潮州2016届高三上学期第三次调研考试理数

1、潮州市2016届高三上学期第三次调研考试数学（理科）注意事项：1 本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自 己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题卡上。2. 回答第I卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。3. 回答第n卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。4 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第I卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合M工5, a2 -3a 5, N

2、=1,3，若M Cl N =.一，则实数a的值为（）A . 1B. 2C. 4D. 1 或 22i 32. 复数z = i3 （i为虚数单位）的共轭复数为（）i 1A. 1 2i B. i -1C. 1 -i D. 1 -2i3. 若函数y = f（x）的定义域是1.0,2 1,则函数g（x） = f （2x）的定义域是（）x -1A . 0,1）U（1,2B . 0,1）U（1,4C . 0,1）D . （1,44兀4. 已知 sin r - cos （0 ：二：一），则 sin r - cos 的值为（）3442<211A .B .C .D .33335. 已知圆O : x2 y2

3、=4上到直线丨：x y = a的距离等于1的点至少有2个，则a的取值范围为（）A . （-3迈3&）B .（-二,-3、2） U（3 2 二）C . （ -.2,2 .2）D . -3、一2,3、26. 甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻的排法有（）种。A . 24B. 48C . 72D . 1207.已知向量m =（sin代一）与向量n= （3,sin A 3cosA）共线，其中A是 ABC的内角,则角A的大小为（）A.JIB.-4JIC.-3jiD.-8.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的1007B.

4、2015C.2016D. 3024若双曲线2器1(a0,b.0)与直线点，则离心率e的取值范围是（开始A. (1,2)B.(1,2C.(1八5)D. (1, 5x _0,y _0ax by a 0,b0的最大值为12,!：；'2的最小值为（bC.一一325A.612若函数f （x）满足：在定义域 D内存在实数X。，使得 f(X01) = f(X0)f(1)成立,1 f (XPX则称函数f（x）为“啲饱和函数”。给出下列四个函数: f (x) =2X ； f (x)二 lg(x22)； f (x) =cos 二 x .其中是“啲饱和函数”的所有函数的序号为（A .B .C.D .第口卷本

5、卷包括必考题和选考题两部分。第13题第21题为必考题，每个考生都必须做答。第22题第24题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共 4小题，每小题5分。13. 已知a = -2 sin xdx，则二项式 x2 的展开式中x的系数为I x丿14. 已知向量a = 1,J3，向量b= 3,m .若向量b在向量a方向上的投影为3,则实数m =.15. 设数列a*的前n项和为S，且ai=a2=1 , n Sn+(n+2)an为等差数列，则数列 an ? 的通项公式an =.16.设点P在曲线y=2ex上，点Q在曲线y = ln(2x)上，则|PQ|的最小值为三.解答题：解答应写出文字说明，证明过

6、程或演算步骤。17. (本小题满分12分)如图所示，在四边形 ABCD中,.D =2 B，且 AD =1,CD =3 ,(1)求 ACD的面积；(n)若 BC = 2 . 3，求 AB 的长.18. (本小题满分12分)某商场一号电梯从1层出发后可以在2、3、4层停靠。已知该电梯在1层载有4位乘客, 假设每位乘客在 2、3、4层下电梯是等可能的。(I)求这4位乘客中至少有一名乘客在第 2层下电梯的概率；(n)用X表示4名乘客在第4层下电梯的人数，求 X的分布列和数学期望。19. (本小题满分12分).ABC =60，E,F分别是BC,PC的中点。如图，已知四棱锥PABCD中，底面A BCD为菱

7、形，PA _平面A BCD,(I)证明：AE _平面PAD ；(H)取AB = 2，若H为PD上的动点，EH与面PAD所成最大角的正切值为 ，求二面角E _AF -C2 B的余弦值。20.(本小题满分12 分)2 2已知中心在原点的椭圆 C: x2 -y2 =d(a 0,b 0)的一个焦点为Fi(3,0), a b3点M (4, y)(y 0)为椭圆上一点，.MOFi的面积为2(I)求椭圆C的方程；(n)是否存在平行于 OM的直线I，使得直线l与椭圆C相交于A B两点，且以线段AB为直径的圆恰好经过原点？若存在，求出I的方程，若不存在，说明理由。21. (本小题满分12分)已知函数 f (x)

8、 = ax x2 - xln a a 0, a 屮1 .(I)求函数f(x)的单调区间；(n)若存在x1,x2-1,11,使得f(xj - f(x2) - e-1 ( e是自然对数的底数)求实数a的取值范围。请考生在第22、23、24题中任选一题做答。答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。22. (本小题满分10分)【选修4-1 :几何证明选讲】如图，正方形ABCD边长为2，以D为圆心、DA为半径的圆弧与以 BC为直径的半圆0C交于点F，连结CF并延长交AB于点E .(I)求证:AE|EB ;(H)求 EF|FC 的值。23. (本小题满分10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】"x

9、=1 + coS已知曲线C的参数方程是(日为参数)，直线I的极坐标方程为=2 + sin日f 环、rPsin日+ I = V2 .(其中坐标系满足极坐标原点与直角坐标系原点重合，极轴与直角坐 <4丿标系x轴正半轴重合，单位长度相同。)(I)将曲线C的参数方程化为普通方程，将直线 I的极坐标方程化为直角坐标方程；(n)设 M是直线I与x轴的交点，N是曲线C上一动点，求 MN的最大值。24. (本小题满分10分)【选修4-5:不等式选讲】已知函数 f(x)=|x+2|2|x1 .(I)求不等式 f(x) _ -2的解集；(n)对任意a,，都有f (x)乞x-a成立，求实数a的取值范围。选择题

10、:本大题共题号 1答案 D1.【解析】由题意得,数学(理科)参考答案12小题，每小题5分。1011122a - 3a +5 = 1 或 3，解得故选D 2【解析】因为Z二三i3厂2：1'Z T-2i ,所以由共轭复数的定义(i -1)(i1)知，其共轭复数为1 2i，故应选A 3.【解析】根据题意有:22，所以，所以定义域为0,1) 故选C.x -1 = 0x = 14兀164 【解析】因为 sin cos (0)，两边平方可得：1 - 2sin二cos3497725T即 sin v cos，所以(sin ： - cos r)2 = 12sin)cosv=1= ，又因为 0 ：189

11、942所以 sin v : cost，所以 sin v -cost : 0，所以 sin 二-cos =，故应选 B 35.【解析】由圆的方程可知圆心为0,0，半径为2因为圆上的点到直线 丨的距离等于1的点至少有2个，所以圆心到直线 丨的距离d ： r d。= 2 T，即d二2厂a沁,12 12 、2解得a (-3、2,3 J2) 故A正确."2 " 4 心6.【解析】甲乙相邻用捆绑法，所以A2A4 =48，故应选B 7.【解析】:常 n , sin A(sin A、3 cos A)-寸=0.口空 Usin2A，"2 2 2fsi n2A *cos2A =1,si

12、 n( 2-)=1A (0,二),二 二 11"：2AW(WT)JI JJ所以2a_6y,ah，故应选C8.【解析】此程序框图表示的算法功能为求和,用分组方式,常数项1共2016个，和为2016;余弦值四个一组，每组和为2，共504组,S =2016 504 2 = 3024，故选 D 9.【解析】由题意可得,*2，故：川再根据e> 1,可得e的取值范围，故选 D .10.【解析】如图，该几何体是正方体中的 NBCQ，正方体的棱长为2，四面体NBCQ的四个面的面积分别为2,2',2,2、迈,2'、3，最大的为2.3 故应选C.11.【解析】画出不等式表示的平面区

13、域，当直线z =ax+by(a >0,b aO)过直线 x_y + 2 = 0与直线 3x_y_6 = 0 的交点(4,6)时，目标3 2函数 ax by a 0,b - 0取得最大12,即 2a 36，则 a b亘空.旦空=2些空一42a3b2a 3b3当且仅当= 2时取等号。故选 D .b = 112.【解析】对于，若存在实数xo，满足f(Xo 1)= f(X。)* f(1)，则十二丄 1 所X。+1 X。2以xo +x° +1=0(X°式0,且X。式1),显然该方程无实根，因此不是“啲饱和函数”；对于，若存在实数X。，满足f (xof(Xo f (1)，则2X)

14、4 =2X)2，解得Xo=1，因此是1的饱和函数；对于，若存在实数 xo，满足f(X。斗1) = f(X。)+ f (1)，则lg |(Xo 1)2 2 = lg(Xo2 2) lg(12 2)，化简得 2x。2 -2x。*3 = 0 ,显然该方程无实根, 因此不是“啲饱和函数”；对于，注意到 f匚+1 = cos= -1 ,13丿 32JTf(1)=cos cos 二31 1 1，即f(1"f(打，因此是啲饱和函数综上可知，其中是 “1的饱和函数”的所有函数的序号是，故选B二填空题：本大题共 4小题，每小题5分。13. -64014. .315. 夭 16. ,2(1-1 n2)J

15、T5 f j 4 rr13.【解析】因为 a = 2josi nxdx = 4,Tr4r=C5(x2) 一 =C；(4)x10°r, 、x丿2 令10-3r =1，解得r =3，则展开式中x的系数为C； -4 =一640.4 4a b3 3m14 【解析】根据投影的定义可知3=:|； = 3m3 .15.【解析】当 n =1 时，nSn (n - 2)a S1 3印=4 ；当 n = 2时，nSn (n 2)an = 2S2 4a2 = 2(a1 a2) 8，所以数列 1nSn (n 2)an /是以4为首项，4为公差的等差数列，所以 nSn - (n2)an=4n即§ (

16、n 2)an = 4，n当n _2时Sn i (n 1总=4，-得并整理得:an _ n an j2(n -1)所以有a. _2n12(n-2)所以an二玉w - aan A an 2a1n n -12(n -1) 2(n -2)nJ ,_ n _1当n -1时，适合此式，所以1 x 、16.【解析】函数y e和函数yTn(2x)互为反函数图像关于 y=x对称，则只有直线PQ与直线y = x垂直时| pq |才能取得最小值。设1P(x, ex)，则点P到直线y=x的距21 xe -2.21，令 gx 才-xg。),则g'x十一1 ,ex -1 - 0 得 0 ： x ln 2 ,1 1

17、 令 g' xex -1 0 得 x l n 2 ； 令 g'则g x在0,ln2上单调递减，在ln 2,二 上单调递增。1 In 21 _ l n 2则 x =1 n 2 时 g x min e-1n 2 =1 -1n 2 0，所以 dmin则|PQ =2dmin = J2(1 -In 2)。(备注：也可以用平行于y = X的切线求最值)三解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17. (本小题满分12分)2 1解：（I） cosD = cos2B = 2cos B -1 （2 分）3因为.D 0,二，所以 sin D =2-2 , （4分）3所以 ACD的面积S A

18、D CD sin D =込（6分）2（8分）（n）解法一：在 ACD 中，AC2 二 AD2 DC2 _2AD DC cos 12 ,所以 AC =2.3 .在厶 ABC 中，AC2 = AB2 BC2 -2AB BC COSB =12 （10 分）（12 分）把已知条件代入并化简得：AB2 _ 4AB = 0因为AB = 0，所以AB = 4（8分）解法二：在 ACD 中，在 ACD 中，AC2 = AD2 DC 2 _ 2AD DC COSD =12，所以 AC =2 .3 .因为 BC =2、3, AC担，所以仝!, （10 分）sinB sinNACBsin B sin（兀一2B）得

19、AB =4 . （12 分）18. （本小题满分12分） 解：（I） 设4位乘客中至少有一名乘客在第2层下电梯的事件为 A,1由题意可得每位乘客在第 2层下电梯的概率都是，（2分）3贝V P（A） =1 -P（A） =1 -65（4分）81（5 分）（n） x的可能取值为0,123,4,由题意可得每个人在第 4层下电梯的概率均为 1，且每个人下电梯互不影响,3所以 XLBS,1） （6 分）3X01234P163224818181818181（10 分）1 4E（X） =4 -. （11 分）34所以所求的期望值为 -. （12分）19. （本小题满分12分）解：（I）证明：由四边形ABCD为

20、菱形，.ABC =60°,可得 ABC为正三角形，因为E为BC的中点，所以 AE _ BC （1分）又 BC / AD，因此 AE _ AD （ 2 分）因为PA _平面ABCD , AE 平面ABCD ,所以PA_AE （分）而 PA 平面 PAD , AD 平面 PAD , PA AD = A ,所以AE _平面PAD （5 分）（6分）又 SE = EO2 SO2阪（10 分）10（n）（法1： H为PD上任意一点，连接 AH , EH由（1）知AE _平面PAD，则.EHA 为EH与平面PAD所成的角 在RT EAH中，AE = .3，所以当 AH最短时，即当 AH _ PD

21、时，.EHA最大,此时 tan .EHA-生 36，因此 AH=2 （7 分）AH AH 2又AD =2，所以.ADH = 450，所以PA = 2因为PA _平面ABCD , PA 平面PAC ,所以平面PAC _平面ABCD ,过E作EO _ AC于O，贝U EO _平面PAC ,过O作OS _ AF于S，连接ES ,则.ESO为二面角E - AF -C的平面角，（9分） 33在 RT AOE 中，EO =AE sin 30°,AO =AE cos30° ：2 23 : 2 又F是PC的中点，在 RT ASO中，SO = AO sin45°4在 RT.：ESO

22、 中，cos. ESOr0-，SE 5即所求二面角的余弦值为15。 (12 分)5(11 分)(2)法2：由(1)可知AE,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，以AE,AD,AP分别为x, y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。设AP二a , (6分)则 A(0,0,0), B( . 3, -1,0),C( ._ 3,1,0), D(0,2,0),P(0,0, a), EC，3,0,0), F(三丄？)2 2 2sin2 v -| cos : n, HE |2 =33 4C -1)2 a2 2(a24) 2 -87H(0,2 - 2 ,a )(其中0,1) . HE = (.一 3,2( &

23、#39; -1),-a') 面PAD的法向量为 (1,0,0)EH与平面PAD所成最大角的正切值为3(a24) -27的最大值为即 f (a) = (a2 4)，2 一8丘 7 在0,1的最小值为 5，4-函数f (a)对称轴二(0,1)，a +44所以f(a)min二f(飞 )=5，计算可得a=2 (8分)a +43 1所以 AE =( .3,0,0), AF =(仝，丄,1)2 2J T>AE = 0设平面AEF的一个法向量为m=(X1，Z1)，则>>、mAF =0因此.31，取乙=-1，则 m=(02T) (9 分)"X1石乙7BD =(_3,3,0)

24、为平面AFC的一个法向量. (10分)卜3x =011（11 分）所以 cos ： m, BD15|m|BD|5所以，所求二面角的余弦值为J55（12 分）20.(本小题满分12分)解: （ 1）S MOF1:F1是椭圆的焦点33y 二22y 2(1 分)16 1 ,12 2a b（2 分）.a2 =b2（3 分）由解得：a2 =d8,b2 =9（4分）2 2椭圆的方程为189（5分）11(2) OM的斜率k ，设I的方程为y x m，44（6分）联立方程组y=1x m2 4 2整理得 9y2 -16my 8m2 -9 =0.x_ 18922_ （ 9应9逅二 16m 1 -4 9 8m2 -

25、9 1 >0，解得 m ：- '（7 分）2设 A B两点的坐标为(X1, yJ(X2, y2)，贝U % y2 二16, 丫"2 二並 999（8分）以AB为直径的圆的方程为(x-xj(x-X2) ( y - yj(y - y2)=0.该圆经过原点.x1x2 y1 y 0.2x1x2 = （4y1 -4m）（4 y2 -4m16y1y2 -16m（y1 y2） 16mx-i x2 y-i y2 = 16 y-i y16m（ y-i y2） 16m2 y1y2122=17 % y2-16m( y! y2) 16m仃）对伽2=。99解得口=遊J空吐'4 I 44

26、丿经检验，所求I的方程为y=x -102 44（备注：若消去的变量为 y，按对应给分点给分即可）21.（本小题满分12分）（11 分）（12 分）解：(I) f(x)=axl na + 2x -1 na=2x + (ax -1)1 n a .(1 分)因为当a 1时，In a 0 , ax -1 In a在r上是增函数，因为当0 ： a ： 1时，In a . 0 , ax-1 In a在r上也是增函数，所以当a 1或0 : a ：1,总有f （x）在R上是增函数， （2分）又f （0） =0，所以f（x） .0的解集为（0, +：）, f' x : 0的解集为-二,0 ,（3 分）故

27、函数f（x）的单调增区间为（0, + ：），单调减区间为-：，0 . （4分）（n）因为存在 x1,x2 -1,1,使得 f （xj - f（X2） >e -1 成立，而当 X 壬一1,1时，f(X1)f(X2)< f(X)max - f (x)min ,所以只要 f (X)max - f (X)min > e -1 即可.(5分)X(-°°,0)0(0, +°°)厂(X)0+f(x)减函数极小值增函数又因为x , f （x） , f （x）的变化情况如下表所示:所以f(x)在-1,0上是减函数，在0,1上是增函数，所以当 x-1,1时

28、，f x的最小值f X min = f 0 =1 , f X的最大值f X max为f -1和f 1中的最大值.(7分)11因为 f(1) f(1)=(a + 1 -I na)( +1 + In a) =a 2I na , aa'131 12 1令 g(a) =a 一丄 一2ln a(a 0)，因为 g(a) =1+ 二=(1 一丄)20 ,aa a a1所以g(a)=a 2lna在aO,； 上是增函数.(9分)而 g(1) =0，故当 a 1 时,g a 0，即 f .f(_1)；当 0 ：a ：1 时,g a .0,即 f（1）： f（1）.所以，当 a 1 时，f(1)-f(0) > e-1，即 a-l na > e-1,1当 0 ：a ：1 时，f （一1） _f（0） > e -1，即 lna > e1，函数y =a-lna在a=（1,；）上是增函数，解得 a> e ; （10分）a11函数y =，lna在