特殊四边形经典例题(有详细讲解)

1、特殊四边形经典例题1 （ 2012?金山区二模）在下列命题中，是真命题的是（）A 两 条对角线相等的四边形是矩形 B 两 条对角线互相垂直的四边形是菱形 C 两 条对角线互相平分的四边形是平行四边形 D 两 条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形2 （ 2012?）下列四个命题： 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； 顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形； 正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形其中真命题共有（）A 1 个B 2个C 3个D 4个3已知，在平面直角坐标系中放置了5 个如图所示的正方形（用阴影表示），点B1 在 y 轴上，点C

2、l、El、E2、C2、E3、E4、C3均在x轴正半轴上.若已知正方形 AlBlClDl的边长 为 1, /B1C1O=60°,且 B1C1/B2c2/ B3c3,则点 A3的坐标是（）A （ ， ）B （ ， ）C （ ， ）D （ ， ）4下列命题中正确的是（）A 对 角线相互垂直的平行四边形是矩形B 对 角线相等的平行四边形是菱形C 对 角线相等的梯形是等腰梯形D 对 角线相等的四边形是平行四边形5如图，在平行四边形ABCD 中，E， F 分别是边AD ， BC 的中点，AC 分别交 BE， DF于点 M ， N 给出下列结论： 4ABM ACDN ; AM=AC ;DN=2NF

3、 ;S四边形bfnm=S平行四边形abcd 其中正确的结论有（）A 1 个B 2个C 3个D 4个6 如图，已知正方形ABCD 中， 点 E、 N 是对角线BD 上两动点，过这两个动点作矩形EFCH ，MNQP ,分别接于 4BCD和4ABD ,设矩形 EFCH , MNQP的周长分别为 mi, m2,则ml, m2的大小关系为（）A . mi > m2B . mi < m2C. mi=m2D. mi, m2的大小不确定7如图，已知AD 是三角形纸片ABC 的高，将纸片沿直线EF 折叠，使点A 与点 D 重合，给出下列判断： EF 是 ABC 的中位线； DEF 的周长等于 ABC

4、 周长的一半； 若四边形AEDF 是菱形，则AB=AC ；若/BAC是直角，则四边形 AEDF是矩形，其中正确的是（）A B C D 8 .如图，已知 A1, A2, A3, -An是x轴上的点，且 OA仁A1A2=A2A3=An-lAn=1 ,分别 过点Ai, A2, A3, An作x轴的垂线交反比例函数 y= (x>0)的图象于点 Bl, B2, B3, - Bn, 过点B2作B2P1LA1B1于点P1,过点B3作B3P2LA2B2于点P2，记B1P1B2的面积为 S1, B2P2B3 的面积为 S2，BnPnBn+1 的面积为 Sn,贝U S1+S2+S3+ +Sn=.9 . (2

5、013?历城区三模)如图，在斜边长为1的等腰直角三角形 OAB中，作接正方形A1B1D1C1; 在等腰直角三角形 OA1B1中作接正方形 A2B2D2c2；在等腰直角三角形 OA2B2中作接正方 形A3B3D3c3;；依次做下去，则第 n个正方形AnBnDnCn的边长是.10 .已知如图，在线段BG同侧作正方形 ABCD和正方形 CEFG,其中BG=10 , BC: CG=2 : 3,贝U Saecg=, Saaeg=.25.如图，在 RtAABC中，/C=90°, AC=6 , BC=8,动点P从点A开始，沿边 AC向点C 以每秒1个单位长度的速度运动，动点 D从点A开始，沿边AB

6、向点B以每秒个单位长度 的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PDXAC,动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结PQ.点P, D, Q分别从点A, C同时出发，当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒(t涮).(1)当t为何值时，四边形 BQPD的面积为4ABC面积的？(2)是否存在t的值，使四边形 PDBQ为平行四边形？若存在，求出 t的值；若不存在， 说明理由；(3)是否存在t的值，使四边形 PDBQ为菱形？若存在，求出 t的值；若不存在，说明理 由，并探究如何改变点 Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点 Q

7、的速度.11.邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余 下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形.如图1,矩形ABCD中，若AB=1 , AD=2 ,则矩形 ABCD是1阶矩形.探究：(1)两边分别是2和3的矩形是 阶矩形；(2)小聪为了剪去一个正方形， 进行如下的操作：如图2,把矩形ABCD沿着BE折叠(点 E在AD上)，使点A落在BC的点F处，得到四边形 ABFE ,请证明四边形 ABFE是正方 形.(3)操作、计算： 已知矩形的两边分别是 2, a (a>2)

8、,而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意 图，并在示意图下方直接写出a的值；已知矩形的两邻边长为 a, b, (a>b),且满足a=5b+m, b=4m .请直接写出矩形是几阶 矩形.12. (2009?)如图1,在等腰梯形 ABCD中，AD / BC , E是AB的中点，过点E作EF/ BC 交 CD 于点 F. AB=4 , BC=6 , / B=60 度.(1)求点E到BC的距离；(2)点P为线段 EF上的一个动点，过 P作PMLEF交BC于点M ,过 M作MN /AB交 折线ADC于点N,连接PN,设EP=x.当点N在线段AD上时(如图2), APMN的形状是否发生改变？若

9、不变，求出 4PMN 的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3）,是否存在点P,使4PMN为等腰三角形？若存在，请 求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.DC 3AB上一点，且 AE=2cm ;点F为AD上一动点，BC上，点G在梯形ABCD的部或边 CD上，设以EF为边作菱形EFGH ,且点H落在边AF=x(1)(2) 求出直接写出腰CD的长与/ DCB的度数； 在点F运动过程中，是否存在某个 x的值, x的值；若不存在，请说明理由.使得四边形 EFGH为正方形？若存在，请x的值.B BC, AB ±CB, AB=6cm , BC=14cm , AD=8cm

10、，点 E 为答案详解1 （ 2012?金山区二模）在下列命题中，是真命题的是（）A 两 条对角线相等的四边形是矩形B 两 条对角线互相垂直的四边形是菱形C 两 条对角线互相平分的四边形是平行四边形D 两 条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 解答： 故选C2 （ 2012?）下列四个命题： 一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形； 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； 顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形； 正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形其中真命题共有（）A 1 个B 2个C 3个D 4个解答： 解： 一组对边平行，且一组对角相等，则可以判定另外一组对边也平行，所以该四边

11、形是平行四边形，故该命题正确； 对角线互相垂直且相等的四边形不一定是正方形，也可以是普通的四边形（例如筝形，筝形的对角线垂直但不相等，不是正方形），故该命题错误； 因为矩形的对角线相等，所以连接矩形的中点后都是对角线的中位线，所以四边 相等，所以是菱形，故该命题正确； 正五边形只是轴对称图形不是中心对称图形，故该命题错误； 所以正确的命题个数为2 个，故选 B 3已知，在平面直角坐标系中放置了5 个如图所示的正方形（用阴影表示），点 B1 在 y轴上，点Cl、E1、E2、C2、E3、E4、C3均在x轴正半轴上.若已知正方形A1B1C1D1的边长为 1, /BiCiO=60°,且 B1

12、C1 / B2c2/ B3c3,则点 A3 的坐标是（）A （ ， ）B （ ， ）C （ ， ）D （ ， ）考点： 正 方形的性质；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质专题： 规 律型分析：根据两直线平行，同位角相等可得ZB3C3O=Z B2C2O=Z B1C1O=60°,然后解直角三角形求出 OCi、C1E、E1E2、E2c2、C2E3、E3E4、E4c3,再求出 B3c3,过点 A3延长 正方形的边交x轴于M ,过点A3作A3N，x轴于N,先求出A3M ,再解直角三角形 求出A3N、c3N,然后求出ON,再根据点A3在第一象限写出坐标即可.解答：解：如图，.B1c1/B2c

13、2/ B3c3, /B3c3O=/B2c2O=/B1c1O=60°,二.正方形A 1B1c1D1 的边长为1，.1=>1 = , c1E1=M = , E1E2=M=, E2c2= >= , c2E3=E2B2=, E3E4=#，E4c3= >=, . B3c3=2E4c3=2>=,过点 A3延长正方形的边交 x轴于M,过点A3作A3N，x轴于 N ,则 A3M=+ >= , A3N=冷,c3M=冷,c3N= （X2） - =, ON=+ ,二+, ,点A3在第一象限，.,点A3的坐标是（+,）.故选c.点评： 本 题考查了正方形的四条边都相等性质，解含

14、30°角的直角三角形，依次求出x 轴上各线段的长度是解题的关键，难点在于过点A 3作辅助线构造出含60°角的直角三角形4下列命题中正确的是（）A 对 角线相互垂直的平行四边形是矩形B 对 角线相等的平行四边形是菱形C 对 角线相等的梯形是等腰梯形D 对 角线相等的四边形是平行四边形考点 ： 命题与定理分析： 根据矩形、菱形、等腰梯形、平行四边形的判定方法对各选项分析判断后利用排除法求解解答：解：A、对角线相互垂直的平行四边形是菱形，故本选项错误；B 、对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项错误；C、对角线相等的梯形是等腰梯形，正确，故本选项正确；D 、对角线相等的四边形形状

15、不确定，故本选项错误故选C点评： 本题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理5如图，在平行四边形ABCD 中，E， F 分别是边AD ， BC 的中点，AC 分别交BE， DF于点M , N.给出下列结论： 4ABM ACDN AM=AC ;DN=2NF ;S四边形BFNM=S 平行四边形ABCD 其中正确的结论有（）A 1 个B 2 个C 3 个D 4 个考点 ： 相 似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质分析：先结合平行四边形性质，根据 ASA得出ABM ACDN ,从而得出DN=BM ,AM=CN

16、 ；再由三角形中位线定理、相似三角形的对应边成比例得出CN=MN ，BM=DN=2NF ；由S?BFDE=S?ABCD , S四边形BFNM =S?BFDE,易证得 S四边形BFNM=S平行四边形ABCD . 解答：解：四边形ABCD是平行四边形，AD=BC , AB=CD，且AD / BC AB / CD,/ BAM= / DCN ,. E, F分别是边AD, BC的中点，DE=BF,二.四边形BFDE是平行四边形， .BE / DF, . / AMB= / EMN= / FNM= / CND ,在 MBM ACDN , .ABM ACDN （AAS）,故 正确；，AM=CN , BM=DN

17、 ,ZAMB= / DNC= / FNA , .NF/BM, F为BC的中点，NF为三角形 BCM 的中位线，BM=DN=2NF , CN=MN=AM ， 1. AM=AC , DN=2NF ,故 正确；: S?BFDE=S?ABCD , S 四边形 BFNM =S?BFDE , 1- S 四边形BFNM =S 平行四边形ABCD 故 正确；综上所述，正确的结论是： ，共有 4 个故选D 点评： 本 题考查全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及平行四边形的判定与性质注意，三角形中位线定理的应用6 如图，已知正方形ABCD 中， 点 E、 N 是对角线BD 上两动点，过这两个动点作矩

18、形EFCH，MNQP ,分别接于 4BCD和4ABD ,设矩形 EFCH , MNQP的周长分别为 mi, m2,则mi, m2的大小关系为（）A . mi > m2B. mi< m2C. mi=m2D. mi, m2的大小不确定考点 ： 正 方形的性质；等腰直角三角形；矩形的性质分析：根据正方形的对角线平分一组对角可得/ ABD= / ADB= / CBD= / CDB=45 °,然后求出MN=BN , PQ=QD, BF=EF, EH=DH ,再设正方形的边长为 a,然后用a表示出 mi， m 2，进行判断即可解答：解：二.点E、N是正方形ABCD对角线BD上两动点，

19、/ ABD= / ADB= / CBD= / CDB=45 °,.四边形EFCH和四边形 MNQP是矩形，.BMN , APQD, BEF , DEH是等 腰直角三角形，.MN=BN , PQ=QD , BF=EF, EH=DH ,设正方形的边长为 a,贝U BD=a ,所以 mi=EF+FC+CH+EH=BE+FC+CH+DH=BC+CD=2a ，m2=MN+NQ+PQ+PM=BN+NQ+QD+PM=BD+PM=a+PM, / PM 的长度无法确定， 2a与a+PM的大小无法确定，.mi, m2的大小不确定.故选 D.点评： 本 题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩

20、形的性质，用正方形ABCD的边长表示出 mi, m2是解题的关键.7如图，已知AD 是三角形纸片ABC 的高，将纸片沿直线EF 折叠，使点A 与点 D 重合，给出下列判断： EF 是 ABC 的中位线； DEF 的周长等于 ABC 周长的一半； 若四边形AEDF 是菱形，则AB=AC ；若/BAC是直角，则四边形 AEDF是矩形，其中正确的是（）A B C D 考点 ： 翻折变换（折叠问题）；三角形中位线定理；菱形的性质；矩形的判定分析： 根据折叠可得EF 是 AD 的垂直平分线，再加上条件AD 是三角形纸片ABC 的高可以证明EF/BC,进而可得 AEFsabc,从而得到=,进而得到 EF是

21、4ABC的中位线；再根据三角形的中位线定理可判断出 AEF 的周长是 ABC 的一半，进而得到 DEF 的周长等于 ABC 周长的一半；根据三角形中位线定理可得AE=AB ，AF=AC ，若四边形AEDF 是菱形则AE=AF ，即可得到AB=AC 解答：解：AD是4ABC的高，. .AD ± BC,/ ADC=90 °,根据折叠可得： EF是AD的垂直平分线，AO=DO=AD , AD ± EF, . ./AOF=90 °, . . / AOF= / ADC=90 °, . . EF/ BC , AAEF AABC ,，= ,. EF 是 AB

22、C 的中位线，故 正确；v EF >AABC的中位线，.AEF的周长是ABC的一半，根据折叠可得 AEF0DEF,.DEF的周长 等于4ABC周长的一半，故 正确；EF>AABC的中位线，AE=AB , AF=AC , 若四边形AEDF 是菱形，则AE=AF , AB=AC ,故正确；根据折叠只能证明 / BAC= Z EDF=90 °,不能确 定/AED和/AFD的度数，故 错误；故选：A.点评：此题主要考查了图形的翻折变换，以及三角形中位线的性质，关键是掌握三角形中 位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.8 .如图，已知 A1, A2, A3,

23、-An是x轴上的点，且 OA仁A1A2=A2A3=An-lAn=1 ,分别 过点Ai,A2,A3,An作x轴的垂线交反比例函数y=(x>0)的图象于点Bl,B2,B3, -Bn,过点B2作B2P1LA1B1于点P1,过点B3作B3P2LA2B2于点P2，记B1P1B2的面积为 S1, B2P2B3 的面积为 S2，BnPnBn+1 的面积为 Sn,贝U S1+S2+S3+ +Sn=.考点：反比例函数综合题.专题：规律型.分析：由OA1=A1A2=A2A3=-=An-1An=1可知B1点的坐标为(1, y1) , B2点的坐标为(2, y2), B3点的坐标为(3, y3)-Bn点的坐标为

24、(n, yn),把x=1 , x=2 , x=3代入反比 例函数的解析式即可求出y1、y2、y3的值，再由三角形的面积公式可得出S1、S2、S3Sn的值，故可得出结论.解答：解：. OA1=A1A2=A2A3=- =An 1An=1 ,设 B1 (1, y1) , B2 (2, y2), B3(3, y3), - Bn ( n, yn) , / B1, B2, B3.Bn 在反 比例函数 y= (x>0)的图象上，1. y1 = 1 , y2= , y3= -yn=, ，S1 = MX (y1 - y2) = X1 X (1 -) = (1 -)；S2=mx (y2y3)=x(-) ；

25、S3=MX (y3y4)=x(-) ； - Sn=(一), S1+S2+S3+1+Sn= (1 - +- +- +-+-)=.故答案为：.点评：本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数 的解析式是解答此题的关键.9 . (2013?历城区三模)如图，在斜边长为1的等腰直角三角形 OAB中，作接正方形A1B1D1C1; 在等腰直角三角形 OA1B1中作接正方形 A2B2D2c2;在等腰直角三角形 OA2B2中作接正方 形A3B3D3c3;；依次做下去，则第 n个正方形AnBnDnCn的边长是.考点：相似三角形的判定与性质；正方形的性质.专题：规律型.分析：过。作

26、OM垂直于AB ,交AB于点M ,交A1B1于点N,由三角形 OAB与三角形 OA1B1都为等腰直角三角形，得到M为AB的中点，N为A1B1的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出OM为AB的一半，由AB=1求出OM的长，再由ON为A1B1的一半，即为 MN的一半，可得出 ON与OM的比值，求出 MN的 长，即为第1个正方形的边长，同理求出第 2个正方形的边长，依此类推即可得到第 n个正方形的边长.解答：解：过。作OM XAB,交AB于点M,交A1B1于点N,如图所示： A1B1/AB ,ON XA1B1, 二 OAB为斜边为1的等腰直角三角形，OM=AB=,又OA1B1 为等腰

27、直角三角形，. . ON=A 1B1=MN ,.ON: OM=1 : 3, 第1个正方形的边长 A1C1=MN=OM=冷，同理第2个正方形的 边长A2c2=ON=冷，则第n个正方形 AnBnDnCn的边长为：.故答案为：.点评：此题考查了等腰直角三角形的性质，以及正方形的性质，属于一道规律型的题，熟练 掌握等腰直角三角形的性质是解本题的关键.10.已知如图，在线段BG同侧作正方形 ABCD和正方形 CEFG,其中BG=10 , BC: CG=2 : 3,贝U Saecg=_18, Saaeg=_18考点 ： 正 方形的性质分析：求出BC, CG,根据三角形面积公式和矩形的面积公式求出即可.解答

28、：解：. BG=10 , BC: CG=2: 3, BC=4 , CG=6 ,二四边形 ABCD 和四边形 EFGC 是正方形，. BC=AB=4 ,FG=EF=CG=6，延长 FE 和 BA 交于 N,二,四边形 ABCD 和四边形 EFGC 是正方形，/ NED= / EDA= / DAN=90 °, 四边形 BNFG 是矩形，. . EN=BC=4 , NF=BG=10 , BN=CF=6 ，-1 Saecg= >CG >FG= >6>6=18, Saaeg=S 矩形 nbgf Saabg Saefg Saane =10X6- >4X10- >

29、;6>6- X （6-4） M=18,故答案为：18, 18.点评： 本 题考查了正方形性质，矩形性质，三角形面积的应用，主要考查学生的计算能力11.如图，在 RtA ABC中，/C=90°, AC=6, BC=8,动点P从点A开始，沿边 AC向点C 以每秒 1 个单位长度的速度运动，动点D 从点 A 开始，沿边AB 向点 B 以每秒个单位长度的速度运动，且恰好能始终保持连结两动点的直线PDXAC,动点Q从点C开始，沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，连结 PQ.点P, D, Q分别从点A, C同时出发， 当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（

30、t涮）.（ 1 ）当 t 为何值时，四边形BQPD 的面积为 ABC 面积的？（ 2）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；（ 3）是否存在t 的值，使四边形PDBQ 为菱形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q 的速度（匀速运动），使四边形PDBQ 在某一时刻为菱形，求点Q的速度考点： 四 边形综合题分析：（ 1）首先表示出四边形面积以及求出三角形面积，进而解方程得出即可；（2）易得APDsacb,即可求得 AD与BD的长，由BQ / DP,可得当 BQ=DP时，四边形PDBQ 是平行四边形；（3）利用（2）中所求

31、，即可求得此时 DP与BD的长，由DP田D,可判定？PDBQ不能为菱形；然后设点Q 的速度为每秒v 个单位长度，由要使四边形PDBQ 为菱形，则 PD=BD=BQ ，列方程即可求得答案解答：解：（1）直线PDLAC, BC / PD,二.四边形BQPD的面积为：（BQ+DP ）汨C= （8-2t+t） X （6-t） AABC 面积为：>AC >BC= >6 >8=24 ,二.四边形 BQPD 的面积为 ABC 面积的时：X24= （8-t） X （6-t）,解得：t1=9+3 , t2=9-3,二当其中一点到 达端点时，另两个点也随之停止运动，.t，t1=9+3不合题

32、意舍去，当t为9-3时，四边形BQPD的面积为 ABC面 积的；（2）存在，在 RtAABC 中，/C=90°, AC=6 , BC=8 , . AB=10PD/ BC, AAPDAACB ,. .二,即=,AD=t , BD=AB - AD=10 - t, BQ/ DP, 当 BQ=DP 时，四边形PDBQ是平行四边形，即 8 - 2t=,解得：t=.存在t=时，使四边形 PDBQ为平行四边 形；(3)不存在，理由：当 t=时，PD=冷，BD=10- >=6,，DP田D,，？PDBQ不能为菱形.设点Q的速度为每秒 v个单位长度，则 BQ=8-vt, PD=t, BD=10 -

33、 t,要使四边形PDBQ 为菱形，贝U PD=BD=BQ ,当 PD=BD 时，即 t=10 - t,解得：t=当 PD=BQ , t=时，即t=8 - v,解得：v=当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形 PDBQ是菱形.点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质.此题综合性很强 难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用.12.邻边不相等的矩形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形中减去一个正方形，又余下一个四边形，称为第二次操作；，以此类推，若第n次操作后余下的四边形是正方形，则称原矩形是n阶矩形.如图1,矩形

34、ABCD中，若AB=1 , AD=2 ,则矩形 ABCD是1阶矩形.探究：(1)两边分别是2和3的矩形是 2 阶矩形;(2)小聪为了剪去一个正方形，进行如下的操作：如图2,把矩形ABCD沿着BE折叠(点E在AD上)，使点A落在BC的点F处，得到四边形 ABFE .请证明四边形 ABFE是正方形.(3)操作、计算： 已知矩形的两边分别是 2, a (a>2),而且它是3阶矩形，请画出此矩形及裁剪线的示意图，并在示意图下方直接写出a的值；已知矩形的两邻边长为 a, b, (a>b),且满足a=5b+m, b=4m .请直接写出矩形是几阶矩形.考点：四边形综合题.分析：(1)通过操作画图

35、可以得出第一次应该减去是一个边长为2的正方形，就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作减去一个边长为1的正方形则余下的就是一个边长为1正方形，故得出结论 2阶矩形；(2)由折纸可以得出 AB=BF ,AE=FE ,从而得出 AEB且 FEB,就可以得出 AE=FE , / BFE=/A=90°,就有四边形 ABFE是矩形，就有矩形 ABFE为正方形；(3) 由n阶矩形的意义通过画图就可以求出a的值；先由条件可以表示出 a=21m,然后通过操作画出图形就可以求出结论.解答：解：(1)由题意，得，第一次操作应该减去一个边长为2的正方形，就剩下一个长为2宽为1的矩形，再进行第二次操作

36、减去一个边长为1的正方形则余下的就是一个边长为 1正方形.共操作2次.这个矩形是2阶矩形.故答案为：2；(2) ,4AEB 与4FEB 关于直线 BE 成轴对称，/. AAEBAFEB,AE=FE , / BFE=Z A.四边形 ABCD 是矩形，.1. Z A=Z ABF=90 °,/ A= / ABF= / BFE=90 °,二四边形 ABFE为矩形. AE=FE ,矩形ABFE为正方形；(3)由题意，得如图1,却a 的值=8,，a的值=5,同理可得出：a=或，a的值为8或5或或；由题意，得a=5b+m, b=4m, ，a=21m,如图9.I* 1IH9.a- 6 a

37、* i1* II邸.是8阶矩形.点评：本题考查了矩形的性质和正方形的性质的运用，轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用 分类讨论思想在几何题目中的运用，解答时根据题意正确画出图形是关键.13. (2009?)如图1,在等腰梯形 ABCD中，AD / BC, E是AB的中点，过点E作EF/ BC交 CD 于点 F. AB=4 , BC=6 , / B=60 度.(1)求点E到BC的距离；(2)点P为线段 EF上的一个动点，过 P作PMLEF交BC于点M ,过 M作MN /AB交折线ADC于点N,连接PN,设EP=x.当点N在线段AD上时(如图2), APMN的形状是否发生改变？若不变，

38、求出 4PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时(如图3),是否存在点P,使4PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由.考点：等腰梯形的性质；等腰三角形的判定；勾股定理；三角形中位线定理.专题：压轴题.分析：(1)可通过构建直角三角形然后运用勾股定理求解.(2)4PMN的形状不会变化，可通过做 EGXBC于G,不难得出PM=EG ,这样 就能在三角形 BEG中求出EG的值，也就求出了 PM的值，如果做 PHXMN于H, PH是三角形 PMH和PHN的公共边，在直角三角形 PHM中，有PM的值，/ PMN 的度数也不难求出，那么就能求出MH和PH

39、的值，也就求出 HN和PN的值了，有了 PN, PM, MN的值，就能求出三角形 MPN的周长了.本题分两种情况进行讨论：1、N在CD的DF段时，PM=PN .这种情况同 的计算方法.2、N在CD的CF段时，又分两种情况进行讨论MP=MN时，MC=MN=MP ,这样有了 MC的值，x也就能求出来了NP=NM 时，我们不难得出 / PMN=120 °,又因为 /MNC=60 °因此 / PNM+ / MNC=180 度.这样点P与F就重合了， 4PMC即这是个直角三角形，然后根据三角函数求出 MC的值，然后就能求出 x 了.综合上面的分析把 PMC是等腰三角形的情况找出来就行

40、了.解答：解：（1）如图1,过点E作EGLBC于点G-E为AB的中点，BE=AB=2在RtA EBG 中，/ B=60 °,/ BEG=30 度.BG=BE=1 , EG+ E 到 BC 的距离为（2）当点N在线段AD上运动时，4PMN的形状不发生改变.1. PMXEF, EGXEF, .PM/EG,又 EF/BC, 二.四边形 EPMG 为矩形，EP=GM , PM=EG=同理 MN=AB=4 .如图 2,过点 P 作 PH, MN 于 H, / MN / AB ,/ NMC= / B=60 °,又/PMC=90 °, Z PMH= Z PMC - Z NMC=

41、30 °. . . PH=PM=MH=PM ?cos30 =则 NH=MN - MH=4 -在 RtAPNH 中，PN= .-.PMN 的周长 =PM+PN+MN=当点N在线段DC上运动时，4PMN的形状发生改变，但 4MNC恒为等边三角当 PM=PN 时，如图 3,作 PR± MN 于 R,则 MR=NR ,类似,PM= , / PMR=30 °, MR=PMcos30 =>=,MN=2MR=3 . . MNC 是等边三角形，. MC=MN=3 ,此时，x=EP=GM=BC - BG - MC=6 - 1 - 3=2,当 MP=MN 时，/ EG= , .

42、 MP=MN=, / B=Z C=60 °,AMNC 是等边三角形，MC=MN=MP=（如图 4）,此时，x=EP=GM=6 - 1 -, 当 NP=NM 时，如图 5, /NPM=/PMN=30 度.贝U Z PNM=120 °,又/MNC=60 °,Z PNM+ ZMNC=180度.因此点 P与F重合， PMC为直角三角 形.MC=PM ?tan30 =1 .此时，x=EP=GM=6 -1-1=4.综上所述，当x=2或4或（5 -）时， PMN为等腰三角形.点评：本题综合考查了等腰梯形，等腰直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识点的应用.14.如图，梯形 ABCD 中 AD / BC, AB