2009年研究生考试数学三试题及答案

1、2009年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题及答案(1)函数f(x)二的可去间断点的个数为sin x(A)1.(B)2.(C)3.(D)无穷多个.(2)当 x 0 时，f (x) x sinax与g(x)x21,、/(A) a 1 , b-.(B) a 1 ,6八一1，、/(C) a1 , b-.(D) a 16xsint(3)使不等式sntdt lnx成立的x的范围是1 t(A)(0,1).(B)(1,y).(C)(-,)(4)设函数y f x在区间 1,3上的图形为f(x) “-51oj-2/123x-1x则函数F x 0ft dt的图形为f(x)"-21y 23 xln(

2、1 bx)是等价无否小，则b6.，b 16.(D)(,).f(x)1 JL-213一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上3(A)(B)-1-1(C)(5)(6)(8)f(X)f(x)(D)设A, B均为2阶矩阵，A , B*分别为A, B的伴随矩阵，若|A|2,| B | 3,则分块矩(A)(C)2A2B的伴随矩阵为3BO(B)_ *O 2B*3A*3AO (D)3B*2AA, P均为3阶矩阵,PT为P的转置矩阵，且 PTAP(A) 10(C) 00设事件1, 2, 3),Q3),则 QTAQ

3、 为(B) 10(D) 00A与事件B互不相容，则(A) P(AB)(C) P(A) 1设随机变量PY 00.P(B).X与Y相互独立，且(B) P(AB) P(A)P(B).(D) P(A B) 1 .X服从标准正态分布 N(0,1),Y的概率分布为一 1PY 1,记Fz(Z)为随机变量Z XY的分布函数，则函数Fz(Z) 2的间断点个数为(A) 0.(B)1.(C)2 .(D)3.、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上cos x(9)lim(10)设 z(x ey)x，则X (1,0)(11)哥级数的收敛半径为(12)设某产品的需求函数为Q Q(P),其对

4、应价格 P的弹性p 0.2 ,则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加(13)设(1,1,1)T ,(1,0,k)T,若矩阵元.3T相似于00(14)设X-X2,，Xn为来自二项分布总体B(n, p)的简单随机样本,2X和S分别为样本均值和样本方差，记统计量T X S2,则ET .三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .(15)(本题满分9分)求二元函数f(x, y) x2 2 y2y ln y的极值.(16)(本题满分10分)计算不定积分 ln(1 ,1一x)dx (x 0).2_-(y 1)2,y x.(

5、17)(本题满分10分)计算二重积分(x y)dxdy,其中 D (x, y)|(x 1)2D(18)(本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值定理，若函数f(x)在a, b上连续，在 a, b上可导，则a, b ，得证 f (b) f (a) f'( ) b a(n)证明：若函数f (x)在x 0处连续，在0,(0)内可导，且 lim f'(x) A ，x 0则 f '(0)存在，且 f ' (0) A.(19)(本题满分10分)设曲线y f (x),其中f (x)是可导函数，y 0,x 1及x t(t 1)所围成的曲边梯形绕且f(x) 0 .已知曲线y f(x

6、)与直线x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的(20)(本题满分t倍，求该曲线的方程.11分)111设 A= 111042(I )求满足A 21，A1的所有向量(n)对(I)中的任意向量2, 3，证明1, 2, 3线性无关.(21)(本题满分11分)设二次型f(x1,x2, x3) ax； ax22 (a 1)x32 2x1x3 2x2x3.(I)求二次型 f的矩阵的所有特征值(n)若二次型f的规范形为y12y12 ,求a的值.xe 0 y x0 其他(22)(本题满分11分)设二维随机变量(X ,Y)的概率密度为f (x, y)(I )求条件概率密度 fY|X (y|x)；(n)求

7、条件概率 p X 1Y 1(23)(本题满分 袋中有一个红球，11分)两个黑球,三个白球，现在放回的从袋中取两次，每次取一个，求以X、Y、Z分别表示两次取球所取得的红、黑与白球的个数(I )求 P X 1 Z 0 ；(n)求二维随机变量 (x ,Y)的概率分布2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(三)参考答案一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上一、,x X3 八一 r、I” 人-t(1)函数f(x)_过的可去间断点的个数为 sin x(A)1.(B)2.【答案】C.【解析】(C)3.(

8、D)无穷多个.3 x x sin x则当x取任何整数时，f x均无意义x x30的解故f x的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是xi,2,30, 1limx 03 x xsin xlimx 01 3x2cos xlxmi3 x xsin xlxmi1 3x2cos x3 x xsin xximi1 3x2cos x(2)当 x 0 时，f (x) x sin/.1(A) a 1 , b一.6八/ .1(C) a1 , b-.6【答案】A.【解析】f (x) x sin ax,g(x)故可去间断点为3个，即0, 1 ax与g (x) x2 ln(1 bx)是等价无穷小，则，、-

9、1(B) a 1 , b 一.6，、-1(D) a 1 , b -.6xm0 黑l'm0sin axx2 ln(1 bx)x sin ax 1 lim ；洛 lim 一x 0 x ( bx) = x 0a cosax3bx2洛limx 0一 2 一.一 一a sin ax6bx_2 _ a sin ax limx 0 6bax a316b6b 故排除(B)、(C).1 acosax十一开人另夕卜lim2存在，缰含了 1x 03bx2所以本题选(A).a cos ax 0 x1,排除(D).(3)使不等式xsintdt In x成立的1 tx的范围是(A)(0,1)，(叱，).(D)(,

10、).【答案】A.【解析】原问题可转化为求f(x):誓dtIn x1x1 ,dt1 txsin t1 t1dtsintdt 0成立时x的取值范围,1 sintt0, t0,1 时,知当x0,1时，f(x) 0 .故应选(A).(4)设函数y上的图形为f1,3则函数x在区间-1f(x)-2-1(B)(A)D.【解析】此题为定积分的应用知识考核，由(D)y f(x)的图形可见，其图像与x轴及y轴、x x0所围的图形的代数面积为所求函数F(x),从而可得出几个方面的特征:Dx0,1时,F (x) 0 ,且单调递减.1,2时,F(x)单调递增.2,3时,F(x)为常函数.1,0时，F (x) 0为线性函

11、数，单调递增由于F(x)为连续函数结合这些特点，可见正确选项为(D).设A,B均为2阶矩阵，A ,B*分别为A,B的伴随矩阵，若|A| 2,| B | 3 ,则分块矩的伴随矩阵为(A)O2A3BOO(B)*3A*2BO(C)O2B*3AO(D)O3B*2AOB.【解析】根据CC111,C CC分块矩阵OBA的行列式O1)22Ab2 3 6,即分块矩阵可逆11a2故答案为(B).OA1AA3B2B3A(6)设A, P均为3阶矩阵,PT为P的转置矩阵,PTAP(1,2, 3),QQTAQ 为1-BB(A) 10(B) 10(C) 00(D) 0012, 2,PE/)QTAQE21(1)3)(1,

12、2,PE12(1)TAPE12(1)(7)设事件A与事件(A) P(AB ) 0.3)E12(1),即：E；PTAPE12(1)0 E12(1)2B互不相容,(C)P(A) 1 P(B).(B) P(AB)P(A)P(B).(D) P(A B) 1 .zYzY1)1)(9)limx 02xm0e31cosxex21ym0cosxe(1 e1)31 x2 1e(1 cosx)1 2-x31 2e nx3lim r2- e.x 0 1 22- x3【答案】D.【解析】因为A, B互不相容，所以P(AB) 0(A)P(AB) P(AUB) 1 P(A U B),因为 P(AU B)不一定等于 1,所

13、以(A)不正确.(B)当P(A), P(B)不为0时，(B)不成立，故排除.(C)只有当A, B互为对立事件的时候才成立，故排除 .(D) P(AU B) P(AB) 1 P(AB) 1,故(D)正确.(8)设随机变量 X与Y相互独立，且 X服从标准正态分布N(0,1) , Y的概率分布为1PY 0 PY 1,记Fz(Z)为随机变量Z XY的分布函数，则函数Fz(Z) 2的间断点个数为()(A) 0.(B)1.(C)2 .(D)3.【答案】B.【解析】FZ(z) P(XY z) P(XY z Y 0)P(Y 0) P(XY zY 1)P(Y 1)1P(XY z Y 0) P(XY 21P(X

14、0 zY 0) P(XQ X ,Y独立1Fz(Z) -P(x 0 z) P(x z)21(1)右 z 0 ,则 FZ(z) (z)2 一1(2)当 z 0,则 FZ(z) 1(1(z)z 0为间断点，故选(B).、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上cos xe e31一x1(10)设 z (x e，)、, 则 x (1,0)【答案】21n 2 1 .【解析】eyxz x,0dz dxx1n(1 ex)x1n(1 ex)ln(1 x)代入1得,1,01n2 eIn 221n 21.(11)哥级数1)n的收敛半径为【解析】由题意知,anan 1an所以，该哥级数

15、的收敛半径为(12)设某产品的需求函数为Qe(n )Q(P),其对应价格 P的弹性0 2 ,则当需求量为10000件时，价格增加1元会使产品收益增加因为所以8000.所求即为 QP Q P Q"0.2,所以 QP Q0.2QQP0.2Q0.8Q10000代入有QP8000 .(13)设(1,1,1)T,(1,0,k)T，若矩阵 T相似于【答案】2.【解析】T相似于 0 0 0，根据相似矩阵有相同的特征值，得到T的特征值为3, 0, 0.而T为矩阵 T的对角元素之和,1k 3 0 0, k 2 .2(14)设X1, X2，Xn为来自二项分布总体B(n, p)的简单随机样本，X和S分别为

16、样本均值和样本方差，记统计量T X S2,则ET .【答案】np2【解析】由 et E(X S2) E不 ES2 np np(1 p) np2.三、解答题：1523小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分9分)求二元函数f(x, y) x2 2 y2 ylny的极值.2 .21【斛析】fx (x, y)2x(2 y ) 0 , fy (x, y) 2x y In y 1 0 ,故 x 0, y -.e221,，fxx 2(2 y ), fyy 2x -, fxy 4xy. y1 一 一 一则 fxxm 1、2(2) ,fxv 1

17、0, fvv 1e.xx(o, _)2 >xy(0, 1)yy (0,)eeee2Q fxx0 而(fxy)fxx fyy 011二兀函数存在极小值f (0,1)1 .ee(16)(本题满分10分)计算不定积分0).所以(17)t)d/111 ln(t4dt(111) ln(t4ln(11 x)dxxln(110i）ln( . 1 x x) 2（本题满分计算二重积分D(x由(x 1)21)2- t1t 1-C12 (T- )dt 1)ln(1t)t2 11lnU4 t 11C2(t 1)1'- xC.(xDy)dxdy133s8 -(cos38(cos 3分）y）dxdy，其中(

18、y 1)2 2 得2(sinsinsinsinD (x,y)|(x 1)2 (y 1)2 2, yr 2(sin coscos0)(rcosr sin )rdr)r3)(sin)(sin2(sincos )coscos)(sin)3d2 .cos ) d48 4 (sin cos )3d(sin4cos ) - -(sin3 434 "4cos ) 44(18)(本题满分11分)(I)证明拉格朗日中值定理，若函数 f(x)在a, b上连续，在 a, b上可导，则 'a, b ,得证 f (b) f (a) f ( ) b a .(n)证明：若函数f (x)在x 0处连续，在0

19、,(0)内可导，且lim f'(x) A,x 0则 f (0)存在，且 f ' (0) A.【解析】(i)作辅助函数 (x) f(x) f (a) f(b) f(a)(x a),易验证 (x)满足： b a(a)(b) ;(x)在闭区间 a,b 上连续，在开区间 a,b 内可导，且(x) f(x) . b a根据罗尔定理，可得在a,b内至少有一点，使'()0,即f'( )"a，0, f(b) f(a) f'( )(b a)b a(n)任取x0 (0,)，则函数f(x)满足：在闭区间 0,x0上连续，开区间0,x0内可导，从而有拉格朗日中值定理可

20、得：存在xo0,x00,使得x0f(x。)f(0)x000时的极限可得:又由于lim f' x A ,对上式(*式)两边取x0 x 0f(x0) f 0''f 0 lim lim f ( xjlim f ( 3) Ax0 0x00x0 0x0 0故f (0)存在，且 f (0) A.(19)(本题满分10分)设曲线y f (x), 其中f (x)是可导函数，且f (x) 0 .已知曲线y f (x)与直线 y 0,x 1及x t(t 1)所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所得的立体体积值是该曲边梯形面积值的t倍，求该曲线的方程.【解析】旋转体的体积为2 ,t 2 ,f(x)

21、 dx1f(x) dx曲边梯形的面积为:f(x)dx,则由题可知V tst1f(x)2dxt1f(x)dx(x)2dxf(x)dx两边对t求导可得f(t)2t1f(x)dx tf(t)f(t)2tf(t)t、，1f(x)dxV继续求导可得2 f (t) f'(t)f(t)tf(t)f (t),化简可得(2 f (t)t)f(t) 2f(t)dtdyt 2yf 2(1)f(1)0,Qf(t) 0,f(1)-2代入t cy 2 - 31c 3,11t 3(2y).所以该曲线方程为:2y3x 0.(20)(本题满分11分)111设 A= 111042(I )求满足A 21 , A 31的所有

22、向量(n)对(i)中的任意向量2, 3，证明1, 2, 3线性无关.【解析】(i)解方程A 21A, 11111111104221111000 00 21111110 211000 0r(A) 2故有一个自由变量，令x3 2,由 Ax 0解得，x21,x1 1求特解，令Xi X2 0 ,得X3 1故 2kl1200 ，其中ki为任意常数1解方程A3122A1 222442A2, i 2400020 120 14 02110 20 0 0 00 0 0 0故有两个自由变量，令 x21,x30,由A2x 0得x1 12令 x20, x31 ,由 A x 0 得 x1 012求得特解200120,其中k2,k3为任意常数0,，11 k1k221k1k22 2k1 10(n)证明：由于11202 （2匕 1）色 2） 2k02 -） k2（2K 1）故1 2 3线性无关.I , 2 , 3(21)(本题满分11分)设二次型 f (Xi,x2, x3) ax； ax22 (a 1)x322整改 2x2x3.(I)求二次型f的矩阵的所有特征值.(H)若二次型f的规范形为22y1y1【解析】(I)A|a)a)(a)(a)(a)(a)2a1)1)2 a120 (a)2a)a)(2(12)(2a)24a 1)a, 22, 3(n)若规范形为