第七章 分析时代徐

1、第七章 分析时代 在18世纪，微积分得到了进一步深入发展，这种发展与广泛的应用交织在一起，刺激和推动了许多数学新分支的产生，从而形成了“分析”这样一个在观念和方法上都具有鲜明特点的数学领域。 18世纪可以说是分析的时代，也是向现代数学过渡的重要时期。 7.1 7.1 微积分的发展 微积分算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是微积分算法的推广，在英国和欧洲大陆国家是循着不同的路线进行的。大不列颠的数学家们循着不同的路线进行的。大不列颠的数学家们在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里在剑桥、牛津、伦敦和爱丁堡等著名的大学里教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代表教授和研究牛顿的流数术，他们中的优秀代

2、表有有泰勒、麦克劳林、棣莫弗、斯特林泰勒、麦克劳林、棣莫弗、斯特林等。等。 泰勒在自己的泰勒在自己的正的和反的增量方法正的和反的增量方法中，陈中，陈述了他早在述了他早在17121712年就已获得的那个著名定理：年就已获得的那个著名定理： 其中其中v v为独立变量为独立变量 z z 的增量，的增量， 和和 为流数。为流数。泰勒假定泰勒假定z z随时间均匀变化，故随时间均匀变化，故 为常数，从为常数，从而上述公式相当于现代形式的而上述公式相当于现代形式的“泰勒公式泰勒公式”：2323()11 21 2 3vvvx zvxxxxzzz Brook Taylorxz2()( )( )( )2!hf x

3、hf xhfxfxz 泰勒公式使任意单变量函数展为幂级数成为可能，是微积分进一步发展的有力武器。但泰勒对该定理的证明很不严谨，也没有考虑级数的收敛性。 泰勒公式在零点的特殊情况后来被爱丁堡大学教授麦克劳林重新得到，现代微积分教材中一直把这一特殊情形称为麦克劳林公式。 麦克劳林是牛顿微积分学说的竭力维护者，他曾试图对牛顿流数论进行严密的形式化推演，但因囿于几何传统而并不成功。 麦克劳林是十八世纪最有才能的数学家之一，牛顿的学生，一位数学奇才，11岁就考上格拉斯哥大学，15岁取得硕士学位，19岁就主持阿伯丁的马里沙学院数学系。Colin Maclaurin 麦克劳林之后，英国数学陷入了长期停滞的状

4、态。微积分发明权的争论滋长了大不列颠数学家的民族保守情结，使他们不能摆脱牛顿微积分学说中弱点的束缚。而在英吉利海峡的另一边，新分析却在莱布尼兹的后继者们的推动下蓬勃发展起来 。 推广莱布尼兹学说的任务，在从17世纪到18世纪的过渡时期，主要是由雅各布伯努利和约翰伯努利两兄弟担当。他们的工作，构成了现今所谓初等微积分的大部分内容。Jacob Bernoulli 1654-1705Johann Bernoulli 1667-1748伯努利家族 伯努利家族是一个令人惊异的瑞士家族，伯努利家族是一个令人惊异的瑞士家族，3 3代人中出了代人中出了8 8个著个著名数学家。名数学家。 老尼古拉（老尼古拉（N

5、icolaus Senior 1623-1708Nicolaus Senior 1623-1708），一位成功的香料），一位成功的香料商人。生于商人。生于16541654年的雅各布是十个孩子中的第五个。约翰是年的雅各布是十个孩子中的第五个。约翰是第十个孩子。第十个孩子。 雅各布第一（雅各布第一（Jacob 1654-1705Jacob 1654-1705），尼古拉第一），尼古拉第一（ Nicolaus 1662-1716Nicolaus 1662-1716），约翰第一（），约翰第一（ Johannes Johannes 1667-17481667-1748） 尼古拉第一尼古拉第一尼古拉第二（尼

6、古拉第二（ Nicolaus Nicolaus 1687-17591687-1759） 约翰第一约翰第一尼古拉第三（尼古拉第三（ Nicolaus Nicolaus 1695-17261695-1726），丹尼尔），丹尼尔（Daniel 1700-1782Daniel 1700-1782），约翰第二（），约翰第二（ Johannes Johannes 1710-17901710-1790） 约翰第二（约翰第二（ Johannes Johannes 1710-17901710-1790）约翰第三约翰第三（ Johannes Johannes 1746-18071746-1807），雅各布第二（）

7、，雅各布第二（Jacob Jacob 1759-1759-17891789） 他的父亲希望雅各布能进入政府部门，但是雅各布真正感他的父亲希望雅各布能进入政府部门，但是雅各布真正感兴趣的是数学，他通过自学来钻研数学。兴趣的是数学，他通过自学来钻研数学。16901690年，莱布尼年，莱布尼茨这样评价他：茨这样评价他：“微积分的思路还只少数人懂得，我还没微积分的思路还只少数人懂得，我还没有听说比这个著名的人更懂我意思的人。有听说比这个著名的人更懂我意思的人。” 16851685年约翰开始学医，甚至拿到了医学学位，但是和雅各年约翰开始学医，甚至拿到了医学学位，但是和雅各布一样，他的心在数学上。可能是布

8、一样，他的心在数学上。可能是16871687年，约翰私下里跟年，约翰私下里跟哥哥雅各布学习数学。大约过了两年，他的水平已经和哥哥哥雅各布学习数学。大约过了两年，他的水平已经和哥哥差不多了。哥差不多了。 16911691年，约翰向年，约翰向罗必达罗必达传授新数学知识。遵照约翰的课程传授新数学知识。遵照约翰的课程计划，罗必达坚持下来，写出第一本微积分的系统均衡教计划，罗必达坚持下来，写出第一本微积分的系统均衡教科书科书无穷小分析无穷小分析。 约翰还教过欧拉数学。约翰还教过欧拉数学。 事实上，那个时代大约有六位最主要的数学家，他们差不事实上，那个时代大约有六位最主要的数学家，他们差不多都是位努利兄弟

9、之一的学生。多都是位努利兄弟之一的学生。 一个有趣的巧合的，约翰有一个学生法蒂奥一个有趣的巧合的，约翰有一个学生法蒂奥. .德德. .丢勒，他丢勒，他的哥哥在牛顿的哥哥在牛顿- -莱布尼茨争端中扮演了很需要的角色。莱布尼茨争端中扮演了很需要的角色。洛必达法则 学过微积分的人都知道，洛必达法则在处理极限问题时极学过微积分的人都知道，洛必达法则在处理极限问题时极其有用。其有用。第一本微积分教科书于第一本微积分教科书于16961696年出版于巴黎。年出版于巴黎。作者作者洛必达（洛必达（LHospitalLHospital）侯爵在书中给出一种求分式极限值）侯爵在书中给出一种求分式极限值的方法，该分式的

10、分子和分母在求极限时都趋近于零。虽的方法，该分式的分子和分母在求极限时都趋近于零。虽然他是由然他是由Johann BernoulliJohann Bernoulli发现的，但现在这一方法以洛发现的，但现在这一方法以洛必达法则而著称。在洛必达的必达法则而著称。在洛必达的无穷小分析无穷小分析中，伯努利中，伯努利和莱布尼兹的许多思想出现在这本书中。和莱布尼兹的许多思想出现在这本书中。 洛必达聪明地在书中写了这样的免责声明：洛必达聪明地在书中写了这样的免责声明：“我随意地使我随意地使用了他们的一些发现，因此对于任何他们乐于声称是属于用了他们的一些发现，因此对于任何他们乐于声称是属于他们自己的内容，我都

11、会坦然地归还给他们他们自己的内容，我都会坦然地归还给他们。”他的书变他的书变得相当有名，尤其是其中关于得相当有名，尤其是其中关于0/00/0这种表达式的运算法则，这种表达式的运算法则，这条法则后来被称为这条法则后来被称为“洛必达法则洛必达法则”。当然，有一个明显。当然，有一个明显的事实值得注意，洛必达付给的事实值得注意，洛必达付给BernoulliBernoulli固定薪水，根据固定薪水，根据他们的契约，他们的契约，BernoulliBernoulli必须将他的数学发现交给洛必达。必须将他的数学发现交给洛必达。正如洛必达在正如洛必达在16941694年年3 3月月1717日写给伯努利上说的：日

12、写给伯努利上说的：“亲爱亲爱的约翰，看来我们俩都彼此需要对方。我需要你在知识上的约翰，看来我们俩都彼此需要对方。我需要你在知识上帮助我，而你也可以用上我的经济资助。帮助我，而你也可以用上我的经济资助。” 因为雅各布一直都不能接受这样的事实：比他还年轻的弟因为雅各布一直都不能接受这样的事实：比他还年轻的弟弟跟他旗鼓相当，在某些程度上，甚至超过了他。弟跟他旗鼓相当，在某些程度上，甚至超过了他。 到到1717世纪初，雅各布已经在使微积分规范化方面做了很多世纪初，雅各布已经在使微积分规范化方面做了很多工作，比莱布尼茨本人做的还多，因为莱布尼茨忙于处理工作，比莱布尼茨本人做的还多，因为莱布尼茨忙于处理个

13、人问题，没有过给这个学科制定通用的规则。个人问题，没有过给这个学科制定通用的规则。 与此同时，约翰对数学的钻研更加精深。两兄弟用新数学与此同时，约翰对数学的钻研更加精深。两兄弟用新数学作为工具解决了困扰数学家们多年，甚至几个世纪的问题。作为工具解决了困扰数学家们多年，甚至几个世纪的问题。 约在约在16591659年，惠更斯寻找这样的曲线：年，惠更斯寻找这样的曲线：沿着曲线，一个物沿着曲线，一个物体在重力的作用下，从曲线上任一点开始下降，都会花同体在重力的作用下，从曲线上任一点开始下降，都会花同样的时间到达曲线底部。他用几何方法显示该曲线是一条样的时间到达曲线底部。他用几何方法显示该曲线是一条摆

14、线。摆线。 16901690年，在微积分的基础上，雅各布在年，在微积分的基础上，雅各布在博学学报博学学报上发上发表了他对表了他对等时问题等时问题的分析。通过对这种下降速度不变的曲的分析。通过对这种下降速度不变的曲线建立了微分方程，他解决了这个问题，他向大家展示，线建立了微分方程，他解决了这个问题，他向大家展示，这种曲线是摆线。这种曲线是摆线。 雅各布请求别人把雅各布请求别人把对数螺线对数螺线和碑铭和碑铭“纵使改变，依然故我纵使改变，依然故我”一起该在他的墓碑上。一起该在他的墓碑上。 他们兄弟之间因永无休止的竞争而导致关系紧张。约翰似乎是两兄弟中更爱争吵的一个。 约翰因为他儿子赢得了他本人也在竞

15、争的法国科学院的一项奖项而把儿子赶出家门。 无论如何，在17世纪90年代初，约翰已经真正成为一名数学家。他的名声和实际成就的不断增长，对于需要名望的雅各布来说，已经成为一个实在的威胁。 为了报复约翰的自夸，雅各布到处说约翰是自己的学生，只会重复在老师那里学到的东西。 雅各布走了，好论战的约翰似乎得找他人交战了。作为一个健康、精力充沛的人，他还有长达43年的时间去继续研究、论战。 约翰的无数对手中，一个是英国数学家泰勒，他在1715年的增量法一书中，收录了约翰和很多他人解决过的问题，但他只提到了牛顿的名字。约翰对这种被忽视很不悦，他发表一篇匿名论文，指控泰勒剽窃。 泰勒猜出了作者，并发表了一个回

16、复作为辩护也是匿名。他还取笑了伯努力在多年前犯的一个数学错误。 泰勒死了，约翰还评论道：“泰勒死了，我的对手们都死在我的前头，还都比我年轻，这是一种命运。在过去的15年中，他是他们中的第六个，他们都攻击并激怒过人，虽然我没有对不住他们的地方。看来上苍是要报复他们对我做过的错事。” 约翰重复他爸爸的奇怪行为，竭力阻止丹尼尔从事数学。约翰重复他爸爸的奇怪行为，竭力阻止丹尼尔从事数学。 丹尼尔先送去做商业学徒，后送去学医，但他的心在数学。丹尼尔先送去做商业学徒，后送去学医，但他的心在数学。约翰所生养的三个儿子全都成为声名卓著的数学家和科学家，约翰所生养的三个儿子全都成为声名卓著的数学家和科学家，丹尼

17、尔是最出色的。丹尼尔是最出色的。 丹尼尔丹尼尔1111岁时从只比他大岁时从只比他大5 5岁的哥哥尼古拉第三那里学习数学。岁的哥哥尼古拉第三那里学习数学。 丹尼尔和欧拉是密友，有时也是友好的竞争对手。丹尼尔像丹尼尔和欧拉是密友，有时也是友好的竞争对手。丹尼尔像欧拉一样，也有欧拉一样，也有1010次赢得法国科学院奖金的光辉记录。次赢得法国科学院奖金的光辉记录。丹尼尔年轻时，一次在旅行中与一位有趣的陌生人聊天，他客气地自我丹尼尔年轻时，一次在旅行中与一位有趣的陌生人聊天，他客气地自我介绍：介绍：“我是丹尼尔我是丹尼尔. .伯努利伯努利。”“我吗，我吗，”那个人讽刺地说，那个人讽刺地说，“艾萨克艾萨克

18、. .牛顿。牛顿。”丹尼尔终身都为此高兴，把这作为他受到的最真实的称颂。丹尼尔终身都为此高兴，把这作为他受到的最真实的称颂。 1818世纪微积分最重大的进步应归于欧拉。世纪微积分最重大的进步应归于欧拉。他于他于17481748年出版的年出版的无限小分析引论无限小分析引论以及随后发表的以及随后发表的微分学微分学和和积分学积分学是微积分史上里程碑式的著作是微积分史上里程碑式的著作。它们在。它们在很长时间里被当作分析课本的典范而普很长时间里被当作分析课本的典范而普遍使用着。遍使用着。 这三部著作包含了欧拉本人在分析领域这三部著作包含了欧拉本人在分析领域的大量创造，同时引进了一批标准的分的大量创造，同

19、时引进了一批标准的分析学符号，如：析学符号，如：f(x)f(x)，e e，i i。对分对分析表述的规范化起了重要作用。析表述的规范化起了重要作用。 此外，法国学派的代表人物此外，法国学派的代表人物克莱洛、达克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日和勒让德朗贝尔、拉格朗日、蒙日和勒让德等，等，也为微积分及其应用在欧陆的推广做出也为微积分及其应用在欧陆的推广做出了卓越贡献。了卓越贡献。Leonhard Euler1707-1783欧拉 欧拉还创设了许多数学符号，例如欧拉还创设了许多数学符号，例如（17361736年），年），sinsin和和coscos（17481748年），年），tgtg（1753175

20、3年），年），x x（17551755年）等。年）等。 欧拉欧拉17071707年出生在瑞士的巴塞尔（年出生在瑞士的巴塞尔（BaselBasel）城，）城，1313岁就进巴塞岁就进巴塞尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰尔大学读书，得到当时最有名的数学家约翰伯努利伯努利（Johann BernoulliJohann Bernoulli，1667-17481667-1748年）的精心指导。年）的精心指导。 欧拉计算起来，毫不费力，就像人们呼吸，老鹰在空中飞翔欧拉计算起来，毫不费力，就像人们呼吸，老鹰在空中飞翔。 欧拉写伟大的研究论文，就像下笔流畅的作家给密友写信一欧拉写伟大的研究论文，就像下笔

21、流畅的作家给密友写信一样容易。据说在家人两次他吃饭的半小时左右的间隔中，他样容易。据说在家人两次他吃饭的半小时左右的间隔中，他就能草就一篇数学文章。就能草就一篇数学文章。 印刷工从一堆文章的最上面拿走一撂，于是出现了这样的情印刷工从一堆文章的最上面拿走一撂，于是出现了这样的情形，出版日期的先后经常与写作日期的先后相反。形，出版日期的先后经常与写作日期的先后相反。 叶卡捷琳娜二世邀请法国无神论哲学家狄德尼叶卡捷琳娜二世邀请法国无神论哲学家狄德尼. .狄德罗访狄德罗访问她的宫廷，狄德罗试图证明通过朝臣们改信无神论来表问她的宫廷，狄德罗试图证明通过朝臣们改信无神论来表明他是值得被邀请的。明他是值得被

22、邀请的。 叶卡捷琳娜厌烦了，她命令欧拉去让这个只会空谈的哲学叶卡捷琳娜厌烦了，她命令欧拉去让这个只会空谈的哲学家闭嘴。这倒容易，因为狄德罗对数学一无所知。家闭嘴。这倒容易，因为狄德罗对数学一无所知。 狄德罗被告知，一个有学问的数学家用代数证明了上帝的狄德罗被告知，一个有学问的数学家用代数证明了上帝的存在，要是他想听的话，这位数学家将当着所有朝臣的面存在，要是他想听的话，这位数学家将当着所有朝臣的面给出这个证明。给出这个证明。 狄德罗高兴地同意了，欧拉朝他走去，用一种非狄德罗高兴地同意了，欧拉朝他走去，用一种非常肯定的语调一本正经地说：常肯定的语调一本正经地说：“先生，先生，(a+b(a+bn

23、n)/n=x)/n=x，因此上帝存在；回答！，因此上帝存在；回答！” 狄德罗困惑得不知说什么好，周围的人报以纵声狄德罗困惑得不知说什么好，周围的人报以纵声大笑。大笑。 欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，欧拉渊博的知识，无穷无尽的创作精力和空前丰富的著作，都是令人惊叹不已的！他从都是令人惊叹不已的！他从1919岁开始发表论文，直到岁开始发表论文，直到7676岁，岁，半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。到今几乎每一半个多世纪写下了浩如烟海的书籍和论文。到今几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉

24、定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式欧拉公式等等，数也数不清。等等，数也数不清。 他对数学分析的贡献更独具匠心，他对数学分析的贡献更独具匠心，无穷小分析引论无穷小分析引论一一书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为书便是他划时代的代表作，当时数学家们称他为“分析学分析学的化身的化身” ” 。 欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统

25、计他那欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他那不倦的一生，共写下了不倦的一生，共写下了886886本书籍和论文，其中分析、代本书籍和论文，其中分析、代数、数论占数、数论占40%40%，几何占，几何占18%18%，物理和力学占，物理和力学占28%28%，天文学，天文学占占11%11%，弹道学、航海学、建筑学等占，弹道学、航海学、建筑学等占3%3%，彼得堡科学院，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。为了整理他的著作，足足忙碌了四十七年。 欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的欧拉著作的惊人多产并不是偶然的，他可以在任何不良的环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论

26、文，也不顾孩环境中工作，他常常抱着孩子在膝上完成论文，也不顾孩子在旁边喧哗。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，子在旁边喧哗。他那顽强的毅力和孜孜不倦的治学精神，使他在双目失明以后，使他在双目失明以后， 也没有停止对数学的研究，在失也没有停止对数学的研究，在失明后的明后的1717年间，他还口述了几本书和年间，他还口述了几本书和400400篇左右的论文。篇左右的论文。 1919世纪伟大数学家世纪伟大数学家高斯高斯（GaussGauss，1777-18551777-1855年）曾说：年）曾说：“研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法研究欧拉的著作永远是了解数学的最好方法。” 欧拉的父亲保罗欧拉的父

27、亲保罗欧拉（欧拉（Paul EulerPaul Euler）也是一个数学家，）也是一个数学家，原希望小欧拉学神学，同时教他一点教学。由于小欧拉的原希望小欧拉学神学，同时教他一点教学。由于小欧拉的才人和异常勤奋的精神，又受到约翰才人和异常勤奋的精神，又受到约翰伯努利的赏识和特伯努利的赏识和特殊指导，当他在殊指导，当他在1919岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴岁时写了一篇关于船桅的论文，获得巴黎科学院的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学黎科学院的奖的奖金后，他的父亲就不再反对他攻读数学了了。 1725年约翰伯努利的儿子丹尼尔伯努利赴俄国，并向沙皇叶卡捷琳娜一世推荐了欧拉，这样，在1727年

28、5月17日欧拉来到了圣彼得堡。1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授。1735年，欧拉解决了一个天文学的难题（计算慧星轨道），这个问题经几个著名数学家几个月的努力才得到解决，而欧拉却用自己发明的方法，三天便完成了。然而过度的工作使他得了眼病，并且不幸右眼失明了，这时他才28岁。 1741年欧拉应普鲁士彼德烈大帝的邀请，到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年。 后来在沙皇叶卡捷琳娜二世的诚恳敦聘下重回彼得堡，不料没有多久，左眼视力衰退，最后完全失明。不幸的事情接踵而来，1771年彼得堡的大火灾殃及欧拉住宅，带病而失明的64岁的欧拉被围困在大火中，虽然他被别人从火海中救了出

29、来，但他的书房和大量研究成果全部化为灰烬了 沉重的打击，仍然没有使欧拉倒下，他发誓要把损失夺回来。在他完全失明之前，还能朦胧地看见东西，他抓紧这最后的时刻，在一块大黑板上疾书他发现的公式，然后口述其内容，由他的学生特别是大儿子A欧拉（数学家和物理学家）笔录。欧拉完全失明以后，仍然以惊人的毅力与黑暗搏斗，凭着记忆和心算进行研究，直到逝世，竟达17年之久。 欧拉的记忆力和心算能力是罕见的，他能够复述年青时代笔记的内容，心算并不限于简单的运算，高等数学一样可以用心算去完成。有一个例子足以说明他的本领，欧拉的两个学生把一个复杂的收敛级数的17项加起来，算到第50位数字，两人相差一个单位，欧拉为了确定究

30、竟谁对，用心算进行全部运算，最后把错误找了出来。欧拉在失明的17年中；还解决了使牛顿头痛的月离问题和很多复杂的分析问题。 欧拉的风格是很高的，拉格朗日是稍后于欧拉的大数学家，从19岁起和欧拉通信，讨论等周问题的一般解法，这引起变分法的诞生。等周问题是欧拉多年来苦心考虑的问题，拉格朗日的解法，博得欧拉的热烈赞扬，1759年10月2日欧拉在回信中盛称拉格朗日的成就，并谦虚地压下自己在这方面较不成熟的作品暂不发表，使年青的拉格朗日的工作得以发表和流传，并赢得巨大的声誉。他晚年的时候，欧洲所有的数学家都把他当作老师，著名数学家拉普拉斯（Laplace）曾说过：“欧拉是我们的导师。” 欧拉充沛的精力保持

31、到最后一刻，1783年9月18日下午，欧拉为了庆祝他计算气球上升定律的成功，请朋友们吃饭，那时天王星刚发现不久，欧拉写出了计算天王星轨道的要领，还和他的孙子逗笑，喝完茶后，突然疾病发作，烟斗从手中落下，口里喃喃地说：“我死了”，欧拉终于“停止了生命和计算” 。 欧拉的一生，是为数学发展而奋斗的一生，他那杰出的智慧，顽强的毅力，孜孜不倦的奋斗精神和高尚的科学道德，永远是值得我们学习的。 欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。欧拉还发现，不论什么形状的凸多面体，其顶点数v、棱数e、面数f之间总有v-e+f=2这个关系。v-e+f被称为欧拉示性数，成为拓扑学的基础概

32、念。在数论中，欧拉首先引进了重要的欧拉函数(n)，用多种方法证明了费马小定理。以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍中随处可见， 与此同时，他还在物理、天文、建筑以至音乐、哲学方面取得了辉煌的成就。Alexis Clairaut 1713-1765Jean Le Rond dAlembert 1717-1783 此外，法国学派的代表人物此外，法国学派的代表人物克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日和勒让德克莱洛、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日和勒让德等，也为微积分及其应用在欧陆的推广做出了卓越贡献。等，也为微积分及其应用在欧陆的推广做出了卓越贡献。Joseph-Louis Lagrange 1736

33、-1813Gaspard Monge 1746-1818Adrien-Marie Legendre 1752-1833Pierre-Simon Laplace 1749-1827关于拉格朗日 欧拉和拉格朗日是十八世纪的两位最伟大的数学家欧拉和拉格朗日是十八世纪的两位最伟大的数学家。 拉格朗日出生于意大利的都灵，是一个在法国和意大利颇拉格朗日出生于意大利的都灵，是一个在法国和意大利颇有背景的家庭。他是十一个孩子中最小的一个，并且是过有背景的家庭。他是十一个孩子中最小的一个，并且是过了童年唯一的幸存者。了童年唯一的幸存者。 17661766年当欧拉离开柏林，弗雷德里克大帝在写信给拉格朗年当欧拉离开

34、柏林，弗雷德里克大帝在写信给拉格朗日的信中说；日的信中说；“欧洲最伟大的国王欧洲最伟大的国王”希望有希望有“欧洲最伟大欧洲最伟大的数学家的数学家”在他的宫里在他的宫里。拉格朗日接受了这个邀请，担任。拉格朗日接受了这个邀请，担任欧拉辞去的职位达二十年。欧拉辞去的职位达二十年。 拉格朗日对法国大革命的恐怖行为的残暴表示反感。当大拉格朗日对法国大革命的恐怖行为的残暴表示反感。当大化学家拉瓦锡（拉瓦锡的氧化学说彻底地推翻了燃素说，化学家拉瓦锡（拉瓦锡的氧化学说彻底地推翻了燃素说，使化学开始蓬勃地发展起来。）走上断头台时，拉格朗日使化学开始蓬勃地发展起来。）走上断头台时，拉格朗日对这种愚蠢的判决表示愤慨

35、，他说：对这种愚蠢的判决表示愤慨，他说：“暴徒在刹那间就能暴徒在刹那间就能砍掉他的头，但是一百年也不能再生出这样的一个人才砍掉他的头，但是一百年也不能再生出这样的一个人才来！来！” 拿破仑对拉格朗日的评价：拿破仑对拉格朗日的评价：“拉格朗日是数学科学方面的拉格朗日是数学科学方面的高耸的金字塔。高耸的金字塔。”关于拉普拉斯 从农民到势利小人。从农民到势利小人。 拉普拉斯和勒让德是拉格朗日同时代的人，拉普拉斯拉普拉斯和勒让德是拉格朗日同时代的人，拉普拉斯17491749年出年出生于一个贫穷的家庭，作为政治上的机会主义者，在法国革命生于一个贫穷的家庭，作为政治上的机会主义者，在法国革命动荡不定的日子

36、里，无论那个政党偶然得势，他都去迎合。动荡不定的日子里，无论那个政党偶然得势，他都去迎合。 他在天体力学、概率论、微分方程和测地学领域内，都做了杰他在天体力学、概率论、微分方程和测地学领域内，都做了杰出的工作。出的工作。 五卷五卷天体力学天体力学使他赢得使他赢得“法兰西的牛顿法兰西的牛顿”的称号。当拿破的称号。当拿破仑苛求地指出在他的论著中没有提到上帝时，他回答说：仑苛求地指出在他的论著中没有提到上帝时，他回答说：“陛陛下，我不需要那个前提。下，我不需要那个前提。” 拉普拉斯还很年轻时，向达朗贝尔递交了一封某著名人物拉普拉斯还很年轻时，向达朗贝尔递交了一封某著名人物的推荐信，想找一份讲授数学的

37、职位，达朗贝尔没有接受。的推荐信，想找一份讲授数学的职位，达朗贝尔没有接受。拉普拉斯回到住处，给达朗贝尔写了一封信，讲述力学的拉普拉斯回到住处，给达朗贝尔写了一封信，讲述力学的一般原理，显示出他的才能。这敲开了门，一般原理，显示出他的才能。这敲开了门，达朗贝尔达朗贝尔答道：答道：“先生，你要记住：我对你的推荐信不感兴趣。你不需要先生，你要记住：我对你的推荐信不感兴趣。你不需要什么别的，你已经很好地介绍了你自己。什么别的，你已经很好地介绍了你自己。”几天后，拉普几天后，拉普拉斯被任命为巴黎军事学院的数学教授。拉斯被任命为巴黎军事学院的数学教授。 拉普拉斯死于1827年，正好是牛顿死后100年。他

38、的最后一句话：“我们知道的甚少，不知道的甚广。” 拉普拉斯对数学研究的初学者很慷慨。他称这些初学者为他的干儿子，并且有好几次给初学者以首先发表的机会。 遗憾的是，这样的慷慨，在数学界太少了。 拉普拉斯两句常引用的话：“自然的全部效力仅在于少数几个不变的定律的数学结论。”“在最终分析中，概率论仅仅是用数表示的共同意识。”关于蒙日 蒙日不像三蒙日不像三L L（拉格朗日、拉普拉斯和勒让德）那样躲开（拉格朗日、拉普拉斯和勒让德）那样躲开法国革命，蒙日支持革命，并在革命事业中起积极作用。法国革命，蒙日支持革命，并在革命事业中起积极作用。 17951795年，高等工艺学院建立，在那里担任数学教授。他与年，

39、高等工艺学院建立，在那里担任数学教授。他与拿破仑有密切的友谊，还受到过他的赞赏。与数学家傅立拿破仑有密切的友谊，还受到过他的赞赏。与数学家傅立叶一道随拿破仑进行倒霉的叶一道随拿破仑进行倒霉的17981798年的埃及远征。回到法国年的埃及远征。回到法国继续担任他在高等工艺学院的职位。继续担任他在高等工艺学院的职位。 除了创造射影几何外，他还被认为是除了创造射影几何外，他还被认为是微分几何之父微分几何之父。 蒙日有两个兄弟也是数学教授。蒙日对路易十六的处决投了蒙日有两个兄弟也是数学教授。蒙日对路易十六的处决投了赞成票。赞成票。 他奴隶般地一般支持他所崇拜的偶像，蒙日竟然愿意接受如他奴隶般地一般支持

40、他所崇拜的偶像，蒙日竟然愿意接受如此可耻的任务：决定哪些艺术财富该作为战利品从意大利运此可耻的任务：决定哪些艺术财富该作为战利品从意大利运回巴黎。回巴黎。 18世纪这些数学家虽然不象牛顿、莱布尼茨那样创立了微积分，但他们在微积分发展史上同样功不可没，假如没有他们的奋力开发与仔细耕耘，牛顿和莱布尼茨草创的微积分领地就不可能那样春色满园，相反也许会变得荒芜凋零。我们不可能逐一介绍18世纪的数学家和他们的工作，以下概要论述这一时期微积分深入发展的几个方面。积分技术与椭圆积分积分技术与椭圆积分 1818世纪的这些数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布世纪的这些数学家们以高度的技巧，将牛顿和莱布尼兹的无限小

41、算法施行到各类不同的函数上，不仅发尼兹的无限小算法施行到各类不同的函数上，不仅发展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现。展了微积分本身，而且作出了许多影响深远的新发现。在这方面，在这方面，积分技术的推进积分技术的推进尤为明显。尤为明显。 约翰约翰伯努利和欧拉在他们的论著中使用伯努利和欧拉在他们的论著中使用变量代换和变量代换和部分分式部分分式等方法求出了许多困难的积分，这些方法已等方法求出了许多困难的积分，这些方法已经成为今天微积分教材中求函数积分的常用方法。经成为今天微积分教材中求函数积分的常用方法。 当当1818世纪的数学家们考虑无理函数的积分时，他们正在世纪的数学家们考虑无理函数的

42、积分时，他们正在打开一片新天地。因为他们发现许多这样的积分不能用打开一片新天地。因为他们发现许多这样的积分不能用已知的初等函数来表示，例如雅可布已知的初等函数来表示，例如雅可布伯努利在求双纽伯努利在求双纽线（极坐标下方程为线（极坐标下方程为 r r 2 2 = = a a2 2 cos2 cos2 ）弧长时，得）弧长时，得到弧长积分：到弧长积分： 在天文学中很重要的椭圆弧长计算则引导到积分：在天文学中很重要的椭圆弧长计算则引导到积分： 欧拉欧拉在在17441744年处理弹性问题也得到积分：年处理弹性问题也得到积分：2440rasdrar2 222 20(1)(1)(1)tk tdtsatk t

43、242 20()()xxx dxaxx 所以这些积分都属于后来所谓的所以这些积分都属于后来所谓的“椭圆积分椭圆积分”范畴，它范畴，它们既不能用代数函数，也不能用通常的初等超越函数们既不能用代数函数，也不能用通常的初等超越函数（如三角函数、对数函数等）表示出来。椭圆积分的一（如三角函数、对数函数等）表示出来。椭圆积分的一般形式是：般形式是： （其中（其中P(P(x x) )是是 x x 的有理函数，的有理函数， R(R(x x) )则是一般的四次多则是一般的四次多项式）勒让德后来将所有的椭圆积分归结为三种基本形项式）勒让德后来将所有的椭圆积分归结为三种基本形式。在式。在1818世纪，世纪，法尼亚

44、诺、欧拉、拉格朗日和勒让德法尼亚诺、欧拉、拉格朗日和勒让德等等都为特殊类型的椭圆积分积累了大量结果。而对都为特殊类型的椭圆积分积累了大量结果。而对椭圆函椭圆函数的一般研究在数的一般研究在1919世纪世纪2020年代被阿贝尔和雅可比分别独年代被阿贝尔和雅可比分别独立地从反演的角度发展为深刻的椭圆函数论。立地从反演的角度发展为深刻的椭圆函数论。()()PxdxRx微积分向多元函数的推广 虽然微积分的创立者已经接触虽然微积分的创立者已经接触到了偏微商和重积分的概念，到了偏微商和重积分的概念，但将微积分算法推广到多元函但将微积分算法推广到多元函数而建立偏导数理论和多重积数而建立偏导数理论和多重积分理论

45、的主要是分理论的主要是1818世纪的数学世纪的数学家。家。 17201720年，尼古拉年，尼古拉伯努利证明伯努利证明了二元函数在一定条件下，对了二元函数在一定条件下，对两个自变量求偏导数的结果与两个自变量求偏导数的结果与求导顺序无关。即相当于：求导顺序无关。即相当于：22( , )( , )f x yf x yx yy x Nicolaus(II) Bernoulli 1687-1759 欧拉在欧拉在17341734年的一篇文章中证明了同样的事实。年的一篇文章中证明了同样的事实。在此基础上，欧拉在一系列的论文中发展了在此基础上，欧拉在一系列的论文中发展了偏偏导数理论导数理论。达朗贝尔达朗贝尔在

46、在17431743年的著作年的著作动力学动力学和和17471747年关于弦振动的研究中，也推进了偏导年关于弦振动的研究中，也推进了偏导数演算。不过当时一般都用同一个记号数演算。不过当时一般都用同一个记号 d d 表示表示通常导数与偏导数，专门的偏导数记号：通常导数与偏导数，专门的偏导数记号： 到到1919世纪世纪4040年代才由年代才由雅可比在其行列式理论雅可比在其行列式理论中中正式创用并逐渐普及，虽然拉格朗日在正式创用并逐渐普及，虽然拉格朗日在17861786年年曾建议使用这一符号。曾建议使用这一符号。xy、 、 牛顿牛顿关于多重积分的几何论述，也在关于多重积分的几何论述，也在1818世纪被

47、世纪被以分析的形式推广以分析的形式推广。17481748年，年，欧拉欧拉用累次积分用累次积分算出了表示一厚度为算出了表示一厚度为 椭圆薄片对其中心正椭圆薄片对其中心正上方一质点的引力的重积分：上方一质点的引力的重积分： 积分区域由椭圆积分区域由椭圆 围成围成 。 到到17701770年左右，欧拉已经能给出计算二重定积年左右，欧拉已经能给出计算二重定积分的一般程序。拉格朗日在关于旋转椭球的引分的一般程序。拉格朗日在关于旋转椭球的引力的著作中，用三重积分表示引力，并开始了力的著作中，用三重积分表示引力，并开始了多重积分变换的研究。多重积分变换的研究。222 3/2()cdxdyccxy22221x

48、yabc无穷级数理论 微积分的发展与无穷级数的研究密不可分。由于泰勒级数提供了将函数展成无穷级数的一般方法。 在18世纪，各种初等函数的级数展开陆续得到，并在解析运算中被普遍用来代表函数而成为微积分的有力工具。 雅各布伯努利在1689-1704年间撰写了5篇关于无穷级数的论文，成为当时这一领域的权威，这些论文的主题也是关于函数的级数表示及其在求函数的微分与积分、求曲线下面积和曲线长等方面的应用。这些构成了雅各布伯努利对微积分算法的重要贡献。 但就级数理论本身而言，其中最具启发性的工作是其关于但就级数理论本身而言，其中最具启发性的工作是其关于调和级数：调和级数：1+1/2+1/3+1/4+1+1

49、/2+1/3+1/4+之和为无穷的证明。之和为无穷的证明。 他首先指出：他首先指出： 这就意味着可将原级数中的项分组并使每一组的和都大于这就意味着可将原级数中的项分组并使每一组的和都大于1 1，于是我们总可，于是我们总可以得到调和级数的有限多项的和，使它大于任何给定的量。以得到调和级数的有限多项的和，使它大于任何给定的量。 调和级数的讨论引起了学者们对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果，调和级数的讨论引起了学者们对发散级数的兴趣并产生了许多重要的结果，特别是一些著名的数值逼近公式。例如，斯特林在特别是一些著名的数值逼近公式。例如，斯特林在17301730年得到一个发散的级数表年得到一个发散的

50、级数表示：示：它相当于 。利用它可以作利用它可以作 n n! !的近似计算。当的近似计算。当 n n 很大时，很大时， 称之为称之为斯特林斯特林公式，虽然这一极限情形是由公式，虽然这一极限情形是由棣莫弗棣莫弗得到的。上述斯特林级数系数中出现的得到的。上述斯特林级数系数中出现的B B1 1 、 B B4 4 、B B6 6 、 、 B B2n 2n 、 叫做叫做贝努利数贝努利数。 关于无穷级数敛散性的研究也开始得到了数学家们的注意。关于无穷级数敛散性的研究也开始得到了数学家们的注意。他首先指出了 ，故有 11211112nnnnnnnnnnn111)(12111222L1223421)2)(12

51、(1431212loglog)21(!logkknkkBnBnBnnnn1)2)(12(121exp2)(!1222kknnkkBnBnennnennn2)(!函数概念的深化 18世纪微积分发展的一个历史性转折，是将函数放到了中心的地位，而以往数学家们都以曲线作为微积分的主要对象。这一转折归功于欧拉，欧拉在无限小分析引论中明确宣布：“数学分析是关于函数的科学”，微积分被看作是建立在微分基础上的函数理论。 首先使用“函数”这一术语的是莱布尼兹。最先将函数概念公式化的是约翰伯努利。欧拉则将伯努利的思想进一步解析化，大大丰富了函数概念的本质。 欧拉明确区分了代数函数与超越函数，还区分了显函数与隐函数

52、、单值函数与多值函数等。通过一些积分问题的求解，一系列新的超越函数被纳入了函数的范畴，如椭圆函数、-函数和-函数： 它们对于函数概念的拓广有很大影响。1001110(1)!( log )( , )(1)(1)nnxmnnnxdxx e dxm nxxdx 此外，受积分计算的激发，已有的初等函此外，受积分计算的激发，已有的初等函数还被推广到了复数领域。数还被推广到了复数领域。17481748年，欧拉年，欧拉再次发现著名的再次发现著名的“棣莫弗公式棣莫弗公式”：(cos (cos i i sin sin ) ) n n = cos = cos n n i i sin sin n n 。它不仅使人们

53、能正确回答什么是复。它不仅使人们能正确回答什么是复数的对数，数的对数，更重要的是揭示了三角函数、更重要的是揭示了三角函数、指数函数和对数函数之间的深刻联系而形指数函数和对数函数之间的深刻联系而形成了初等函数的统一理论成了初等函数的统一理论。Abraham de Moivre微积分严格化的尝试 第二次数学危机第二次数学危机 无穷小：它们既不是有限量，也不是无穷无穷小：它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也不是无。难道它们是量的幽灵小量，但也不是无。难道它们是量的幽灵！瞬时速度瞬时速度2)(ttss222)(2ttttst2)(2ttts自由落体: 2ts 牛顿Isaac Newton (1642

54、-1727)2)(2tttsttts2ttsv20t贝克莱主教Bishop George Berkeley(1685-1753) 贝克莱：它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也不是无。贝克莱：它们既不是有限量，也不是无穷小量，但也不是无。难道它们是量的幽灵！难道它们是量的幽灵！ 最令人震撼的抨击是来自英国哲学家、牧师最令人震撼的抨击是来自英国哲学家、牧师伯克莱伯克莱（G.BerkeleyG.Berkeley，1685-17531685-1753），伯克莱在），伯克莱在17341734年担任克罗因年担任克罗因( (今爱尔兰境内今爱尔兰境内) )主教，同年发表一本小册子主教，同年发表一本小册子分析

55、学家，或分析学家，或致一位不信神的数学家致一位不信神的数学家，副标题中，副标题中“不信神的数学家不信神的数学家”是是指帮助牛顿出版指帮助牛顿出版原理原理的天文学家哈雷（的天文学家哈雷（E.HalleyE.Halley）。伯）。伯克莱在书中认为当时的数学家们以归纳代替演绎，没有为他克莱在书中认为当时的数学家们以归纳代替演绎，没有为他们的方法提供合法性证明。们的方法提供合法性证明。 “ “模糊不清模糊不清”，莱布尼兹的高阶，莱布尼兹的高阶微分微分“缺乏根据缺乏根据”。 他集中攻击了牛顿流数论中关于无限小量的混乱假他集中攻击了牛顿流数论中关于无限小量的混乱假设，例如在首末比方法中，为了求幂设，例如在

56、首末比方法中，为了求幂 x xn n 的流数，牛的流数，牛顿假设顿假设 x x 有一个增量有一个增量o o，并以它去除，并以它去除 x xn n 的增量，得的增量，得 然后又让然后又让 o o “消失消失” ” ，得到，得到 x xn n 的流数的流数 nxnxn n-1-1 ，伯，伯克莱指出这里关于增量克莱指出这里关于增量 o o 的假设前后矛盾，是的假设前后矛盾，是“分分明的诡辩明的诡辩”。 16951695年荷兰数学家纽文蒂（年荷兰数学家纽文蒂（B.NieuwentyjtB.Nieuwentyjt）在其著）在其著作作无限小分析无限小分析中指责牛顿的流数术叙述中指责牛顿的流数术叙述12(1

57、)2nnn nnxxo 贝克莱（贝克莱（1685-17531685-1753）大主教，他精通数学，为了维护）大主教，他精通数学，为了维护宗教利益，他挑出当时牛顿、莱布尼茨理论中一些不宗教利益，他挑出当时牛顿、莱布尼茨理论中一些不严格的地方大肆攻击，比如严格的地方大肆攻击，比如17431743年他写了正题叫年他写了正题叫分分析学者析学者副标题叫副标题叫“致不信神的数学家致不信神的数学家”一书一书 。222.,2,(2)44()4,0,4,.tsttstttssttttt 到底是不是零牛顿在求瞬时速度的过程中这时牛顿令则一会不是零 一会是零 如果一阶流数尚且不可理解，那么二阶、三阶或更高阶呢？如果

58、一阶流数尚且不可理解，那么二阶、三阶或更高阶呢？那能够构想出开端的开端，抑或末尾的末尾的人那能够构想出开端的开端，抑或末尾的末尾的人或许或许其睿智的大脑足以构想这一切，但依我看，绝大部分的人其睿智的大脑足以构想这一切，但依我看，绝大部分的人会发现，想在任何意义上理解它们都是不可能的会发现，想在任何意义上理解它们都是不可能的我想，我想，那些能消化得了二阶流数或三阶流数的人，是不会吞食了那些能消化得了二阶流数或三阶流数的人，是不会吞食了神学观点就要呕吐的。神学观点就要呕吐的。 贝克莱也批评莱布尼茨的方法。在他早期的著作贝克莱也批评莱布尼茨的方法。在他早期的著作人类知人类知识原理识原理（171017

59、10年出版，年出版，17341734年修订版）中，他这样攻击年修订版）中，他这样攻击莱布尼茨的概念：莱布尼茨的概念： 。 有一些著名人物，不满足于知晓一条有限直线可以分成无穷多个部分，还进一步认为每一个这样的无穷小量又可分成无穷多个部分，即二阶无穷小量(dx)2)等，他们总说有无穷小的无穷小的无穷小，没完没了，而另一些人则掌握了低于一阶的无穷小到空无一物。 他继续在分析学者里攻击莱布尼茨： 莱布尼茨及其追随者，在进行微分运算时，竟从不脸红地首先承认，然后又舍弃无穷小量。稍具思考能力的人，在理解时仔细些，在推理时公平些，就不会接受这样的估计 贝克莱用一连串的质问结束了分析学者一书： 那些对宗教如

60、此敏感的数学家们会严谨认真地对待自己的科学吗？他们会不屈从于权威、不盲目轻信和相信那些不可思议的观点吗？他们就没有属于自己的秘密，甚至抵触和矛盾吗？ 许多数学家回击了贝克莱的批评，但没人能成功地使微积分严密化。在这方面，欧拉做出了重大的努力。欧拉拒绝把几何作为微积分的基础，他试图纯粹形式地研究函数，即从它们的代数（分析）表达式来论证。他否定了莱布尼茨的无穷小概念，即所谓不等于零却小于任意一个给定值的数。 在欧拉的微分学原理，1755年出版的一部18世纪的微分学经典著作中，他论证道： 无疑，任何一个量可减小到完全消失的程度。但是，一个无穷小量无非是一个正在消失的量，因为它本身就等于0，这与无穷小