= 4,由此可得 x+ 3= 2，即卩 X1= 1, X2= 5.移项，得 2x + 6x = 2,二次项系数化为 1，得 x2+ 3x = 1,配方得 x2+ 3x + (2)2= (x +1)2= 4,解：设 x 秒后 PCQ 的面积为Rt ABC 面积的一半.根据题意可列方程:11 12(8x)(6x)=寸-X8X6,2(1)x + 6x +(2)x29_= (x + _3_)；1 121z1x2x+ _4_= (x _

20、2_)；2 2+ 4x + _1_= (2x + _1_).4x2 .解下列方程:由此可得 x+ 2=即 X1=f2X2= (3)去括号，整理得 x2+ 4x 1 = 0, 移项得 x2+ 4x = 1, 配方得(X + 2)2= 5,x + 2= .；：5，即卩 X1=j5 2, X2=5 2.点拨精讲：解这些方程可以用配方法来完成，即配一个含有f 童作袴竜x 的完全平方式.、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果.(5 分钟)如图，在RtAABC 中，/ C= 90,AC= 8mCB= 6m点 P,Q 同时由 A, B 两点出发分别沿AC, BC方向向点 C 匀速

21、移动，它们的速度都是1ms,几秒后 PCQ 的面积为Rt ABC 面积的一半?9即 x 14x + 24= 0,2(X7)=25,10 x 7= 5, xi= 12, X2= 2,xi= 12, X2= 2 都是原方程的根，但 xi= 12 不合题意，舍去.答：2 秒后 PCQ 的面积为Rt ABC 面积的一半.点拨精讲：设 x 秒后 PCQ 的面积为Rt ABC 面积的一半， PCQ 也是直角三角形根据已知条件列出 等式.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.(8 分钟)1 .用配方法解下列关于 x 的方程：2 2(1)2x 4x 8= 0;(2)x 4x+ 2

22、= 0;212(3)x产1 =0 ; (4)2x解:(2) x(3) x(4)x2 .如果 x2 4x + y2+ 6y + z+ 2+ 13= 0,求(xy)z的值.解：由已知方程得 x2 4x + 4+ y2+ 6y + 9+ z + 2= 0,即(x 2)2+ (y + 3)2+ ,z + 2= 0,. x = 2, y = 一 3, z =一 2.z21(xy)=2X(3)=36.S-小盏 学生总结本堂课的收获与困惑.(2 分钟)1用配方法解一元二次方程的步骤.2用配方法解一元二次方程的注意事项.宀九旳际 学习至此，请使用本课时对应训练部分.(10 分钟)21 . 2.2 公式法1.理

23、解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念.2.会熟练应用公式法解一元二次方程.f 翼區雅点、重点：求根公式的推导和公式法的应用.难点：一元二次方程求根公式的推导.沆正盒 (2 分钟)用配方法解方程：2 2(1)x + 3x + 2 = 0;(2)2x 3x + 5= 0.解：(1)x1= 2, X2= 1 ;(2)无解.F 预习导習、一、自学指导.(8 分钟)问题：如果这个一元二次方程是一般形式ax2+ bx + c= 0(a 工 0)，你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根？分析：因为前面具体数字已做得很多，现在不妨把a, b, c 也当成一个具体数字，根据上面的解题步骤就可以一直

24、推下去.探究：一元二次方程 ax2+ bx + c = 0(a丰0)的根由方程的系数 a, b, c 而定，因此：2 2(1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax +bx+ c = 0,当 b 4ac0时，将 a, b, c 代b x/b2 4ac2.入式子 x =-:-就得到方程的根，当 b2 4acv0 时，方程没有实数根.问题：已知 ax2+ bx + c= 0(a丰0)，试推导它的两个根X1=b + .、b2 4ac2aX2=b . b2 4ac2a(1)x1= 1 + 5, X2= 1 . 5;1= 2+ 材 2, X2= 2 /2;X2=_11(3) 利用求根公式解一元二

25、次方程的方法叫做公式法.(4) 由求根公式可知，一元二次方程最多有_2 个实数根，也可能有 _1个实根或者没有实根.(5) 一般地，式子 b2-4ac 叫做方程 ax2+ bx + c= 0( a* 0)的根的判别式，通常用希腊字母表示，即2 = b 4ac.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视.(5 分钟)用公式法解下列方程，根据方程根的情况你有什么结论？(1)2x2 3x = 0; (2)3x2 2 3x + 1= 0;2 -(3)4x + x + 1 = 0.3解：(1)x1= 0, x2= 2 有两个不相等的实数根；(2)xi= X2=；有两个相等的实数根;(3)无实

26、数根.点拨精讲： 0 时，有两个不相等的实数根；=0 时，有两个相等的实数根；4.223.已知 x + 2x = m- 1 没有实数根，求证：x + mx= 1 2m 必有两个不相等的实数根.证明:x2+ 2x m+ 1 = 0 没有实数根，二 4 4(1 m)v0 , mv0.对于方程 x2+ mx= 1 2m,即 x2+ mx+ 2m- 1 = 0,2 =m8m+4,v m0, x2+ mx= 1 2m 必有两个不相等的实数根.二、跟踪练习： 学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.(10 分钟)1.禾 U 用判别式判定下列方程的根的情况：232(1)2x 3x 2= 0；(

27、2)16x 24x + 9= 0 ；(3)x2 4 2x + 9 = 0 ; (4)3x2+ 10 x = 2x2+ 8x.解：(1)有两个不相等的实数根；2(3)x + 4x + 8 = 2x+ 11;(4)x(x 4) = 2 8x ；(5)x2+ 2x = 0 ;(6)x2+ 2 5x + 10= 0.解：(1)x1= 3, X2= 4；b /b 4ac2a叫做兀二次方程2ax + bx + c = 0（a丰0）的求根公12(2) 有两个相等的实数根；(3) 无实数根；(4) 有两个不相等的实数根.2 .用公式法解下列方程：22厂 1(1)x + x 12 = 0 ; (2)x ,2x

28、4= 0；(3) xi= 1, X2= 3;(4) xi= 2 + 6, X2= 2 6;(5) xi= 0, X2= 2; (6)无实数根.点拨精讲：(1) 一元二次方程 ax3+ bx+ c = 0(a丰0)的根是由一元二次方程的系数a, b, c 确定的；(2)在解一元二次方程时，可先把方程化为一般形式，然后在b24ac0的前提下，把 a, b, c 的值代_ b + b2_4ac入 x=-(b2 4ac0)中，可求得方程的两个根；(3)由求根公式可以知道一元二次方程最多有两个实数根.:小芫 学生总结本堂课的收获与困惑.(2 分钟)1. 求根公式的推导过程.2. 用公式法解一元二次方程的

29、一般步骤：先确定 .a, b, c 的值，再算.出 b2 4ac 的值、最后代.入求根 公式求解.3. 用判别式判定一元二次方程根的情况.，：；- L 汕 学习至此，请使用本课时对应训练部分.(10 分钟)21. 2.3 因式分解法f供空L吕赫1.会用因式分解法(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程.2.能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性.重点：用因式分解法解一元二次方程.难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想.“界(2 分钟)将下列各题因式分解：(1) am + bm+ cm= (_a + b+ c_ )m ;2 2 -(2)

30、 a b = (a + b)(a b);(3) a2+ 2ab+ b2= _(a + b)2_.hr 习誓辔一、自学指导.(8 分钟)问题：根据物理学规律，如果把一个物体从地面以10ms的速度竖直上抛，那么经过xs物体离地的2高度(单位：m为 10 x 4.9x 你能根据上述规律求出物体经过多少秒落回地面吗？(精确到 0.01s)设物体经过 xs落回地面，这时它离地面的高度为0，即 10 x 4.9x2= 0,思考：除配方法或公式法以外，能否找到更简单的方法解方程？分析：方程的右边为0,左边可以因式分解得：x(10 4.9x) = 0,3.用因式分解法解下列方程：2 2(1)x 4x = 0;

31、 (2)4x 49= 0;,2+ ,32，13于是得 x= 0 或 10 4.9x = 0,/ X1= _0_, X2 2.04 .上述解中，X2 2.04 表示物体约在 2.04s时落回地面，而 X1= 0 表示物体被上抛离开地面的时刻，即0s时物体被抛出，此刻物体的高度是0m点拨精讲：(1)对于一元二次方程，先将方程右边化为0,然后对方程左边进行因式分解，使方程化为两个一次式的乘积的形式，再使这两个一次因式分别等于零，从而实现降次，这种解法叫做因式分解法.(2)如果a b= 0,那么a= 0或b= 0，这是因式分解法的根据.如：如果(x + 1)(x 1) = 0,那么 x+ 1 = 0

32、或 _x 1 = 0_，即 _x = 1 或 _x = 1.自学检测：学生自主完成，小组内展示下评，教师巡视.(5 分钟)1 .说出下列方程的根：(1)x(x 8) = 0;(2)(3x + 1)(2x 5) = 0.小15解：(1)x1= 0, X2= 8;(2)x1= 3, X2= 3.142(3)5x 20 x + 20= 0.解：(1)x1= 0, X2= 4; (2)x(3)xi= X2= 2.k 昔作碁鶴一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果. i.用因式分解法解下列方程：2(1)5x 4x = 0;(2)3x(2x + 1) = 4x + 2;2(x

33、 + 5) = 3x + 15.”4解：(1)x1= 0, X2=-;52 1x1= 3，X2= ；(3)x1= 5, X2= 2.点拨精讲：用因式分解法解一元二次方程的要点是方程的一边是0，另一边可以分解因式.2 .用因式分解法解下列方程：2(1) 4x 144 = 0;2 2(2x 1) = (3 x);123(3) 5x 2x 一 = x 2x +44(4) 3x2 12x = 12.解：(1)x1= 6, X2= 6;4(2) x1= 3, X2= 2;1 1(3) x1= , X2= ；(4)x1= X2= 2.点拨精讲：注意本例中的方程可以试用多种方法.二、跟踪练习：学生独立确定解

34、题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路. 1.用因式分解法解下列方程：(1)x2+ x= 0; (2)x2 2 3x = 0;2 2(3)3x 6x = 3; (4)4x 121 = 0;(x 4)2= (5 2x)2.解：(1)x1= 0 , X2= 1 ；(2) x1= 0, X2= 2 3;(3) x1= X2= 1;11X2= 2;(5)x1= 3, X2= 1.点拨精讲：因式分解法解一元二次方程的一般步骤：(1) 将方程右边化为0 ;(2) 将方程左边分解成两个一次式的一乘积_ ;(3) 令每个因式分别为_0_，得到两个一元一次方程；(4) 解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的

35、解.2把小圆形场地的半径增加5m得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场地的半径.解：设小圆形场地的半径为xm771=2，X2= 2；(8 分钟)(10 分钟)15则可列方程 2nx =n(x + 5).解得 X1= 5+ 5 2, X2= 5 5 2(舍去).答：小圆形场地的半径为 (5 + 5v2)m学生总结本堂课的收获与困惑. (2 分钟)1用因式分解法解方程的根据由ab= 0 得 a = 0 或 b= 0，即“二次降为一次”.2 正确的因式分解是解题的关键.宀訶酥 学习至此，请使用本课时对应训练部分.(10 分钟)1621 . 2.4 一元二次方程的根与系数的关系bc1. 理解并

36、掌握根与系数的关系：Xl+ X2= ,XlX2=.aa2. 会用根的判别式及根与系数的关系解题.重点：一元二次方程的根与系数的关系及运用.难点：一元二次方程的根与系数的关系及运用.irBT 习曇辔 y一、自学指导.(10 分钟)自学 I 完成下表：方程X1X2X1+ X2X1X2x 5x + 6= 02356x2+ 3x 10= 025310 :问题：你发现什么规律？1用语言叙述你发现的规律；答：两根之和为一次项系数的相反数；两根之积为常数项.2x2+ px+ q = 0 的两根 xi, X2用式子表示你发现的规律 答: xi+ X2= p, xiX2= q.自学 2：完成下表：方程X1X2X

37、1+ X2X1X22132x 3x 2= 0222123x 4x + 1 = 01141333问题：上面发现的结论在这里成立吗？(不成立)请完善规律：1用语言叙述发现的规律；答：两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根之积为常数项与二次项系数之比.2ax2+ bx + c = 0 的两根 xi, X2用式子表示你发现的规律.bc答：xi+ X2=, XiX2= .aa自学 3:利用求根公式推导根与系数的关系.(韦达定理)bcXi+ X2= 一, XlX2=.aa二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视.(5 分钟)根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程的两根之和与

38、两根之积.(1)x2 3x 1 = 0 ;(2)2x2+ 3x 5= 0;12-X2 2x = 0.解：(1)x1+ X2= 3， X1X2= 1;35(2) x1+ X2= ，X1X2= ；(3) x1+ X2= 6， X1X2= 0.2ax + bx+ c= 0 的两根Xi=b + b 4ac2aX2=b b 4ac2a宀訶酥 学习至此，请使用本课时对应训练部分.(10 分钟)17一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果.1 .不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积.2 2(1)x 6x 15= 0; (2)3x+ 7x 9= 0；(10 分钟)218(3)5

39、x 1 = 4x .解：(1)xi+ X2= 6, XiX2= 15;51(3)xi+ X2= ,xiX2= .44点拨精讲：先将方程化为一般形式，找对a, b, c.2 .已知方程 2x2+ kx 9 = 0 的一个根是一 3,求另一根及 k 的值.3解：另一根为, k= 3.点拨精讲：本题有两种解法，一种是根据根的定义，将x = 3 代入方程先求 k,再求另一个根；一种是利用根与系数的关系解答.3.已知a,3是方程 X2 3x 5= 0 的两根，不解方程，求下列代数式的值.1i22(i)+;(2)a+3 ;(3)a 3.a 3解：(i) I; (2)i9 ; (3)29 或一 29.二、跟

40、踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.(8 分钟)i.不解方程，求下列方程的两根和与两根积：(1) x2 3x = i5; (2)5x2 i = 4x2;22(3)x 3x + 2 = iO; (4)4x i44 = 0.解：(i)xi+ X2= 3, xiX2= i5;(2) xi+ X2= 0, XiX2= i;(3) xi+ X2= 3, xiX2= 8;(4) xi+ X2= 0, XiX2= 36.2 两根均为负数的一元二次方程是(C)2 2A.7x i2x + 5 = 0 B. 6x i3x 5= 02 2C. 4x + 21x + 5 = 0 D. x +

41、 15x 8 = 0点拨精讲：两根均为负数的一元二次方程根与系数的关系满足两根之和为负数，两根之积为正数.九小壮 学生总结本堂课的收获与困惑.(2 分钟)不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值；求得方程的 另一根和方程中的待定系数的值.1.先化成一般形式，再确定 a, b, c.2.当且仅当 b2 4ac0时，才能应用根与系数的关系.-b一c一3 .要注意比的符号：xi+ X2=首(比前面有负号)，X1X2=-(比前面没有负号).宀-汕邛 学习至此，请使用本课时对应训练部分.(10 分钟)21. 3 实际问题与一元二次方程(1)1 .会根据具体问题(按一定

42、传播速度传播的问题、数字问题等)中的数量关系列一元二次方程并求解.2 .能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理.3 .进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点：列一元二次方程解决实际问题. 难点：找出实际问题中的等量关系.F 预习导呼、一、自学指导.(12 分钟)问题 1:有一人患了流感，经过两轮传染后共有 121 人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 分析：1设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，那么患流感的这一个人在第一轮中传染了x 人，第一轮7(2)xi+ X2= 3,xiX2= 3;219后共有_(X + 1) 人患了流感；2第二轮传染中，这些人中的每个人又传染了X 人

43、，第二轮后共有(X + 1)(x + 1)人患了流感.20则列方程：2_(x + 1) = 121_,解得 _x = 10 或 x = 12(舍)_ ,即平均一个人传染了 _卩_个人.再思考：如果按照这样的传染速度，三轮后有多少人患流感？问题 2: 个两位数，它的两个数字之和为6,把这两个数字交换位置后所得的两位数与原两位数的积是 1008，求原来的两位数.分析：设原来的两位数的个位数字为_x_，则十位数字为_(6 x)_，则原两位数为_10(6 x) + x,新两位数为 _10 x + (6 x)_ .依题意可列方程：10(6 x) + x10 x + (6 x) = 1008,解得 X1=

44、 _2_, X2= _4_,原来的两位数为 24 或 42.二、自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视.(5 分钟)某初中毕业班的每一个同学都将自己的相片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送了2550 张相片，如果全班有 x 名学生，根据题意，列出方程为()A.x(x + 1) = 2550B.x(x 1) = 2550C.2x(x + 1) = 2550D.x(x1)=2550X2分析：由题意，每一个同学都将向全班其他同学各送一张相片，则每人送出(x 1)张相片，全班共送出x(x 1)张相片，可列方程为x(x 1) = 2550.故选 B.k 令作碁鶴一、小组合作：小组讨论交

45、流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果.(8 分钟)1.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的 总数是 91,求每个支干长出多少小分支？解：设每个支干长出x个小分支，则有 1 +x+x2= 91,2即x+x 90= 0,解得刘=9,X2= 10(舍去)，故每个支干长出 9 个小分支.点拨精讲：本例与传染问题的区别.2 .一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4,且个位数字与十位数字的平方和比这个两位数小4,设个位数字为x,则列方程为：_x2+ (x+ 4)2= 10(x+ 4) +x 4_.二、跟踪练习： 学生独立确定解题思路，小组内交流

46、，上台展示并讲解思路.(7 分钟)1.两个正数的差是 2，它们的平方和是 52，则这两个数是(C )A. 2 和 4B. 6 和 8C. 4 和 6D. 8 和 102 .教材 P21第 2 题、第 3 题卜附W沁卜学生总结本堂课的收获与困惑.(3 分钟)1.列一元二次方程解应用题的一般步骤：(1) “审”：即审题，读懂题意弄清题中的已知量和未知量；(2) “设”：即设_未知数_，设未知数的方法有直接设和间接设未知数两种；(3) “列”：即根据题中等量关系列方程;(4) “解”：即求出所列方程的.根 _ ;(5) “检验”：即验证根是否符合题意；(6) “答”：即回答题目中要解决的问题.2.对

47、于数字问题应注意数字的位置.宀汕 学习至此，请使用本课时对应训练部分.(10 分钟)21 . 3 实际问题与一元二次方程(2)f 叱翌自攝1.会根据具体问题(增长率、降低率问题和利润率问题)中的数量关系列一元二次方程并求解.2 .能根据问题的实际意义，检验所得结果是否合理.3 .进一步掌握列方程解应用题的步骤和关键.重点：如何解决增长率与降低率问题.21难点：理解增长率与降低率问题的公式a(1 x)n= b,其中 a 是原有量，x 为增长(或降低)率，n 为增 长（或降低）的次数，b 为增长（或降低）后的量.ITJ或习曇辔T一、 自学指导.（10 分钟）自学：两年前生产 1 吨甲种药品的成本是

48、 5000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 6000 元，随着生产技 术的进步，现在生产 1 吨甲种药品的成本是 3000 元，生产 1 吨乙种药品的成本是 3600 元，哪种药品成本 的年平均下降率较大？（精确到 0.01）绝对量：甲种药品成本的年平均下降额为（5000 3000）十 2= 1000（元），乙种药品成本的年平均下降额为（6000 3600）十 2= 1200（元），显然，乙种药品成本的年平均下降额较大.相对量：从上面的绝对量的大小能否说明相对量的大小呢？也就是能否说明乙种药品成本的年平均下 降率大呢？下面我们通过计算来说明这个问题.分析：1设甲种药品成本的年平均下降率为x,

49、则一年后甲种药品成本为 _5000（1 x）_元，两年后甲种药品成本为 _5000（1 x）_元.依题意，得 _5000（1 x）2= 3000.解得 _X1 0.23 , X21.77_ .根据实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为_0.23_ .2设乙种药品成本的年平均下降率为y.贝 U,列方程：_6000（1 y） = 3600_.解得 _y 仟 0.23 ,y1.77（舍）_ .答：两种药品成本的年平均下降率，相同 _.点拨精讲：经过计算，成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大，应比较降前及降后的价 格.二、 自学检测：学生自主完成，小组内展示，点评，教师巡视.（8 分钟）某

50、商店 10 月份的营业额为 5000 元，12 月份上升到 7200 元，平均每月增长百分率是多少？【分析】如果设平均每月增长的百分率为x，则11 月份的营业额为5000（1 + x） 元，12 月份的营业额为_5000（1 + x）（1 + x）_ 元，即 _5000（1 + x） _元.由此就可列方程： _5000（1 + x）2= 7200_.点拨精讲：此例是增长率问题，如题目无特别说明，一般都指平均增长率，增长率是增长数与基准数 的比.增长率=增长数：基准数设基准数为 a，增长率为 x,则一月（或一年）后产量为 a（1 + x）;二月（或二年）后产量为 a（1 + x）2；n 月（或

51、n 年）后产量为 a（1 + x）n;如果已知 n 月（n 年）后产量为 M 则有下面等式：M=a（1 + x）n.解这类问题一般多采用上面的等量关系列方程.k 含作棊鶴、一、小组合作：小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果.（8 分钟）某人将 2000 元人民币按一年定期存入银行，到期后支取1000 元用于购物，剩下的 1000 元及应得利息又全部按一年定期存入银行，若存款的利率不变，到期后本金和利息共1320 元，求这种存款方式的年利率.（利息税 20%）分析：设这种存款方式的年利率为x，第一次存 2000 元取 1000 元，剩下的本金和利息是1000 +2000 x 8

52、0 % 第二次存，本金就变为1000 + 2000 x 80 % 其他依此类推.解：设这种存款方式的年利率为x,贝 y 1000 + 2000 x 80%+ （1000 + 2000 x 80 %x 80%= 1320,整理，得 1280 x2+ 800 x + 1600 x= 320,即卩 8x2+ 15x 2 = 0,解得 X1= 2（不符，舍去），X2= 0.125 = 12.5%.答：所求的年利率是12.5%.二、跟踪练习：学生独立确定解题思路，小组内交流，上台展示并讲解思路.（6 分钟）青山村种的水稻 2011 年平均每公顷产 7200kg, 2013 年平均每公顷产 8460kg,

53、求水稻每公顷产量的 年平均增长率.22解：设年平均增长率为 x,223则有 7200（1 + x） = 8460,解得 xi= 0.08 , X2=- 2.08（舍）.即年平均增长率为 8%.答：水稻每公顷产量的年平均增长率为8%.点拨精讲：传播或传染以及增长率问题的方程适合用直接开平方法来解.d小冗学生总结本堂课的收获与困惑.（3 分钟）1.列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答最后要检验根是否符合实际意义.2. 若平均增长（降低）率为 x，增长（或降低）前的基数是 a,增长（或降低）n 次后的量是 b，则有：a（1 x）=b（常见 n= 2）.几 学习至此，请使用本课时对应训练部分.（10 分钟）21. 3 实际问题与一元二次方程（3）F 豹竺 L 吕赫1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模 型并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否