2020版高考数学大一轮复习-等比数列及其前n项和新题培优练(文)(含解析)新人教A版

1、第3讲等比数列及其前n项和能 高致演嫌,分层娶畿基础题组练1 .已知an为等比数列且满足 a6-a2= 30, a3a = 3,则数列an的前5项和9=（）A. 15B. 31C. 40D. 121aiq5 aiq= 30, 解析：选 B.因为an为等比数列且满足 a6-a2=30, a3日=3,所以可.5,ia1=1,1 2, r 一、， .一得S5= = 31,数列 an的前5项和S5= 31.q = 2,122. （2019 辽宁五校联考）各项为正数的等比数列an中，a4与a14的等比中项为2y2,则log 2a7 + log 2a 的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 4解析：选 C

2、.由题意得a4a14= (2小)2=8,由等比数列的性质，得a4a14= a7a11 = 8,所以log 2a7+log 2a* = log 2( a7a1) = log 28= 3,故选 C.3.记等比数列an的刖n项积为Tn(nCN),已知amamn1 2am= 0,且丁2 1=128,则m 的值为()A. 4B. 7C. 10D. 12解析：选 A.因为an是等比数列，所以 am- 1am+1= a：又 am 1am+ 1-2am= 0,则 am 2am= 0, 所以am= 2, am= 0(舍).由等比数列的性质可知前 2m- 1项的积T amm，即22 1=128, 故m= 4.选A

3、.4.在正项等比数列an中，已知 aa2a3=4, a4a5a6= 12, an 1anan + 1 = 324,则 n 等于()A. 12B. 13C. 14D. 15解析：选 C.因为数列an是各项均为正数的等比数列，所以aa2a3, a4a5a6, a7a8a9,a1cana12,也成等比数列.一，、人 b2 12不fev b1 = a132a3, b?= a4a5a6,则么 比 q = , = 3.b14所以 bm= 4X3 1.令 bm= 324,即 4X3。1=324,解得m 5,所以 bs= 324,即 ai3a14315= 324.所以n=14.5 .已知 S是等比数列an的前

4、n项和，S, S9, 4成等差数列，32+35=4,则38=解析：因为S3, S9, S6成等差数列，所以公比qi2 (1 q9) =1 q1-q31-q61-q-8 -2q6=1 + q3,所以 q3=-2,故 比 1,11 2 =4,解得 3?= 8,故 38= 8X - = 2.答案：26 . （2018 高考全国卷I ）记 S为数列3n的前 n项和.若 S=23n+1,则 & =解析：法一：因为 S= 23n+1,所以当n=1时，31=231+1,解得31 = 1;当 n=2 时，31+32=232+1,解得 32= - 2;当 n=3 时，31+ 32+ 33= 233+ 1,解得

5、33= 4;当 n=4 时，31+ 32+ 33+ 34= 234+ 1,解得 34= 8；当 n=5 时，31+32+ 33+ 34+ 35= 235+ 1,解得 35= 16;当 n = 6 时，31+32+33+ 34+ 35 + 36= 236 + 1,解得 36= 32;所以 S6=- 1-2-4-8-16-32=- 63.法二：因为 Sn=23n + 1,所以当 n=1 时，31=231 + 1,解得 31=1,当 n2 时，3n= Sn一 S1-1 = 23n+ 1 一(2 3n 1+ 1),所以3n= 23n-1 ,所以数列3n是以一 1为首项，2为公比的等比一 一一一 一1X

6、 ( 1 26)数列，所以 3n=-2n 1,所以 &=二一-=-63.1 - 2答案：637. （2019 昆明市诊断测试）已知数列3n是等比数列，公比 qv 1,前n项和为S,若32 =2, S3 = 7.（1）求3n的通项公式；（2）设rniC Z,若Svm恒成立，求 m的最小值.31q= 2解：（1）由 a=2, $= 7 得 +2 7，31 = 431 = 1解得 1或 （舍去）.q=2q=21 n 11 n 3所以 3n = 4 .2= 2(2)由可知，$=iai (1 qn)4 2 2T=S1-21-q11 -2n 0,所以多单调递增.又 &=7,所以当 n4 时，SC (7 ,

7、 8).又Sv m值成立，mC Z,所以m的最小值为8.8. (2019 南昌市第一次模拟测试卷)已知等比数列an的前n项和为且满足& = 2a4 1, S3 = 2a3 1.(1)求an的通项公式；(2)若数列bn满足bn=S(nC N),求数列bn的前n项和Tn.解：(1)设an的公比为 q,由 3S3=a4得，2a4 2a3=a4, , a4 ,所以一=2,所以q=2.a3又因为S3= 2a3 1,所以 a+ 2a1 + 4a1 = 8a1 1,所以a1= 1,所以an=2nT(2)由(1)知 a1 = 1, q=2,则nSn= 2n11 -212所以 bn=2n-1.Tn=b+b2+

8、bn=2+22+ 2n n =2 (1 2n)12n+ 1-n= 2一2 一 n.综合题组练1 .设an是等比数列，S是an的前n项和，对任意正整数n,有an+2an+1 + an+2=0.又a = 2,则S01的值为()A. 2B. 200C. -2D. 0解析：选A.设等比数列的公比为 q.由an+2an+1 + an+2=0,2得 an(1 + 2q + q ) = 0.因为 anw0,所以 1 + 2q + q = 0,解得q=- 1,所以S01=a1=2.故选A.2. (应用型)(2019 安徽池州模拟)在增删算法统宗中有这样一则故事：“三百七十 八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一

9、半，六朝才得到其关. 意思是某人要走三百七十 八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程.则下列说法错误的是()A.此人第二天走了九十六里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里1C.此人第三天走的路程占全程的 -8D.此人后三天共走了四十二里路解析：选C.记每天走的路程里数为 an(n=l, 2, 3,，6),一, 一 ，,，1 , 由题意知an是公比为2的等比数列，1a 1 T由 $ = 378,得-=378,1-2一 .1解得 a=192,所以 22=192* 2 = 96,此人第一天走

10、的路程比后五天走的路程多192 (378 192) = 6(里)，1 a3=192x 4 = 48,48 1一,378 8前3天走的路程为 192+96+ 48= 336（里）,则后3天走的路程为378 336= 42里，故选C.3. （2019 郑州一测）已知数列an满足 log 2an+1 = 1 + log 2d（nC N*）,且 a + az+as+ a10= 1,贝U log 2（ a101 + a+ ano） =.解析：因为 log 2an+1= 1 + log 2an,可得 log 2an+1= log 22日,所以an+1 = 2an,所以数列an是以a1为首项，2为公比的等比

11、数列，又 a1 + a2+ ao=1,所以 a101+a102+ a*o= （a1 + a2+ a1o）X2 = 2 ,所以log 2（ a101 + a102-F + an0） =log 22100= 100.答案：1004. （综合型）已知a-1, a+1, a+5三个数成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列an的前三项，则能使不等式a1+a2+!成立的正整数n的最大值 为.解析：因为a- 1, a+1, a+5三个数成等比数列，所以(a+ 1) 2= (a- 1)( a + 5),所以a =3,倒数重新排列后恰好为递增的等比数列an的前三项，则3的前三项为-, 8 4 2!是以8为

12、首项，2为公比的等比数所以an是首项为:公比为2的等比数列，数列81列，则不等式ai + a2+ anW+ + 一等价于一aia2an(1 2n)18 1 一2n厂，整理得2n27,1-2所以nw7, nC N,即n的最大值为7.答案：75. (2019 湖北省五校联考)已知数列an是等差数列，a2=6,前n项和为S, bn是等 比数列，b2= 2, a1b3= 12, &+b1=19.求an, &的通项公式；(2)求数列bncos( an% )的前n项和Tn.解：(1)因为数列an是等差数列，a2=6,所以 S?+ b1 = 3a2+ b1= 18+ b1= 19,所以 b1=1,因为b2=2,数列bn是等比数列，所以 bn=2n 1.所以b3= 4,因为a1b3= 12,所以a1 = 3,因为32=6,数列an是等差数列，所以an= 3n.(2)由(1)得，令 C=bnCOS(anTt )=( 1)n2nT,所以 G+1 = ( 1)n+12n,所以 r= 2,又 C = 一 1,Cn所以数列bncos(anTt)是以一1为首项、一2为公比的等比数列,所以Tn =-1X1 - (- 2