圆锥曲线与方程高考分析

1、圆锥曲线与方程高考分析一、高考分析C、圆锥曲线是解析几何的核心内容，是高中数学的重点，也是历年高考命题的 热点。客观题重点考查圆锥曲线的定义及应用；圆锥曲线的标准方程；圆锥曲线 的基本量（a、b、c、e、p等）还有离心率等问题。解答题考查的热点是：求圆 锥曲线的方程和轨迹方程；圆锥曲线的几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系； 范围、最值问题。许多试题虽以圆锥曲线形式出现，但要解决它，还需要涉及到 函数、不等式、方程、三角、向量、导数等有关知识的综合应用。、分值分布2012 年2013 年2014 年2015 年2016 年文数22分10分20分10分17分理数22分10分32分22分22分三、历

2、年高考真题及分析（一）文科历年高考试题（2012课标全国I,文4）设Fi、F2是椭圆E： |+ b|= 1（a>b>0）的左、右焦点,为直线 x=3a上 一点， RPE是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）(A) 2( B) 23(C) 44（D）4答案：C（2012课标全国I,文物线y=16x的准线交于10）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在 A, B两点，|AB|=4羽，贝U C的实轴长为x轴上，C与抛(A) /l答案：C(B) 2/2(C) 4(D) 820）（本小题满分12分）已知以F为圆（2012课标全国I，文 设抛物线C: x2=2py（ p>0）

3、的焦点为F,准线为I， A为C上一点， 心，FA为半径的圆F交l于B, D两点。（I ）若/ BFD=90° , ABD的面积为472,求P的值及圆F的方程；（II ）若A, B, F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到 m n距离的比值。（20）解；（I ）由已知可得BFD为等S点爾三角務.ESf的半翟I&I二运八由抛物线崔义可知月创/的宪處“上I柑卜运戶.为氐ABD 的ffi枳为 43 t 所ylj/?Dp-475.即g 2p=解符 p-2 （舍去人p2.所以尸（01凰F的右程为（II 凶対儿乩”三点在同一f（线柳上.用冋朋为圆尸的班私

4、二90°.由轴物线迟文知所WZJ/JD-3L.脚的斜率为李或-g.?3当丿片的的辜为也时由已知可设礼代入算.2砂得33;2方 L nX -芦"即P 二 U "3曲于与（？；有一个公誌点.社尸占=0解和A芸因为E的®更占-厂 典小 所业标®点到帕«逵A的比狙为3 2咖逬哄的軌牟先=空弘曲图他对称甘阴如.坐标巫盏剧即，比姬离的比说.为二（2013课标全国I,文4）已知双曲线y2yf5古=1(a>0,b>0)的离心率为 4则C的渐近线方程为（A. y = 答案：C土一 x4±1x3± xy = 2D . y

5、=±x75解析： e=2 c2= a2+ b2,.aa_丄4双曲线的渐近线方程为2 2，即 7-b =丄 a 2 .+ by = ±- X ,a5_.渐近线方程为苏故选C.（2013课标全国I,文8）0为坐标原点，F为抛物线C： y2= /2x的焦点，P为C 上一点，若|PF = 4貶，则POF的面积为（）.A. 2 B . 242C . 2罷D . 4答案：C解析：利用I PF = Xp +返=4近，可得xp= 3/2 .2|OF iU 2屁yP= ±2/6 .-Sa pof=故选C.（2014课标全国I,文24）已知双曲线笃a2=1（0）的离心率为2,则a =

6、3A. 2 B.J62C.D. 1【答案】：DJa 2 + 3 【解析】：由双曲线的离心率可得 =2，解得a =1，选D.a（2014课标全国I,文10）已知抛物线C: y2 =x的焦点为F , AXo, %是C上一点, AFA. 1 B.【答案】:=则 2 =()4 X0，则 X0'丿2 C. 4 D. 8A【解析】:根据抛物线的定义可知 AF15=X0 + - =一 X0，解之得 X0 = 1.选 A.44（2014课标全国I,文23）（本小题满分10分）选修4-4 :坐标系与参数方程X2 y2X = 2 +1已知曲线C：Z+厶=1，直线i汀（t为参数）49ly = 2-2t（1）

7、写出曲线C的参数方程，直线I的普通方程；（2）过曲线C上任意一点P作与I夹角为30°的直线，交I于点A，求I pA的最大值与最小值.X = 2cos 日【解析】：.（I）曲线C的参数方程为：（43为参数），ly =3si n 日直线I的普通方程为：2x+y6=05分(n) (2)在曲线C上任意取一点P (2cos8,3sin 6)到I的距离为-6，d =4COS0 +3sin 65则|吋爲普5sin (日)-6|，其中为锐角.且聞-牛当sin(日+a)=-1时，|PA|取得最大值，最大值为22,10分当sin(8+ot)=1时，|PA|取得最小值，最小值为 巫5-、.'一-.

8、 - - * ' - ' 1 I2C: y2=8x的焦点重合，A, B是C的准线与E的两个交点，则|AB|=(B) 6(C)9(D) 12(2015课标全国I,文5)已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为二，E的右 焦点与抛物线(A) 32 2C: y2=8x的焦点为(2,0)，则椭圆E务+占=1(aAbA0)中的 a b-C 12b2-b2 =2,e = = ,a =4,b2 =12,| AB |=6，答案故选 B.a 2a2(2015课标全国I，文16)已知F是双曲线C: X2-厶=1的右焦点，P是C的左8支上一点，A (0,6).当APF周长最小时，该三角形的面积为 答案：

9、12拆2解析：设F是双曲线C: x2-±=1的左焦点，而P是C的左支上一点，则8| P F |=| P F 1 十2, APF 周长等于 |PA|+| PF | 中| AF 鬥 PA| 中 | PL| + | AF |+2mAF'|+|AF|七=32,当且仅当点P,F：A共线时等号成立，点P在线段FA上, 线段F A: y = 2亦 +6巫-3 <x<0)，代入x2-=1可得88x2 -(2 辰 +6倆 2=8,X2 七x+14=0，解得 x = 2,x = 7 (舍去)，则 P(-2,276)到直线卡的距离为d =響,S十d 4 AF 1= 2琴15 =12屁(

10、2016课标全国I,文5)直线I经过椭圆的一个顶点和一个焦点， 若椭圆中心到的I距离为其短轴长的4,则该椭圆的离心率为111(B) 132(A)(D)34答案:(2016课标全国I,文20)(本小题满分12分)在直角坐标系中，直线I : y=t(t工0)交y轴于点M交抛物线C：/=2;nc(p>0)于点P，M关于点P的对称点为N,连结ON并延长交C于点H.OH而(I)求(II )除H以外，直线MH与C是否有其它公共点？说明理由. t2解：(I)由已知得M(0,t)，P(,t).2p又N为M关于点P的对称点，故N(-,t)，ON的方程为P宀，代入y2 =2px整理得 PX2 2t2x =0

11、，解得 Xi =0，因此H (空,2t).PP所以N为OH的中点，即册“(n)直线MH与C除H以外没有其它公共点.理由如下:直线MH的方程为y -t =2tx，即x =¥(y -t).代入y2 =2px得y2 4ty +=0，解得yi = y2 =2t，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没有其它公共点.2+爲=1（a>b:>0）的左、右焦点，P bE的离心率为（A）12【解析】选C(C)-4(D)- JA F2PFi是底角为30的等腰三角形=1=2片| =2(|a-c) =2c二 e = -34（2012课标全国I,理 线y2 =16x的准线交于8）等

12、轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物AB = 4/3 ;则C的实轴长为（A, B两点,(A) 72(B) 22(C) 4(D)8（二）理科历年高考试题X2（2012课标全国I,理4）设F1F2是椭圆E:a为直线八号上一点，也F2PF1是底角为30的等腰三角形，则【解析】选C设 C:x2 -y2 =a2(a >0)交 y2 =16x 的准线 I :x = -4 于 A(M,273) B(4,23)得: a2 =(7)2-(2 73)2 =4= a =2= 2a =4 （2012课标全国I,理20）（本小题满分12分）设抛物线C:x2 =2 py（ p aO）的焦点为F，准线为l

13、, A忘C，已知以F为圆心,FA为半径的圆F交I于B, D两点;（1）若N BFD =90° , AABD的面积为42 ;求p的值及圆F的方程;（2）若A,B,F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m,n距离的比值。【解析】（1）由对称性知：ABFD是等腰直角，斜边I BD|=2p点A到准线I的距离d =|fA =|FB| =72p圆F的方程为x2+（y_1）2 =82由对称性设A（x0,訓0>0），则F（吗）22点A,B关于点F对称得：B（-X0, p-理）=p-理一卫二x0=3 p22p2p2得：A(73p,)，直线 m: y23

14、3;_p=2 2爲px垮二x®字“2X2 =2pyu y = y' = 2pP433x = TP=切点卩（字自直线心弋书（x书PX -73y -坐标原点到m,n距离的比值为J33=3 o (Ifx Iby )（2013课标全国I,理4）已知双曲线2C 0-2a2j5古=1 (a>0, b>0)的离心率为-5-则C的渐近线方程为（A.答案：土一 X4 B).±1x.y = 3±- X.y=2 D . y=±x2_c_-2ac 45-e =-= 一 ,a 2a2=4b2, 二土1a 2渐近线方程为y=±bx±1x.a

15、2解析: e22 "2a +b2a_54X2 y2E： + 七=1（a>b>0）的右焦点为 F（3,0）, a b过点F的直线交E于A,B两点.若AB的中点坐标为（1，- 1），则E的方程为（2 2+工=12718（2013课标全国I,理10）已知椭圆A.答案：解析：2 2+£=14536D设 A(X1, y1), B(X2, y2), v A, B在椭圆上,2 2丄=13627).220 + Z=1189 a b122岸+务h-，得（X1 +X2 驚-X2）丄（ +y2 “1 -y2 ）=0 a2b2=0，即 b：=3 12八2、,a （为 + x2）（xX2

16、 ）AB的中点为（1 , 1）,.y1 + y2= 2, X1 + X2= 2,2而=kAB=，. b2=i.X1 X2312 a 2又a b = 9,.a = 18, b=9.22椭圆E的方程为一+£ =1.故选D.189（2014课标全国I,理4）.已知F是双曲线X2 -my2= 3m（m0）的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为B .3C .73mD . 3m【答案】:【解析】:2 2X -my =3m（m >0），得c2 = 3m + 3,c = l3m 3设f（s/33,0）, 条渐近线y,即x-7my =0,则点F到C的一条渐近线的距离d二翌互j1+m=43，选

17、 A.l上一点,A.72【答案】:（2014课标全国I,理10）.已知抛物线C : y2 =8x的焦点为F ,准线为I , P是Q是直线PF与C的一个交点，若FP =4FQ，则|QF| =B. -C.3D.22C【解析】：过Q作QML直线L于M， F=4FQPQ3又.QMPQ35=, QMPF44一 PF4=3，由抛物线定义知QF =QM =3(2014课标全国I,理20).(本小题满分12分)已知点A (0, -2 )，椭圆E :笃+每=1(a Ab >0)的离心率为3 , F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为 迈a b23O为坐标原点.(I )求E的方程;(n)设过点A的直线I与E相交于

18、P,Q两点，当iOPQ的面积最大时，求I的方程.【解析】：(I )设F(c,0)，由条件知-=2，得c=43c 32所以a=2,=a? -c? =1 ,故E的方程+ y? = 1.4.6分(n)依题意当l丄X轴不合题意，故设直线l : y = kx -2，设P(x1,y1 p X 2y 2 )2X将 y =kx -2 代入 一 + y2 =1,得(1+4k2 Jx2 -16kx+12 = 0 ,4当 =16(4k2 -3) >0 ,即 k2>3 时，X1,2=8k±2 4k 341+4k2从而PQ=Jk2 +14Jk2 +1b/4k2 -31 +4k22又点O到直线PQ的

19、距离dr=，所以也OPC的面积Jk2 +1设 xMk2 -3 =t,21 +4k则r>0，sPQ4t 亠勺t+4，tt2 +4 当且仅当t=2,k=±弓7等号成立，且满足也>0，所以当iOPQ勺面积最大时,l的方程为：八fx2或八¥-2.12分（2014课标全国I,理23）（本小题满分10分）选修44:坐标系与参数方程2 2已知曲线C:，直线l:x = 2 +1 2-2t（ t为参数）.（I ）写出曲线C的参数方程，直线I的普通方程;（n）过曲线C上任一点P作与I夹角为30°的直线，交I于点A，求|PA|的最大 值与最小值.1x = 2cos 日【解析

20、】：.（I）曲线C的参数方程为：j 2cos（0为参数），y =3si n 日直线I的普通方程为：2x+y 一 6=05分（n） （2）在曲线C上任意取一点P （2cos£,3sin 0）到I的距离为4cos9 + 3sin 日 -6|，5sin （日）-6 ，其中a为锐角.且tan上3当sin（日+僅）=-1时，|PA|取得最大值，最大值为22幕510分当sin（日）=1时，| PA|取得最小值，最小值为 2（2015课标全国I,理5）已知M（ X0,y0）是双曲线C:X22=1上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若MF1 MF2 <0,则yo的取值范围是（B）（半【答案】

21、A【解析】3试题分析=由题班斗（-忑0尼（厢肋、丄= h所以厕宓二 2（-舲-心.-坯）/5-心,-坯）七+允-3二划：-1 n，解得-写:丹 <写' 故选A.考点：向量数量积；双曲线的标准方程2 2（2015课标全国I,理14）. 一个圆经过椭圆 一+红=1的三个顶点，且圆心在x164轴上，则该圆的标准方程为【答案】（xt+y2-2524【解析】 试题分析：设圆心为（a ,0）,则半径为4|a|，则4 1*1 a |22 a2卡，解得a = 土弓， 故圆的方程为（x±|）2+y2哼考点：椭圆的几何性质；圆的标准方程 （2015课标全国I,理20）.（本小题满分12分）

22、2在直角坐标系xoy中，曲线C： y=与直线y=kx +a（a > 0）交与MN两点,4（I）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程;（n） y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有/ OPM/OPN说明理由。【答案】(I) TOx-y-a=0 或 7ax+y+a=0 (n)存在【解析】 试题分析：（I）先求出MN的坐标，再利用导数求出MN （n）先作出判定, 再利用设而不求思想即将y=kx + a代入曲线C的方程整理成关于x的一元二次 方程，设出MN的坐标和P点坐标，利用设而不求思想，将直线 PM PN的斜率 之和用a表示出来，利用直线PM PN的斜率为0,即可求出a,b关系，从而

23、找出适合条件的P点坐标.试题解析：(I)由题设可得M(27a,a) , N(272,a)，或M /2, a)小(2苗4).4x2八尹，故 y=-在x=2辰处的到数值为4a, C在(2辰a)处的切线方程 y-a =苗&-2苗)，即 /aX-y-a=0.2故y =在x=- 2运a处的到数值为-需,C在(-272a, a)处的切线方程为4y-a =Va(x+2掐)，即 7aX+y + a=0.故所求切线方程为 JOxya=0或jax + y+a=0.5分(n)存在符合题意的点，证明如下:设卩(0, b)为复合题意得点，M(X1,y1), N(X2,y2)，直线PM PN的斜率分 别为k1,k

24、2.将丫=収中a代入C得方程整理得x2-4kx-4a=0.二 Xi + X2 =4k, x,x2 = -4a.k * _ y1 -b + 丫2 -b=2kx1X2 +(ab)(X1 +X2)_k(a + b)x-ix2x1x2a当b = -a时，有k,+k2=0,则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补,12分故/ OPMM OPN所以P(0, -a)符合题意.考点：抛物线的切线；直线与抛物线位置关系；探索新问题；运算求解能力2 2(2016课标全国I,理5).已知方程 一-=1表示双曲线，且该双曲m +n 3m -n线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(A) ( - 1,3)( B) (

25、- 1,V3)(C) (0,3)(D) (0, V3)(2016课标全国I,理10).以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB=4j2 , |DE|=275，则C的焦点到准线的距离为(A)2(B)4(C)6(D)8(2016课标全国I,理20).(本小题满分12分) 设圆X2 +y2 +2X-15 =0的圆心为A,直线I过点B (1,0 )且与x轴不重合，I 交圆A于C, D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.(I)证明|EA+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程;(II )设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C于MN两点，过B且与l垂直的直 线与圆A交于P, Q两点，求四边形MPN面积的取值范围.解：(I)因为 |AD|mAC|, EB/AC，故 NEBD =NACD =NADC , 所以 | EB |斗 ED |,故 | EA