2.3.1直线与平面垂直的判定学案(人教A版必修2)

1、§2.3直线、平面垂直的判定及其性质23.1直线与平面垂直的判定自主学习 学习目标1掌握直线与平面垂直的定义2掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用定理证明直线与平面垂直3知道斜线在平面上的射影的概念，斜线与平面所成角的概念 自学导引1如果直线l与平面内的_一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作_直线l叫做平面的_，平面叫做直线l的_2直线与平面垂直的判定定理一条直线与一个平面内的_都垂直，则该直线与此平面垂直用符号表示为_3一条直线和平面相交，但不和平面垂直，这条直线叫做平面的斜线，斜线和平面的交点叫做_过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做_平面

2、的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做_4直线与平面所成的角的取值范围是_对点讲练知识点一线面垂直的判定例1S是直角ABC所在平面外一点，且SASBSC，点D为斜边AC的中点(1)求证：SD平面ABC；(2)若ABBC，求证：BD面SAC.点评(1)线面垂直的判定定理是判定线面垂直的最常用思路；线面垂直的定义，给出了线面垂直的必备条件，作为直线与平面垂直的判定并不实用(2)证明线线(或线面)垂直时，除了利用平面几何知识(勾股定理逆定理，菱形对角线、圆周角定理等)之外，还需要注意运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化变式训练1如图所示，在正方体ABCDA1

3、B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点求证：CF平面EAB.知识点二线线垂直与线面垂直的相互转化例2如图所示，四边形ABCD为正方形，SA垂直于四边形ABCD所在的平面，过点A且垂直于SC的平面分别交SB，SC，SD于点E，F，G.求证：AESB，AGSD.点评本题的证明过程很具有代表性，即证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化变式训练2如图所示，已知空间四边形ABCD，BCAC，ADBD，引BE

4、CD，E为垂足，作AHBE于点H，求证：AH平面BCD.知识点三求直线和平面所成的角例3如图所示，已知正四面体(各棱长相等的三棱锥)ABCD的棱长为a，E为AD的中点，连接CE.(1)求证：顶点A在底面BCD内的射影是BCD的外心；(2)求AD与底面BCD所成的角的余弦值；(3)求CE与底面BCD所成的角的正弦值点评(1)要证明顶点在底面的射影为底面三角形的外心，只需要根据外心的概念或者是性质找到满足外心的条件，外心是外接圆的圆心，所以它到三个顶点的距离相等故只需要证明OCOBOD.(2)求斜线与平面所成角的步骤：寻找过直线上一点与平面垂直的直线；连接垂足和斜足得出射影，确定出所求角；把该角放

5、入三角形中计算变式训练3如图所示，已知BOC在平面内，OA是平面的斜线，且AOBAOC60°，OAOBOCa，BCa，求OA和平面所成的角1直线与平面垂直的判定方法：(1)定义(2)判定定理由直线和平面垂直的判定定理知，把线线垂直关系转化为线面垂直关系在判定定理中，注重“两条”和“相交直线”的重要性判定线面垂直关键是在平面内找出两条相交直线和已知直线垂直(3)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面这个命题也可作为线面垂直的一个判定方法证明时常用的转化关系：线线垂直线面垂直2求线面角，确定直线在平面内的射影的位置，是解题的关键因为只有确定了射影的位置，才能找

6、到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解. 课时作业一、选择题1下列命题中正确的个数是()如果直线l与平面内的无数条直线垂直，则l；如果直线l与平面内的一条直线垂直，则l；如果直线l不垂直于，则内没有与l垂直的直线；如果直线l不垂直于，则内也可以有无数条直线与l垂直A0 B1 C2 D32空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A垂直且相交 B相交但不一定垂直C垂直但不相交 D不垂直也不相交3如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”，在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是()

7、A12 B24 C36 D484如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. B.C. D.5从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下命题：ABC是正三角形；垂足是ABC的内心；垂足是ABC的外心；垂足是ABC的垂心其中正确命题的个数是()A1 B2 C3 D4二、填空题6在正三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是_(正三棱柱：侧棱与底面垂直，底面为正三角形的棱柱)7已知平面外同侧的两点A、B到平面的距离分别为

8、1和2，A、B两点在平面内的射影之间的距离为，直线AB和平面所成的角为_8在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1，当底面A1B1C1满足条件_时，有AB1BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)三、解答题9如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PAAD.求证：(1)CDPD；(2)EF平面PCD.10如图所示，在矩形ABCD中，AB3，BC3，沿对角线BD将BCD折起，使点C移到C点，且C点在平面ABD上的射影O恰在AB上(1)求证：BC平面ACD；(2)求直线AB与平面BCD所成角的正弦值§

9、;2.3直线、平面垂直的判定及其性质23.1直线与平面垂直的判定自学导引1任意l垂线垂面2两条相交直线a，b，c，bcA，ab，aca3斜足斜线在平面内的射影这条直线和这个平面所成的角40°，90°对点讲练例1证明(1)SASC，D为AC的中点，SDAC，连接BD.在RtABC中，则ADDCBD.又SASB，ADSBDS.SDBD.又ACBDD，SD面ABC.(2)BABC，D为AC中点，BDAC.又由(1)知SDBD.SDACD，BD平面SAC.变式训练1证明在平面B1BCC1中，E、F分别是B1C1、B1B的中点，BB1ECBF，B1BEBCF，BCFEBC90

10、6;，CFBE，又AB平面B1BCC1，CF平面B1BCC1，ABCF，ABBEB，CF平面EAB.例2证明因为SA平面ABCD，所以SABC.又BCAB，SAABA，所以BC平面SAB，又AE平面SAB，所以BCAE.因为SC平面AEFG，所以SCAE.又BCSCC，所以AE平面SBC，所以AESB.同理可证AGSD.变式训练2证明取AB中点F，连接CF、DF，ACBC，CFAB.又ADBD，DFAB，又CFDFF，AB平面CDF，ABCD.又BECD，且ABBEB，CD平面ABE.又AH平面ABE.CDAH.而AHBE，CDBEE，AH平面BCD.例3(1)证明过点A作AO平面BCD，垂足

11、为O，连接OB、OC、OD，则OB、OC、OD分别是AB、AC、AD在平面BCD内的射影，又ABACAD，AOAOAO，AOBAOCAOD90°，AOBAOCAOD，ODOBOC.顶点A在底面BCD内的射影是BCD的外心(2)解OD为AD在底面BCD内的射影，ADO为直线AD与平面BCD所成的角O为BCD的外心，即BCD的中心(BCD为正三角形)DOa×a，cosADO.AD与底面BCD所成的角的余弦值为.(3)解取DO的中点F，连接EF、CF，E、F分别为DAO的边AD、OD的中点，EF为DAO的中位线，EFAO.又AO平面BCD，EF平面BCD，FC为EC在平面BCD内

12、的射影，ECF为EC与平面BCD所成的角，在RtAOD中，EFAO，而AOa.EFa.在RtEFC中，CEa，sinECF.CE与底面BCD所成的角的正弦值为.变式训练3解方法一OAOBOCa，AOBAOC60°，AOB、AOC为正三角形ABACa.BCa，AB2AC2BC2，BAC为直角三角形同理BOC也为直角三角形过A作AH垂直平面于H，连接OH，OAABAC，OHBHCH，H为BOC的外心H在BC上，且H为BC的中点AOH为直线OA与平面所成的角在RtAOH中，AHa，sinAOH，AOH45°.即AO和平面所成的角为45°.方法二由OAOBOCa，且AOB

13、AOC60°，得：ABACa.又BCa，ABC与OBC均为等腰直角三角形取BC中点H，连接OH、AH，则AHBC，且OHAHBCa，又OAa，AHOH，又OHBCH，AH面OBC，AOH即为OA与平面所成的角，AOH45°.课时作业1B2.C3D连接A1C1交B1D1于点O1，由ABBC，得A1C1B1D1，又A1C1BB1，故A1C1面BB1D1D，连接O1B，则O1BC1即为BC1与面BB1D1D所成的角，O1C1A1C1，BC1，sinO1BC1.4A5.30°6.30°7A1C1B190°解析如图所示，连接B1C，由BCCC1，可得BC

14、1B1C，因此，要证AB1BC1，则只要证明BC1平面AB1C，即只要证ACBC1即可，由直三棱柱可知，只要证ACBC即可因为A1C1AC，B1C1BC，故只要证A1C1B1C1即可(或者能推出A1C1B1C1的条件，如A1C1B190°等)8证明(1)PA底面ABCD，CDPA.又矩形ABCD中，CDAD，且ADPAA，CD平面PAD，CDPD.(2)取PD的中点G，连接AG，FG.又G、F分别是PD，PC的中点，GFCD，又AECD，GFAE，四边形AEFG是平行四边形，AGEF.PAAD，G是PD的中点，AGPD，EFPD，CD平面PAD，AG平面PAD.CDAG.EFCD.PDCDD，EF平面PCD.9(1)证明点C在平面ABD上的射影O在AB上，CO平面