正方形几何综合专题---40道题目(含答案)

1、文档可能无法思考全面，请浏览后下载! 01如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GEDC于点E，GFBC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的等量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，AGF105°，求线段BG的长80 / 80解：(1)AG2GE2GF2；理由：如解图，连接CG，四边形ABCD是正方形，ADGCDG45°，ADCD，DGDG，ADGCDG，AGCG，又GEDC，GFBC，BCD90°，四边形CEGF是矩形，CFGE，在RtGFC中，由勾股定理得，CG2GF2CF2，AG2GE2GF2；

2、(2)如解图，过点A作AMBD于点M，GFBC，ABGGBC45°，BAMBGF45°，ABM，BGF都是等腰直角三角形，AB1，AMBM，AGF105°，AGM60°，tan60°，GM，BGBMGM.02如图，正方形ABCD中，AB6，点E在边CD上，且CD3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF下列结论：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC3其中正确结论的个数是( )ABCDFEG10题图A1 B2 C3 D4考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理分析：根据翻折变换的性质和正方形

3、的性质可证ABGAFG；在直角ECG中，根据勾股定理可证BG=GC；通过证明AGB=AGF=GFC=GCF，由平行线的判定可得AGCF；由于SFGC=SGCESFEC，求得面积比较即可解答：解：正确因为AB=AD=AF，AG=AG，B=AFG=90°，ABGAFG；正确因为：EF=DE=CD=2，设BG=FG=x，则CG=6x在直角ECG中，根据勾股定理，得（6x）2+42=（x+2）2，解得x=3所以BG=3=63=GC；ABCDFEG10题图正确因为CG=BG=GF，所以FGC是等腰三角形，GFC=GCF又AGB=AGF，AGB+AGF=180°FGC=GFC+GCF，

4、AGB=AGF=GFC=GCF，AGCF；错误过F作FHDC，BCDH，FHGC，EFHEGC，=，EF=DE=2，GF=3，EG=5，=，SFGC=SGCESFEC=×3×4×4×（×3）=3故选C点评：本题综合性较强，考查了翻折变换的性质和正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积计算，有一定的难度03如图，在一方形ABCD中E为对角线AC上一点，连接EB、ED，（1）求证：BECDEC：（2）延长BE交AD于点F，若DEB=140°求AFE的度数考点：正方形的性质；对顶角、邻补角；三角形内角和定理

5、；全等三角形的判定与性质。专题：证明题。分析：（1）根据正方形的性质得出CD=CB，DCA=BCA，根据SAS即可证出结论；（2）根据对顶角相等求出AEF，根据正方形的性质求出DAC，根据三角形的内角和定理求出即可解答：（1）证明：四边形ABCD是正方形，CD=CB，DCA=BCA，CE=CE，BECDEC（2）解：DEB=140°，BECDEC，DEC=BEC=70°，AEF=BEC=70°，DAB=90°，DAC=BAC=45°，AFE=180°70°45°=65°答：AFE的度数是65°点

6、评：本题主要考查对正方形的性质全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，对顶角等知识点的理解和掌握，能熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键04如图，点E是正方形ABCD内一点，CDE是等边三角形，连接EB、EA，延长BE交边AD于点F（1）求证：ADEBCE；（5分）（2）求AFB的度数（5分）【答案】解：（1）四边形ABCD是正方形，ADC=BCD=90°，AD=BCCDE是等边三角形，CDE=DCE=60°，DE=CE ADC=BCD=90°，CDE=DCE=60°，ADE=BCE=30°AD=BC，ADE=BCE，DE=CE，ADE

7、BCE（2）ADEBCE，AE=BE，BAE=ABEBAE+DAE=90°，ABE+AFB=90°，BAE=ABE，DAE=AFBAD=CD=DE，DAE=DEAADE=30°，DAE=75°，AFB=75°05如图，四边形ABCD是正方形，点E，K分别在BC，AB上，点G在BA的延长线上，且CEBKAG（1）求证：DEDG； DEDG（2）尺规作图：以线段DE，DG为边作出正方形DEFG（要求：只保留作图痕迹，不写作法和证明）；（3）连接（2）中的KF，猜想并写出四边形CEFK是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想：（4）当时，请直接写出的值解答

8、：（1）证明：四边形ABCD是正方形，DCDA，DCEDAG90°又CEAG，DCEGDA，DEDG，EDCGDA，又ADEEDC90°，ADEGDA90°，DEDG（2）如图 （3）四边形CEFK为平行四边形证明：设CKDE相交于M点，四边形ABCD和四边形DEFG都是正方形，ABCD，ABCD，EFDG，EFDG，BKAG，KGABCD，四边形CKGD是平行四边形，CKDGEF，CKDG，KMEGDEDEF90°，KMEDEF180°，CKEF，四边形CEFK为平行四边形（4）点评：此题考查的知识点是正方形的性质全等三角形的判定和性质平行四

9、边形的判定及作图，解题的关键是先由正方形的性质通过证三角形全等得出结论，此题较复杂。06如图，在正方形ABCD中，点O为对角线AC的中点，过点O作射线OM、ON分别交AB、BC于点E、F，且EOF=90°，BO、EF交于点P则下列结论中：（1）图形中全等的三角形只有两对；（2）正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍；（3）BE+BF=OA；（4）AE2+CF2=2OPOB，正确的结论有（）个A、1B、2C、3D、4考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质。分析：本题考查正方形的性质，四边相等，四个角都是直角，对角线相等，垂直且互相平分，且

10、平分每一组对角解答：解：（1）从图中可看出全等的三角形至少有四对故（1）错误（2）OBE的面积和OFC的面积相等，故正方形ABCD的面积等于四边形OEBF面积的4倍，故（2）正确（3）BE+BF是边长，故BE+BF=OA是正确的（4）因为AE=BF，CF=BE，故AE2+CF2=2OPOB是正确的故选C点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理和相似三角形的判定和性质等07在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EFAB交BD于点F，取FD的中点G，连接EG、CG，如图（1），易证 EG=CG且EGCG（1）将BEF绕点B逆时针旋转90°，如图（2），则线段E

11、G和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想（2）将BEF绕点B逆时针旋转180°，如图（3），则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质。【分析】从图（1）中寻找证明结论的思路：延长FE交DC延长线于M，连MG构造出GFEGMC易得结论；在图（2）、（3）中借鉴此解法证明【解答】 解：（1） EG=CG，EGCG （2分）（2）EG=CG，EGCG （2分）证明：延长FE交DC延长线于M，连MGAEM=90°，EBC=90°，BCM=90°，四边形BEMC是

12、矩形BE=CM，EMC=90°，又BE=EF，EF=CMEMC=90°，FG=DG，MG=FD=FGBC=EM，BC=CD，EM=CDEF=CM，FM=DM，F=45°又FG=DG，CMG=EMC=45°，F=GMCGFEGMCEG=CG，FGE=MGC （2分）FMC=90°，MF=MD，FG=DG，MGFD，FGE+EGM=90°，MGC+EGM=90°，即EGC=90°，EGCG （2分）【点评】此题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判断和性质，如何构造全等的三角形是难点，因此难度较大08如图，在正方形ABC

13、D中，AEF的顶点E，F分别在BC，CD边上，高AG与正方形的边长相等，求EAF的度数（2）如图，在RtABD中，BAD=90°，AB=AD，点M，N是BD边上的任意两点，且MAN=45°，将ABM绕点A逆时针旋转90°至ADH位置，连接NH，试判断MN，ND，DH之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接BD分别交AE，AF于点M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的长考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。分析：（1）根据高AG与正方形的边长相等，证明三角形相等，进而证明角相等，从而求出解（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一

14、组对角的知识可证明结论（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果解答：（1）在RtABE和RtAGE中，ABEAGE 同理，（2）， 又，AMNAHN ， ABCFDEG（图）MN（3）由（1）知，设，则，解这个方程，得，（舍去负根）在（2）中，设，则即点评：本题考查里正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等09如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.（1）求证：ADPEPB；（2）求CBE的度数；（3）当

15、的值等于多少时，PFDBFP？并说明理由. 图9【答案】（1）证明：四边形ABCD是正方形APBC90°，ABAD，ADPAPD90°1分DPE90° APDEPB90°ADPEPB.2分（2）过点E作EGAB交AB的延长线于点G，则EGPA90°3分又ADPEPB，PDPE，PADEGPEGAP，ADABPG，APEGBG4分CBEEBG45°.5分（3）方法一：当时，PFEBFP.6分ADPFPB，APBF，ADPBPF7分设ADABa，则APPB，BFBP·8分，9分又DPFPBF90°，ADPBFP10分方

16、法二：假设ADPBFP，则.6分ADPFPB，APBF，ADPBPF7分，8分，9分PBAP， 当时，PFEBFP.10分10已知正方形ABCD，以CD为边作等边CDE，则AED的度数是考点：正方形的性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质。专题：计算题。分析：当E在正方形ABCD内时，根据正方形ABCD，得到AD=CD，ADC=90°，根据等边CDE，得到CD=DE，CDE=60°，推出AD=DE，得出DAE=AED，根据三角形的内角和定理求出即可；当E在正方形ABCD外时，根据等边三角形CDE，推出ADE=150°，求出即可解答：解：有两种情

17、况：当E在正方形ABCD内时，正方形ABCD，AD=CD，ADC=90°，等边CDE，CD=DE，CDE=60°，ADE=90°60°=30°，AD=DE，DAE=AED=（180°ADE）=75°；当E在正方形ABCD外时，等边三角形CDE，EDC=60°，ADE=90°+60°=150°，AED=DAE=（180°ADE）=15°故答案为：15°或75°点评：本题主要考查对正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理等

18、知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键（第25题）11如图，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF感悟解题方法，并完成下列填空：将ADE绕点A顺时针旋转90°得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, 1=2，ABG=D=90°,ABG+ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF=45° 2+3=BAD-EAF=90°-45°=45°1=2， 1+3=

19、45°即GAF=_又AG=AE，AF=AFGAF_=EF，故DE+BF=EF 方法迁移：如图，将沿斜边翻折得到ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且EAF=DAB试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想（第25题）问题拓展：如图，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC,BC上的点，满足,试猜想当B与D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF请直接写出你的猜想（不必说明理由）（第25题）【答案】EAF、EAF、GFDE+BF=EF，理由如下：假设BAD的度数为，将ADE绕点A顺时针旋转得到ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD,BG=DE, 1=

20、2，ABG=D=90°,ABG+ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上EAF= 2+3=BAD-EAF=1=2， 1+3=即GAF=EAF又AG=AE，AF=AFGAFEAFGF=EF，又GF=BG+BF=DE+BF DE+BF=EF （第25题）解得图当B与D互补时，可使得DE+BF=EF12已知：如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA到点F，OD到点E，使OF2OA，OE2OD，连结EF，将FOE绕点O逆时针旋转角得到（如图2）.（1） 探究AE与BF'的数量关系，并给予证明；（2） 当30°时，

21、求证：AOE为直角三角形.【答案】（1）AEBF证明：如图2，在正方形ABCD中， ACBDAODAOB90°即AOEAOFBOFAOFAOEBOF又OAOBOD，OE2OD，OF2OAOEOFOAEOBFAEBF（2）作AOE的中线AM，如图3.则OE2OM2OD2OAOAOM30°AOM60°AOM为等边三角形MAMOME，又AMO即260°30°AOE30°60°90°AOE为直角三角形.13如图1，奖三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点E与正方形ABCD的顶点A重合，三角板的一边交CD于点F，另一

22、边交CB的延长线于点G（1）求证：EFEG；（2）如图2，移动三角板，使顶点E始终在正方形ABCD的对角线AC上，其他条件不变（1）中的结论是否仍然成立？若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，将（2）中的“正方形ABCD”改为“矩形ABCD”，且使三角板的一边经过点B，其他条件不变，若ABa,BCb，求的值 图1 图2 图3（1）证明：GEBBEF90°，DEFBEF90°， DEFGEB，（ 1分） 又EDBE， RtFEDRtGEB，（ 2分） EFEG（ 3分）(2)成立（ 4分） 证明：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为H、I， 则EH

23、EI，HEI90°，（ 5分） GEHHEF90°，IEFHEF90°， IEFGEH，（ 6分） RtFEIRtGEH, EFEG（7分） (3)解：如图，过点E分别作BC、CD的垂线，垂足分别为M、N ，则MEN90°，EMAB，ENAD,（ 8分） ， , （9分） GEMMEF90°，FENMEF90°， FENGEM，RtFENRtGEM, （10分）（11分） 14已知正方形ABCD的边长为a，两条对角线AC、BD相交于点O，P是射线AB上任意一点，过P点分别做直线AC、BD的垂线PE、PF，垂足为E、F.（1）如图1，当

24、P点在线段AB上时，求PE+PF的值；（2）如图2，当P点在线段AB的延长线上时，求PEPF的值. 【解】（1）四边形ABCD为正方形，ACBD.PFBD，PF/AC，同理PE/BD.四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又PBF=45°，PF=BF.PE+PF=OF+FB=OB=.（2）四边形ABCD为正方形，ACBD.PFBD，PF/AC，同理PE/BD.四边形PFOE为矩形，故PE=OF.又PBF=45°，PF=BF.PEPF=OFBF= OB=.15如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H（1

25、）求证：EB=GD；（2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由；（3）若AB=2，AG=，求EB的长考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理。分析：（1）在GAD和EAB中，GAD=90°+EAD，EAB=90°+EAD，得到GAD=EAB从而GADEAB，即EB=GD；（2）EBGD，由（1）得ADG=ABE则在BDH中，DHB=90°所以EBGD；（3）设BD与AC交于点O，由AB=AD=2在RtABD中求得DB，所以得到结果解答：（1）证明：在GAD和EAB中，GAD=90°+EAD，EAB=90°+EAD，GAD=EAB，又

26、AG=AE，AB=AD，GADEAB，EB=GD；（2）EBGD，理由如下：连接BD，由（1）得：ADG=ABE，则在BDH中，DHB=180°（HDB+HBD）=180°90°=90°，EBGD；（3）设BD与AC交于点O，AB=AD=2在RtABD中，DB=，EB=GD=点评：本题考查了正方形的性质，考查了利用其性质证得三角形全等，并利用证得的条件求得边长16如图，已知正方形ABCD的边长为4，对称中心为点P，点F为BC边上一个动点，点E在AB边上，且满足条件EPF=45°，图中两块阴影部分图形关于直线AC成轴对称，设它们的面积和为S1（1

27、）求证：APE=CFP；（2）设四边形CMPF的面积为S2，CF=x，求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围，并求出y的最大值；当图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称时，求y的值解答：（1）证明：EPF=45°，APE+FPC=180°45°=135°；而在PFC中，由于PF为正方形ABCD的对角线，则PCF=45°，则CFP+FPC=180°45°=135°，APE=CFP（2）解：APE=CFP，且FCP=PAE=45°，APECPF，则而在正方形ABCD中，AC为对角线，则AC=AB=，又P为

28、对称中心，则AP=CP=，AE=如图，过点P作PHAB于点H，PGBC于点G，P为AC中点，则PHBC，且PH=BC=2，同理PG=2SAPE=×2×=，阴影部分关于直线AC轴对称，APE与APN也关于直线AC对称，则S四边形AEPN=2SAPE=；而S2=2SPFC=2×=2x，S1=S正方形ABCDS四边形AEPNS2=162x，y=+1E在AB上运动，F在BC上运动，且EPF=45°，2x4令=a，则y=8a2+8a1，当a=，即x=2时，y取得最大值而x=2在x的取值范围内，代入x=2，则y最大=421=1y关于x的函数解析式为：y=+1（2x4

29、），y的最大值为1图中两块阴影部分图形关于点P成中心对称，而此两块图形也关于直线AC成轴对称，则阴影部分图形自身关于直线BD对称，则EB=BF，即AE=FC，=x，解得x=，代入x=，得y=217如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF则下列结论：ABGAFG；BG=CG；AGCF；SEGC=SAFE；AGB+AED=145°其中正确的个数是（）A2B3C4D5解答：解：正确理由：AB=AD=AF，AG=AG，B=AFG=90°，RtABGRtAFG（HL）；正确理由：EF=DE=CD

30、=2，设BG=FG=x，则CG=6x在直角ECG中，根据勾股定理，得（6x）2+42=（x+2）2，解得x=3BG=3=63=GC；正确理由：CG=BG，BG=GF，CG=GF，FGC是等腰三角形，GFC=GCF又RtABGRtAFG；AGB=AGF，AGB+AGF=2AGB=180°FGC=GFC+GCF=2GFC=2GCF，AGB=AGF=GFC=GCF，AGCF；正确理由：SGCE=GCCE=×3×4=6，SAFE=AFEF=×6×2=6，SEGC=SAFE；错误BAG=FAG，DAE=FAE，又BAD=90°，GAF=45&#

31、176;，AGB+AED=180°GAF=135°故选：C18如图，在正方形ABCD中，点M是BC边上的任一点，连接AM并将线段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，在CD边上取点P使CP=BM，连接NP，BP（1）求证：四边形BMNP是平行四边形；（2）线段MN与CD交于点Q，连接AQ，若MCQAMQ，则BM与MC存在怎样的数量关系？请说明理由解答：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC，ABC=B，在ABM和BCP中，ABMBCP（SAS），AM=BP，BAM=CBP，BAM+AMB=90°，CBP+AMB=90°，AMBP，AM并将线

32、段AM绕M顺时针旋转90°得到线段MN，AMMN，且AM=MN，MNBP，四边形BMNP是平行四边形；（2）解：BM=MC理由如下：BAM+AMB=90°，AMB+CMQ=90°，BAM=CMQ，又B=C=90°，ABMMCQ，=，MCQAMQ，AMQABM，=，=，BM=MC19如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，CAB的平分线分别交BD，BC于点E，F，作BHAF于点H，分别交AC，CD于点G，P，连接GE，GF（1）求证：OAEOBG；（2）试问：四边形BFGE是否为菱形？若是，请证明；若不是，请说明理由；（3）试求：的值（结果保留根号）解答：

33、（1）证明：四边形ABCD是正方形，OA=OB，AOE=BOG=90° BHAF，AHG=90°，GAH+AGH=90°=OBG+AGH，GAH=OBG，即OAE=OBG在OAE与OBG中，OAEOBG（ASA）；（2）四边形BFGE是菱形，理由如下：在AHG与AHB中，AHGAHB（ASA），GH=BH，AF是线段BG的垂直平分线，EG=EB，FG=FBBEF=BAE+ABE=67.5°，BFE=90°BAF=67.5°BEF=BFE EB=FB，EG=EB=FB=FG，四边形BFGE是菱形；（3）设OA=OB=OC=a，菱形GEB

34、F的边长为b四边形BFGE是菱形，GFOB，CGF=COB=90°，GFC=GCF=45°，CG=GF=b，（也可由OAEOBG得OG=OE=ab，OCCG=ab，得CG=b）OG=OE=ab，在RtGOE中，由勾股定理可得：2（ab）2=b2，求得 a=bAC=2a=（2+）b，AG=ACCG=（1+）bPCAB，CGPAGB，=1，由（1）OAEOBG得 AE=GB，=1，即=120如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF（1）求证：BF=DF；（2）连接CF，请直接写出BE：CF的值（不必写出计算过程）考点：正方形的性质；全等三

35、角形的判定与性质分析：（1）根据正方形的性质得出BE=DG，再利用BEFDGF求得BF=DF，（2）由BF=DF得点F在对角线AC上，再运用平行线间线段的比求解解答：（1）证明：四边形ABCD和AEFG都是正方形，AB=AD，AE=AG=EF=FG，BEF=DGF=90°，BE=ABAE，DG=ADAG，BE=DG，在BEF和DGF中，BEFDGF（SAS），BF=DF；（2）解：BF=DF点F在对角线AC上ADEFBCBE：CF=AE：AF=AE：AE=BE：CF=点评：本题主要考查正方形的性质及三角形全等的判定和性质，要熟练掌握灵活应用21如图1，边长为4的正方形ABCD中，点E

36、在AB边上（不与点A、B重合），点F在BC边上（不与点B、C重合）。第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去（1）图2中的三角形EFD是经过两次操作后得到的，其形状为_，求此时线段EF的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH。请判断四边形EFGH的形状为_，此时AE与BF的数量关系是_。以中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围。【考点】正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；图形与旋转，勾股定理【分析】（1）根据

37、正方形的性质，证明旋转后得到的两个直角三角形全等，得出AE和FC相等，再用勾股定理列出方程即可；（2）根据旋转的性质可判定四边形EFGH是正方形，得出AEBF；根据正方形的面积公式，找出AE长与正方形面积之间的等量关系式。【解答】（1）等边三角.四边形ABCD是正方形，ADCDBCAB，ABC90°.ED=FD，ADECDF.(HL)AECF，BEBF.BEF是等腰直角三角形。设BE的长为x，则EF=x，AE=4- x.在tAED中，DE=EF，解得，(不合题意，舍去).EFx（）44（2） 四边形EFGH为正方形；AEBF.AEx，BE=4-x.在tBED中，AE=BF，点E不与点

38、A、B重合，点F不与点B、C重合，0x4.，当x=2时有最小值8，当x=0或4时，有最大值16，y的取值范围是8y16. 【点评】此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用以及旋转的性质，准确找出其中的等量关系并列出方程是解本题的关键22（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AEDH于点O，求证：AE=DH；类比探究：（2）如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EFHG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；综合运用：（3）在（2）问条件下，HFGE，如图3所示，已知BE=EC=2，EO=2FO，求

39、图中阴影部分的面积解答：解：（1）四边形ABCD是正方形，AB=DA，ABE=90°=DAHHAO+OAD=90°AEDH，ADO+OAD=90°HAO=ADOABEDAH（ASA），AE=DH（2）EF=GH将FE平移到AM处，则AMEF，AM=EF将GH平移到DN处，则DNGH，DN=GHEFGH，AMDN，根据（1）的结论得AM=DN，所以EF=GH；（3） 四边形ABCD是正方形，ABCDAHO=CGOFHEGFHO=EGOAHF=CGEAHFCGEEC=2AF=1过F作FPBC于P，根据勾股定理得EF=FHEG， 根据（2）知EF=GH，FO=HO，阴影

40、部分面积为点评：本题考查了三角形的综合知识用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，难度较大23如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G(1)求证：AEBF；(2)将BCF沿BF对折，得到BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sinBQP的值；(3)将ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：（1）由四边形ABCD是

41、正方形，可得ABE=BCF=90°，AB=BC，又由BE=CF，即可证得ABEBCF,可得BAE=CBF，由ABF+CBF=900可得ABF+BAE=900，即AEBF；（2）由BCFBPF, 可得CF=PF,BC=BP,BFE=BFP，由CDAB得BFC=ABF,从而QB=QF，设PF为x,则BP为2x,在RtQBF中可求 QB为x，即可求得答案；（3）由可求出AGN的面积，进一步可求出四边形GHMN的面积解答：(1)证明：E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，CF=BE，RtABERtBCF BAE=CBF 又BAE+BEA=900，CBF+BEA=900，BGE=900

42、， AEBF (2)根据题意得：FP=FC，PFB=BFC，FPB=900， CDAB, CFB=ABF，ABF=PFBQF=QB 令PF=k（k>O），则PB=2k，在RtBPQ中，设QB=x， x2=(xk)2+4k2, x=k，sinBQP=(3)由题意得：BAE=EAM,又AEBF, AN=AB=2, AHM=900, GN/HM, 四边形GHMN=SAHM SAGN=1一= 答：四边形GHMN的面积是.点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质以及三角函数等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握旋转前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用24

43、在正方形ABCD中，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在直线DC，CB上移动（1）如图，当点E自D向C，点F自C向B移动时，连接AE和DF交于点P，请你写出AE与DF的位置关系，并说明理由；（2）如图，当E，F分别移动到边DC，CB的延长线上时，连接AE和DF，（1）中的结论还成立吗？（请你直接回答“是”或“否”，不需证明）（3）如图，当E，F分别在边CD，BC的延长线上移动时，连接AE，DF，（1）中的结论还成立吗？请说明理由；（4）如图，当E，F分别在边DC，CB上移动时，连接AE和DF交于点P，由于点E，F的移动，使得点P也随之运动，请你画出点P运动路径的草图若AD=2，试

44、求出线段CP的最小值考点：全等三角形，正方形的性质，勾股定理，运动与变化的思想.分析：（1）AE=DF，AEDF先证得ADEDCF由全等三角形的性质得AE=DF，DAE=CDF，再由等角的余角相等可得AEDF；（2）是四边形ABCD是正方形，所以AD=DC，ADE=DCF=90°，DE=CF，所以ADEDCF，于是AE=DF，DAE=CDF，因为CDF+ADF=90°，DAE+ADF=90°，所以AEDF；（3）成立由（1）同理可证AE=DF，DAE=CDF，延长FD交AE于点G，再由等角的余角相等可得AEDF；（4）由于点P在运动中保持APD=90°，

45、所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得OC的长，再求CP即可解答：（1）AE=DF，AEDF理由：四边形ABCD是正方形，AD=DC，ADC=C=90°DE=CF，ADEDCFAE=DF，DAE=CDF，由于CDF+ADF=90°，DAE+ADF=90°AEDF；（2）是；（3）成立理由：由（1）同理可证AE=DF，DAE=CDF延长FD交AE于点G，则CDF+ADG=90°，ADG+DAE=90°AEDF；（4）如图：由于点P在运动中保持APD=90°，点P的

46、路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为O，连接OC交弧于点P，此时CP的长度最小，在RtODC中，OC=，CP=OCOP=点评：本题主要考查了四边形的综合知识综合性较强，特别是第（4）题要认真分析25如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N若正方形ABCD的变长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（）A a2Ba2Ca2Da2考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质分析：作EMBC于点M，EQCD于点Q，EPMEQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积求解解答：解：作EMBC于点M，EQCD于

47、点Q，四边形ABCD是正方形，BCD=90°，又EPM=EQN=90°，PEQ=90°，PEM+MEQ=90°，三角形FEG是直角三角形，NEF=NEQ+MEQ=90°，PEM=NEQ，AC是BCD的角平分线，EPC=EQC=90°，EP=EN，四边形MCQE是正方形，在EPM和EQN中，EPMEQN（ASA）SEQN=SEPM，四边形EMCN的面积等于正方形MCQE的面积，正方形ABCD的边长为a，AC=a，EC=2AE，EC=a，EP=PC=a，正方形MCQE的面积=a×a=a2，四边形EMCN的面积=a2，故选：D点评

48、：本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出EPMEQN26如图，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，连接BP、DP，延长BC到E，使PB=PE求证：PDC=PEC考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质专题：证明题分析：根据正方形的四条边都相等可得BC=CD，对角线平分一组对角可得BCP=DCP，再利用“边角边”证明BCP和DCP全等，根据全等三角形对应角相等可得PDC=PBC，再根据等边对等角可得PBC=PEC，从而得证解答：证明：在正方形ABCD中，BC=CD，BCP=DCP，在BCP和DCP中，BCPDCP（SAS），PDC=PBC，PB

49、=PE，PBC=PEC，PDC=PEC点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，等边对等角的性质，熟记各性质并判断出全等三角形是解题的关键27如图，四边形ABCD是正方形，BEBF，BE=BF，EF与BC交于点G（1）求证：AE=CF；（2）若ABE=55°，求EGC的大小考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质分析：（1）利用AEBCFB来求证AE=CF（2）利用角的关系求出BEF和EBG，EGC=EBG+BEF求得结果解答：证明：（1）四边形ABCD是正方形，ABC=90°，AB=AC，BEBF，FBE=90°，ABE+EBA=9

50、0°，CBF+EBA=90°，ABE=CBF，在AEB和CFB中，AEBCFB（SAS），AE=CF（2）BEBF，FBE=90°，又BE=BF，BEF=EFB=45°，四边形ABCD是正方形，ABC=90°，又ABE=55°，EBG=90°55°=35°，EGC=EBG+BEF=45°+35°=80°点评：本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得AEBCFB，找出相等的线段28如图，正方向ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，DAE=30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q若PQ=AE，则AP等于1或2cm（第1题图）考点：全等三角形的判定与性质；正方形的性质；解直角三角形分析：根