2020年高考数学第63讲直线与圆的综合应用

1、第63讲直线与圆的综合应用1. (2016福建四地六校联考)已知矩形ABCD的对角线交于点P(2,0)，边AB所在的直 线的方程为x+y2=0，点(1,1)在边AD上所在的直线上.(1)求矩形ABCD的外接圆的方程；(2)已知直线I:(12k)x+(1+k)y5+4k=0(kR),求证：直线I与矩形ABCD的外接 圆相交，并求最短弦长.39(1)依题意得AB 1AD，所以kAD=1.所以AD的方程为y1=x+1,即xy+2=0.|x+y2=0,|x=0,由得即A(0,2).xy+2=0,y=2.由已知得矩形ABCD的外接圆是以P(2,0)为圆心，|AP|=2 2为半径，其方程为(x2)2+y2

2、=8.(2)l:(x+y5)+k(y2x+4)=0,x+y5=0,x=3,5所以丫y2x+4=0,y=2.即直线I过定点M(3,2).因为(32)+2=5x/2由NP=.2 NM得xo=x,yo=y.2 2因为M(xo,yo)在C上，所以专+ =1.因此点P的轨迹方程为x2+y2=2.证明：由题意知F(1,O).设Q(3,t),P(m,n),则OQ=(3,t),PF=(1m,m,tn).由OP PQ=1得一3mm2+tnn2=1.又由(1)知m2+n2=2，故3+3mtn=0.所以OQPF=0,即OQ_LPF.又过点P存在唯一直线垂直于OQ, 所以过点P且垂直于OQ的直线I过C的左焦点F.2

3、24.(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M:x2+y2x=6上，求圆N的标准方程； 设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点，且BC=OA,求直线l的方程； 设点T(t,O)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得TA+TP=TQ，求实数t的取值范 围.堪3圆M的标准方程为(x6)2+(y7)2=25,所以圆心M(6,7)，半径为5.(1)由圆心N在直线x=6上，可设N(6,yo).因为圆N与x轴相切，与圆M外切，所以0vyoV7,圆N的半径为yo, 从而7yo=5+yo,解得yo=1.n),OQ PF=3+3mtn,OP=(m,n),PQ=(3因此，圆N的标准方

4、程为(x6)1 2 3 4 5+(yI 1.因为BC=0A=22BC2而MC=d+牙，2fm+5 X所以25=+5，解得m=5或m= 15.5故直线I的方程为2xy+5=0或2xy15=0.设P(xi,yi),Q(X2,y2).因为A(2,4),T(t,O),TA+TP=TQ,X2=X1+2t,所以sy2=y1+4.因为点Q在圆M上，所以 他6)2+(y27)2=25将代入，得(xit4)2+(yi3)2=25.于是点P(xi,yi)既在圆M上，又在圆x(t+4)2+(y3)2=25上， 从而圆(x6)2+(y7)2=25与圆x(t+4)2+(y3)2=25有公共点, 所以55W一 t+462+3725+5,解得22 ,2K t2+2 2i.因此，实数t的取值范围是22 2i,2+2 .2i.因为直线I OA,40所以直线I