全等三角形证明中考题选答案齐全

1、中考专题一一全等三角形解答题(共10小题)1.如图，已知AD是厶ABC的中线，分别过点B、C作BE丄AD于点E, CF丄AD交AD的延长线于点 F, 求证：BE=CF .2.如图1，将两个完全相同的三角形纸片(1) 操作发现如图2,固定 ABC，使 DEC绕点C旋转，当点 D恰好落在 AB边上时，填空: 线段DE与AC的位置关系是 ; 设厶BDC的面积为Si, AEC的面积为S2,则Si与S2的数量关系是 图1團2(2) 猜想论证当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1 )中Si与S2的数量关系仍然成立，并尝试分 别作出了 BDC和厶AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想

2、.(3) 拓展探究已知/ ABC=60 °点D是角平分线上一点，BD=CD=4 , DE / AB交BC于点E (如图4).若在射线 BA上存在点F,使dCF=SaBDE,请直接写出相应的 BF的长.® 43. 如图，把一个直角三角形 ACB (/ACB=90 °绕着顶点B顺时针旋转60°使得点C旋转到AB边上 的一点D，点A旋转到点E的位置.F, G分别是BD，BE上的点，BF=BG，延长CF与DG交于点H .(1) 求证：CF=DG ;(2) 求出/ FHG的度数.4. (1)如图，在 ABC 和厶ADE 中，AB=AC , AD=AE，/ BAC=

3、 / DAE=90 ° 当点D在AC上时，如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 将图1中的 ADE绕点A顺时针旋转角(0°< aV 90 °,如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和 位置关系？请说明理由.(2)当 ABC和厶ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在(1 )中的位置关系仍然成立？不必说明理由.甲:AB :AC=ADAE=1，/ BAC= / DAE 却0°乙:AB :AC=ADAE 为，/ BAC= / DAE=90 ° °丙:AB :AC=ADAE 鬥，/

4、BAC= / DAE 為0°5. 如图所示，在 ABC中，D、E分别是AB、AC上的点，DE / BC,如图，然后将 ADE绕A点顺 时针旋转一定角度，得到图 ，然后将BD、CE分别延长至M、N，使DM= BD，EN= CE，得到图，2 2请解答下列问题：(1) 若AB=AC，请探究下列数量关系： 在图中，BD与CE的数量关系是 ; 在图中，猜想AM与AN的数量关系、/ MAN与/ BAC的数量关系，并证明你的猜想；(2) 若AB=k?AC (k> 1),按上述操作方法，得到图 ，请继续探究：AM与AN的数量关系、/ MAN 与/ BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.

5、6. CD经过/ BCA顶点C的一条直线，CA=CB .图丄BEC= / CFA= / a.(1) 若直线CD经过/ BCA的内部，且E, F在射线CD上，请解决下面两个问题： 如图 1，若/ BCA=90 ° / a=90°则 BECF; EF|BE - AF| (填 > ”， Z ”或=”)； 如图2，若0°<Z BCA v 180°请添加一个关于/ a与/ BCA关系的条件 ，使 中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.(2) 如图3，若直线CD经过/ BCA的外部，/ a= / BCA，请提出EF, BE , AF三条线段数量关系的

6、合 理猜想(不要求证明).7课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1, 己知四边形 ABCD中，AC平分/ DAB ,/ DAB=60 ° / B与/ D互补，求证：AB+AD= 二AC 小敏反复探索，不得其解.她想，若将四边形 ABCD 特殊化，看如何解决该问题.(1) 特殊情况入手添加条件：2 B= / D”，如图2，可证AB+AD= J|AC;(请你完成此证明)(2) 解决原来问题受到(1)的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3,过C点分别作AB、AD的垂线, 垂足分别为E、F.(请你补全证明)&如图，已知 AB=AC ,(1) 若 CE=BD，求证：GE=GD

7、 ;(2) 若CE=m?BD (m为正数)，试猜想GE与GD有何关系.(只写结论，不证明)9. (1)已知：如图 ，在 AOB 和厶COD 中，OA=OB，OC=OD，2 AOB= 2 COD=60 ° 求证：AC=BD ;2 APB=60度；(2) 如图，在 AOB 和厶 COD 中，若 OA=OB，OC=OD，2 AOB= 2 COD= a，贝U AC 与 BD 间的等量关系式为 ; 2 APB的大小为 ;(3) 如图，在 AOB 和厶 COD 中，若 OA=k?OB，OC=k?OD ( k > 1)，2 AOB= 2 COD= a，贝 U AC与BD间的等量关系式为 ;

8、2 APB的大小为 10. （A类）如图，DE丄AB、DF丄AC .垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知 条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况） AB=AC ； BD=CD ； BE=CF已知：DE丄AB、DF丄AC，垂足分别为 E、F, AB=AC , BD=CD 求证：BE=CF已知：DE丄AB、DF丄AC，垂足分别为 E、F, AB=AC , BE=CF 求证：BD=CD已知：DE丄AB、DF丄AC，垂足分别为 E、F, BD=CD , BE=CF 求证：AB=AC（B类）如图，EG/ AF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件，另一个为结

9、论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况） AB=AC ; DE=DF ; BE=CF 已知：EG / AF , AB=AC , DE=DF 求证：BE=CF参考答案与试题解析一.解答题（共10小题）1. （2013?泉州）如图，已知 AD是厶ABC的中线，分别过点 B、C作BE丄AD于点E, CF丄AD交AD 的延长线于点 F,求证：BE=CF .考点：全等三角形的判定与性质.专题：证明题.分析：根据中线的定义可得 BD=CD，然后利用 角角边”证明 BDE和厶CDF全等，根据全等三角形对应 边相等即可得证.解答：证明： AD是厶ABC的中线， BD=CD ,/ BE 丄 AD , CF丄

10、AD ,/ BED= / CFD=90 °心 BDE和厶CDF 中,rZBED-ZCFD=90d“ ZBDE-ZCDF,kBD=CD BDE CDF ( AAS ), BE=CF.点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，利用三角形全等证明边相等是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用.2. （2013?可南）如图1,将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中/ C=90°Z B= / E=30°（1）操作发现如图2，固定 ABC，使 DEC绕点C旋转，当点 D恰好落在AB边上时，填空： 线段DE与AC的位置关系是DE / AC ; 设厶BDC的面积为S1

11、, AEC的面积为S2,则S1与S2的数量关系是SS?.C图1（2）猜想论证当厶DEC绕点C旋转到如图3所示的位置时，小明猜想(1)中Si与S2的数量关系仍然成立，并尝试分 别作出了 BDC和厶AEC中BC、CE边上的高，请你证明小明的猜想.(3) 拓展探究已知/ ABC=60。，点D是角平分线上一点，BD=CD=4 , DE / AB交BC于点E (如图4).若在射线 BA上存在点F,使S dcf=Sa bde，请直接写出相应的 BF的长.® 4考点：全等三角形的判定与性质.专题： 分析：几何综合题；压轴题.(1) 根据旋转的性质可得 AC=CD，然后求出 ACD是等边三角形，根据

12、等边三角形的性质可 得/ ACD=60 °然后根据内错角相等，两直线平行解答；根据等边三角形的性质可得 AC=AD，再根据直角三角形 30。角所对的直角边等于斜边的一半求出AC= AB，然后求出AC=BE，再根据等边三角形的性质求出点C到AB的距离等于点D到AC2的距离，然后根据等底等高的三角形的面积相等解答；(2) 根据旋转的性质可得 BC=CE , AC=CD ,再求出/ ACN= / DCM ,然后利用 角角边”证明 ACN 和厶DCM全等，根据全等三角形对应边相等可得AN=DM，然后利用等底等高的三角形的面积相等证明；(3) 过点D作DFi / BE，求出四边形BEDFi是菱

13、形，根据菱形的对边相等可得BE=DF i，然后根据等底等高的三角形的面积相等可知点Fi为所求的点，过点 D作DF2丄BD，求出/ FiDF2=60°从而得到 DFiF2是等边三角形，然后求出 DFi=DF2，再求出/ CDFi = Z CDF2，利用 边角边”证明 CDFi和厶CDF2全等，根据全等三角形的面积相等可得点F2也是所求的点，然后在等腰 BDE中求出BE的长，即可得解.解答:解：(I) DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上， AC=CD ,/ BAC=90 °-Z B=90°- 30°=60° ACD是等边三角形，/ ACD=60

14、°又/ CDE= / BAC=60 °/ ACD= / CDE , DE / AC ；/ B=30 ° / C=90 ° CD=AC= ,AB， BD=AD=AC ,根据等边三角形的性质， ACD的边AC、AD上的高相等， BDC的面积和 AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等) 即 Si=S2；故答案为：DE / AC ; S仁S2；(2) 如图， DEC是由 ABC绕点C旋转得到， BC=CE , AC=CD ,/ ACN+ / BCN=90 ° / DCM+ / BCN=180 ° - 90 °90 °

15、/ ACN= / DCM ,在 ACN和厶DCM中，rZACN=ZDCM“ ZCMD=ZN=90",应二CD ACN DCM (AAS ), AN=DM , BDC的面积和 AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等) 即 Si =S2 ；(3) 如图，过点 D作DFi / BE,易求四边形 BEDFi是菱形，所以BE=DFi，且BE、DFi上的高相等，此时 SdCF=SBDE ,过点D作DF2丄BD ,/ ABC=60 °/ FiDF2=Z ABC=60 °DF1F2是等边三角形，- DFi=DF2, BD=CD，/ ABC=60 ° °点

16、D是角平分线上一点，/ DBC= / DCB= >60°=30 °2/ CDFi=i80 °- 30°i50° °/ CDF2=360 °- i50°- 60°i50° °/ CDFi= / CDF2 ,/在 CDFi 和厶CDF2 中,DFi二DP? ZCDFZCDFj,CDS CDFiA CDF2 ( SAS),点 F2也是所求的点/ ABC=60 °点D是角平分线上一点，DE / AB ,/ DBC= / BDE= / ABD= >60°=30 &

17、#176; °2又 BD=4, BE= >4 pos30°=2=223'点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的面积，等边三角形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟练掌握等底等高的三角形的面积相等，以及全等三角形的面积相等是解题的关键，(3)要注意符合条件的点 F有两个.3. (2013?大庆)如图，把一个直角三角形 ACB (/ ACB=90 °)绕着顶点B顺时针旋转60°,使得点C旋 转到AB边上的一点 D，点A旋转到点E的位置.F, G分别是BD , BE上的点，BF=BG，延长CF与

18、DG 交于点H.(1) 求证：CF=DG ;(2) 求出/ FHG的度数.考点：全等三角形的判定与性质.分析：(1)在厶CBF和厶DBG中，利用SAS即可证得两个三角形全等，利用全等三角形的对应边相等 即可证得；(2)根据全等三角形的对应角相等，即可证得/DHF= / CBF=60 °从而求解.解答：(1)证明：在 CBF和厶DBG中，“ ZCBF=ZBDG=50 ,bf=bg CBF DBG (SAS), CF=DG ;(2)解： CBF DBG ,/ BCF= / BDG ,又/ CFB= / DFH ,/ DHF= / CBF=60 °/ FHG=180 °

19、-Z DHF=180。- 60°=120°点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，正确证明三角形全等是关键.4. (2012?阜新)(1)如图，在 ABC 和厶ADE 中，AB=AC , AD=AE，/ BAC= / DAE=90 ° 当点D在AC上时，如图1,线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； 将图1中的 ADE绕点A顺时针旋转角(0°< aV 90° ,如图2,线段BD、CE有怎样的数量关系和 位置关系？请说明理由.(2)当 ABC和厶ADE满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段BD、CE在(1 )中的

20、位置关系仍然成立？不必说明理由.甲:AB :AC=ADAE=1 , / BAC= / DAE 却0°乙:AB :AC=ADAE 为，/ BAC= / DAE=90 ° °丙:AB :AC=ADAE 鬥，/ BAC= / DAE 為0°考点：全等三角形的判定与性质.专题：几何综合题；压轴题.分析：(1)BD=CE , BD丄CE .根据全等三角形的判定定理SAS推知 ABD ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得 BD=CE、对应角相等/ ABF= / ECA ;然后在 ABD和厶CDF中，由三 角形内角和定理可以求得/CFD=90 °即BD丄

21、CF;BD=CE , BD丄CE .根据全等三角形的判定定理 SAS推知 ABD ACE，然后由全等三角形 的对应边相等证得 BD=CE、对应角相等/ ABF= / ECA ;作辅助线(延长 BD交AC于F，交CE 于H) BH构建对顶角/ ABF= / HCF，再根据三角形内角和定理证得/ BHC=90 °(2)根据结论、的证明过程知，/ BAC= / DFC (或/ FHC=90 °时，该结论成立了，所以 本条件中的/ BAC= / DAE却0。不合适.解答：解：(1) 结论：BD=CE , BD丄CE; 结论：BD=CE , BD丄CE1分 理由如下：I/ BAC=

22、/ DAE=90 °/ BAC -/ DAC= / DAE -/ DAC，即/ BAD= / CAE T 分在厶ABD与厶ACE中，rAB=ACZBAD=ZCAElad=ae ABD ACE ( SAS) BD=CE 1 分延长BD交AC于F,交CE于H .在厶ABF与厶HCF中，/ ABF= / HCF, / AFB= / HFC/ CHF= / BAF=90 °10 BD 丄 CE-3 分AE，/ BAC= / DAE=90 ° 2-分o本题考查了全等三角形的判定与性质. 理.注意：在全等的判定中，没有 因为勾股定理，只要确定了斜边和一条直角边，另一直角边也确

23、定，属于 都不能唯一确定三角形的形状；另外三条中线（或高、角平分线）分别对应相等的两个三角形也全 等.HL均可作为判定三角形全等的定AAA （角角角）和 SSA （边边角）（特例：直角三角形为 HL SSS）,因为这两种情况DE / BC ,如图，然后将 ADE绕A点顺时针旋转一定角度，得到图得到图，请解答下列问题：，然后将BD、CE分别延长至M、N，使 DM=丄BD , EN=丄CE,2 2（1）若AB=AC，请探究下列数量关系:5. （2009?仙桃）如图所示，在厶ABC中，D、E分别是AB、AC上的点, 在图中，BD与CE的数量关系是 ; 在图中，猜想AM与AN的数量关系、/ MAN与/

24、 BAC的数量关系，并证明你的猜想；（2）若AB=k?AC （k> 1）,按上述操作方法，得到图 ，请继续探究：AM与AN的数量关系、/ MAN与/ BAC的数量关系，直接写出你的猜想，不必证明.考点：全等三角形的判定.专题：|压轴题；探究型.分析：(1) 根据题意和旋转的性质可知 AEC ADB，所以BD=CE ; 根据题意可知/ CAE=BAD , AB=AC , AD=AE ,所以得到 BAD CAE ,在厶ABM 和厶ACN 中，DM=2bd , EN=2cE，可证 ABMACN，所以 AM=AN，即/ MAN= / BAC .2 211(2)直接类比(1)中结果可知 AM=k

25、?AN，/ MAN= / BAC . 解：(1) BD=CE ; AM=AN，/ MAN= / BAC ,/ DAE= / BAC ,/ CAE= / BAD ,在厶BAD和 CAE中AE=AD' ZCAE=ZBAD CAE BAD ( SAS),lac=ab/ ACE= / ABD ,/ DM=_BD , EN=_CE,2 2 BM=CN ,在厶ABM和厶ACNfBM=CNZACNZABJIi AB 二 AC ABM ACN中,(SAS), AM=AN , / BAM= / CAN ,即/ MAN= / BAC ;(2) AM=k ?AN , / MAN= /BAC .本题考查三角形

26、全等的判定方法和性质.判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形 全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件本题还要会根据所求的结论运用类比的方法求 得同类题目.6. （2008?台州）CD经过/ BCA顶点C的一条直线，CA=CB . E, F分别是直线 CD上两点，且 / BEC= / CFA= / a.12医11（1）若直线CD经过/ BCA的内部，且E, F在射线CD上，请解决下面两个问题： 如图 1,若/ BCA=90 ° / «=90°则 BE =

27、CF; EF = |BE - AF| （填、”，Z ”或=”）； 如图2,若0°v/ BCA v 180°请添加一个关于/ a与/ BCA关系的条件 / a / BCA=180 ° ，使 中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立.（2）如图3，若直线CD经过/ BCA的外部，/ a= / BCA，请提出EF, BE , AF三条线段数量关系的合 理猜想（不要求证明）直角三角形全等的判定；三角形内角和定理.几何综合题；压轴题.由题意推出/ CBE= / ACF，再由AAS定理证 BCE CAF，继而得答案. 解：（1）/ BCA=90 ° / a=90&#

28、176;/ BCE+ / CBE=90 ° / BCE+ / ACF=90 °/ CA=CB，/ BEC= / CFA; BCE CAF , BE=CF ; EF=|BE - AF| . 所填的条件是：/ a+Z BCA=180 °证明：在 BCE 中，Z CBE+ Z BCE=180。- Z BEC=180。- Z a. vZ BCA=180 °-Z a, Z CBE+ Z BCE= Z BCA .又 vZ ACF+ Z BCE= Z BCA , Z CBE= Z ACF ,又 v BC=CA , Z BEC= Z CFA , BCE CAF ( AA

29、S ) BE=CF, CE=AF , 又 v EF=CF - CE, EF=|BE - AF| .（2） EF=BE+AF .本题综合考查全等三角形、等边三角形和四边形的有关知识.注意对三角形全等，相似的综合应用.7. （2007?绍兴）课外兴趣小组活动时，许老师出示了如下问题：如图1,己知四边形 ABCD中，AC平分Z DAB , Z DAB=60 ° Z B与Z D互补，求证：AB+AD=:AC .小敏反复探索，不得其解.她想，若将四边形ABCD特殊化，看如何解决该问题._（1） 特殊情况入手添加条件：2 B= Z D”，如图2，可证AB+AD="AC;（请你完成此证明

30、）（2） 解决原来问题受到（1）的启发，在原问题中，添加辅助线：如图3,过C点分别作AB、AD的垂线， 垂足分别为E、F.（请你补全证明）13考点： 专题： 分析：直角三角形全等的判定. 证明题；压轴题；开放型.(1)如果： 2 B= / D”，根据/ B 与/ D 互补，那么/ B= / D=90 ° 又因为/ DAC= / BAC=30 ° AC , 那么 AD+AB= 7AC .2CFD和BCD全等即可得到(1)的条1)的解法进行计算即可.因此我们可在直角三角形 ADC和ABC中得出AD=AB=解答:(2)按(1)的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形 件根据AAS

31、可证两三角形全等， DF=BE 然后按照( 证明：(1)v2 B 与2 D 互补，2 B= 2 D, 2 B= 2 D=90 °2 CAD= 2 CAB= 2 DAB=30 °2在 ADC 中，cos30°=上'，AC在厶 ABC 中，cos30°=5,AC22甌 AB+AD=(2)由(1)知，AE+AF= 7AC ,/ AC为角平分线，CF丄CD, CE丄AB , CE=CF.而/ ABC与/ D互补，2 ABC与/ CBE也互补， / D= 2 CBE.在 RtA CDF 与 Rt CBE 中，rZCEB=ZCFD弋 ZD=ZCBElCE=C

32、F Rt CDF 也 Rt CBE . DF=BE . AB+AD=AB+ (AF+FD ) = (AB+BE ) +AF=AE+AF= VAC .点评:本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法,解决本题的关键.也是& (2007?常德)如图，已知 AB=AC ,(1)若 CE=BD，求证：GE=GD ;14（2）若CE=m?BD （m为正数），试猜想GE与GD有何关系.（只写结论，不证明）考点：全等三角形的判定与性质. 专题：证明题；压轴题；探究型.分析：(1)要证GE=GD，需证 GDFGEC，由已知条件可根据 AAS判定.(2)若 CE=m

33、?BD ( m 为正数)，那么 GE=m?GD .解答：证明：(1)过D作DF / CE,交BC于F,贝E=Z GDF ./ AB=AC ,/ ACB= / ABC/ DF / CE,/ DFB= / ACB ,/ DFB= / ACB= / ABC . DF=DB ./ CE=BD , DF=CE ,在厶GDF和厶GEC中， rZE=ZGDF“ ZDGF-ZEGC,df=ec GDF GEC (AAS ). GE=GD .(2) GE=m?GD.点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL.本题的辅助线是解决题目的关键.9. (20

34、06?泰安)(1)已知：如图 ，在 AOB 和厶COD 中，OA=OB , OC=OD , / AOB= / COD=60 ° 求证：AC=BD ;/ APB=60度；(2)如图，在 AOB和厶COD中，若 OA=OB , OC=OD , / AOB= / COD= a,贝U AC与BD间的等量 关系式为 AC=BD ; / APB的大小为 _;15(3) 如图 ，在 AOB 和厶COD 中，若 OA=k?OB, OC=k?OD ( k> 1), / AOB= / COD= a,贝U AC 与BD间的等量关系式为AC=k ?BD ;/ APB的大小为180° 专题：

35、分析：解答:探究型.考点：全等三角形的判定；三角形内角和定理.(1) 分析结论AC=BD可知，需要证明 AOC BOD，围绕这个目标找全等的条件；(2) 与图 比较，图形条件发生了变化，仍然可以证明 AOC BOD，方法类似;(3) 转化为证明 AOC BOD .解：(1)/ AOB= / COD=60 °,/ AOB+ / BOC= / COD+ / BOC .即：/ AOC= / BOD .又 OA=OB , OC=OD , AOC BOD . AC=BD .由得：/ OAC= / OBD ,/ AEO= / PEB，/ APB=180。(/ BEP+ / OBD ), / AOB=180。(/ OAC+ / AEO ),/ APB= / AOB=60 °(2) AC=BD , a(3) AC=k ?BD , 180° a.DCB图点评：三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件.10. (2005?南宁)(A类)如图，DE丄AB、DF丄AC .垂足分别为E、F.请你从下面三个条件中，再选出 两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题(只需写