专题6解析几何——曲线与方程的双向研究及探索与证明

1、专题 6 解析几何曲线与方程的双向研究及探索与证明一. 本周教学内容：专题 6 解析几何曲线与方程的双向研究及探索与证明二. 考点提要：1. 求曲线方程主要有两种类型：一是曲线形状已知，求曲线方程；二是曲线形状未知， 求曲线（轨迹）方程。2. 在解析几何综合问题中，主要有位置问题（涉及到交点判断、弦长、面积、对称共线 等）；范围问题（运用到函数的值域、最值、二次方程实根的分布） ；最值问题（设变量，建 立目标函数，求最值） 。三. 知识串讲：1. 求曲线方程 将曲线看成适合某几何条件的点的集合动点轨迹。 （1）直接法：步骤 建立适当的直角坐标系，设动点M （x, y） 列出几何等式： P =

2、M|P（M ） 代入坐标M （x, y）,列出方程F （x, y）= 0 化简方程 证明（略），注意对特殊情况的讨论。（ 2）转移法（相关点法）（ 3）参数法2. 由方程画曲线（ 1）讨论范围（ 2）讨论对称性若f （ x， y） f （x， y），则曲线关于y轴对称；若f （x， y） f （x， y），则曲线关于x轴对称； 若f （ x， y） f （x，y），则曲线关于原点对称。（3）分别令x= 0， y= 0得纵、横截距（ 4）列表、描点、连线3. 求曲线的交点 两条曲线有交点的充要条件是它们的方程组成的方程组有实数解。 方程组有几个实数解，两条曲线就有几个交点。4. 直线与圆锥曲线消

3、去y （或x）直线 l： y kx m曲线C: F（x, y） 0高三二轮专题复习 2006-4得到关于x (或y)的一元二次方程ax bx c 0 a 03则 3的 0I与C有两个公共点0 I与C相切0 I与C无公共点(相离)0时,设交点 A x1，y1 ， B x2，y2X1X2(1)弦长公式：221ABv1 kX1x24x1X27(2)中点弦：设弦AB中点M(X0, y°)，则X1x2y1 y2k x1x22mayi22内部时,在曲线可由(XO，yo)CX1'X22 ，2y24y2y1 y2X1x2当M的关系。“代点法”表达直线的斜率k与中点M的坐标例如:22a2b22

4、y2b2XiX2X1X2如y2 y1y2b2y1y2x1x2.2bx1x22aY1Y22“02ay。对称点(3)设二次曲线C上总有关于直线I的对称点AB IAB被I平分kAB k|1AB中点坐标满足I方程(中点M在曲线C内部)(4)点与圆锥曲线高三二轮专题复习2006-4点M X。, y，点M在椭圆内2Xo2 a2yo1b21点M在椭圆外2Xo2 a2yo 1b2点M在双曲线内部2 2xoyo2.2ab1点M在抛物线内部y02 pxo5.圆锥曲线(1)知识结构椭圆定义p m|mf1|MF，| 2a，第二定义eo e 1lPNl标准 方程2 2笃 爲 1 a b o ab2 2爲笃 1 a b

5、o ab图形1昂皿o.yo)二4(xo,yo)LJ丿iCJ* A32t讣隹占八、八、F1( C, 0) , F2( C,o)F1 (0,c), F2(o, c)高三二轮专题复习2006-4半焦距c Ja2b2c 、/a2 b2对称性x轴，y轴，点（0, 0）x轴，y轴，点（0, 0）准线2axc2 a y c顶点 范围Ai a， 0A2 a， 0B1 0，bB2 0， ba x ab y bAi 0， aA2 0， aB1 b， 0B2 b， 0b x ba y a离心率ce 上 0 e 1ace 上 0 e 1a焦半径PFiPF2a ex0a ex0PFi|PF2a ey。a ey。渐近线无

6、，焦准距：2.2F2K 玄 c Lcc高三二轮专题复习2006-4半焦距c Ja2 b2c Ja2 b2对称性x轴，y轴，点（0, 0）x轴，y轴，点（0, 0）准线2 a xc2ayc顶点 范围A a， 0A2 a， 0实轴长AjA2 2a 虚轴长B1B2 2bA1 0，aA2 0， a实轴长AA2 2a 虚轴长B1B 2b离心率c彳e e 1 ac彳e e 1 a焦半径lPFl ex0 a （ P X0， y 在右支上）PF2 ex0 a渐近线bx22y x （或由务0.）aabby xa（2）圆锥曲线的统一定义圆锥曲线包括圆、椭圆、双曲线和抛物线可以看作用平面以不同方法截圆锥面所得到的截

7、线，它们的统一定义：平面内到定点F和定直线I距离之比等于常数 e （离心率）的轨迹。（F为焦点，I为准线）高三二轮专题复习2006-4（e 0，为圆）当0 e 1时，轨迹为椭圆 当e 1时，轨迹为抛物线 当e 1时，轨迹为双曲线在直角坐标系中，圆锥曲线的方程都是关于x、y的二元二次方程，所以也称它们为二次曲线。【典型例题】（一）求定性曲线的标准方程2 2x V从椭圆 1 a b 0上一点M向x轴作垂线恰好通过椭圆的左焦例 1.a b点F1, A、B分别是椭圆长，短轴的长短轴的端点，AB / OM，设Q是椭圆上一点，当QF2丄AB时，延长QF2与椭圆交于另一点P,若F1PQ的面积为20-3，求此

8、 椭圆的方程。解：F1c， 0，Aa， 0 ， B 0， b/ 、22.(C)V M121XMC, 2ab2.22 cb4-Vmb1 22aa高三二轮专题复习2006-4b2b2y Mak ABkOMb2acv AB / OM ,b2ac b c, a,2c则椭圆方程为2X2 c22X-12 I c又 PQ 丄 AB,.kPQ1k AB则PQ方程为y代入方程整理得:5x28cx2 c2Q X2, y2,则x18cX2,X12 2 x2c5弦长| PQ4 2c256、2c又点F1到PQ的距离 SF1PQ丄PQ 2c 20.32二 c 25所求椭圆方程为502J 125已知椭圆以坐标轴为对称轴，且

9、焦点在 例2.x轴上，离心率e它与直说明：运用方程思想求圆锥曲线的基本量是解析几何中最基本也是最重要的思想方法, 务必熟练掌握。线x y 10相交于P、Q两点,若OP丄OQ ,求椭圆的方程。高三二轮专题复习2006-4因为椭圆以坐标轴为对称轴, 解：且焦点在X轴上，离心率V3e2故可设椭圆方程为2 X2 a又 c a2 b2a>32，即a2b故椭圆方程为2X4b2将直线1代入该椭圆方程,5x2 8x 4 4b206424 4b2I6 5bXiX2设P Xi，yi，Q X2，Xi X28524 4b5 OP 丄 OQ，- Xi X2即 x1 x2 x1 i x2 i 0即 2x1 x2xi

10、 x2 1 04 4b25 b2满足580,二 b2高三二轮专题复习2006-4所求椭圆方程为2x52（二）求动点的轨迹方程例3.如图，过点M0）作直线I交双曲线x2 y2 1于A、B两点，O是解析:(2 ,原点，以由它们联立方程组得:24k x4k210-xiX24k21 k2有yik x12k x24k1 k2又AB中点与PO中点重合x1x221 k2yiy?22kk2例4.设点A、B为抛物线垂足，求点M的轨迹。0代入方程y4x得点A坐标4k4同样可得B4k2,4k4k42牙 4k k4kk1 k2则koM1 k2kABk直线AB的方程为4kk1 k24k2解.设直线OA的方程为y kx

11、kk即yx 4 1 k2又直线OM的方程为k2k2消去k,得:而当k=± 1时，点M的坐标为（因此，所求点M的轨迹方程为4, 0),也满足方程3。2y x x 42 22 y24 x 0点评：本题运用“参数法”求动点轨迹方程，值得注意的是，在得到动点的横纵坐标与参数满足的两个等式后， 并不需要解出动点轨迹的参数方程，而是根据具体情况直接由两个方程消去参数。（本题采用了将两个方程相乘消参数的方法）得到动点轨迹的普通方程。高三二轮专题复习2006-421,点P (a, b)的坐标满足a21,已知椭圆C的方程为x2例5.2过点P的直线|与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：(1)

12、 点Q的轨迹方程；(2) 点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数。解：(1)设点A X!，% , B X2，y，点Q的坐标为X，y当x1 x2时，设直线l的斜率为k,则l的方程为y k x a b122由已知x： 里1, X； 里 122将以两个方程两端相减，得：X1 X2 X1 X2- y1 y2y1y °即y1X1Y2X22 x1X2Y2Y1由ky1y2,xX1X2y1y2,yX1X222代入上式，得k2x代入方程1y2x yXaby点Q的坐标满足方程2x2y2 2ax by 02当X1 X2时，k不存在，此时AB中点Q落在x轴上，即Q a, 0，显然Q点坐标满足方程<2>综

13、上，点Q的坐标满足方程为2x2 y2 2ax by 0(还要考虑条件a21)高三二轮专题复习2006-42x2由2x得(2 a22 2b )x4ax2 b20因为8b2由已知a当 a2b221时,0,曲线与椭圆C有且只有一个交点P(a, b)当a2b221时,曲线与椭圆C没有交点因为（0, 0）在椭圆C内,又在曲线上，所以曲线 1在椭圆内故点Q的轨迹方程为2x22ax by 0(2 )由2x2axby得曲线 1与y轴交点0(0, 0),(0, b)由y 202x2axby得曲线 1与x轴交于点（0,00), (a,0)当a= b= 0时, 与x轴只有一个交点点 P( a, b) (0, 0)。

14、为原点，此时（a, 0）（ 0, b）与（0, 0）重合，曲线1y22ax by2y- 12当a 0且0 |b|、2时，即点P （a, b）在椭圆内的y轴上，且去掉原点,此时点（a,0）与（0,0）重合，曲线1与坐标轴有两个交点（0,6与（0,0）;同理，当b= 0且0v|a| 1，即点P （ a, b）在椭圆内的x轴上且去掉原点，此时曲线 与坐标轴有两个交点（a, 0）, （0, 0）当0 |a| 1且0 |b|,2（1 a2）时，即点P （ a, b）在椭圆内且不在坐标轴上时，曲线1与坐标轴有三个交点（a, 0）, （b, 0）与（0, 0）。（三）解析几何中的探索与证明例6设A、B是椭圆

15、3x2 y2上的两点，点N （1, 3）是线段AB的中点，线段AB的垂直平分线与椭圆相交于 C、D两点。（1）确定入的取值范围，并求直线 AB的方程；（2） 试判断是否存在这样的入，使得A、B、C、D四点在同一个圆上，并说明理由。解.（1）设直线AB的方程为y k x 13代入方程3x2 y2，得高三二轮专题复习2006-42 2 2(k 3)x 2k k 3 x k 301设 A 石, B X2, y?,贝U2 24 k 33 k 302且x1X22k k 32k 3由N(1, 3)是AB中点'得宁1k22 k k 3 k 3 k 1代入 2得 12即取值范围是(12,，直线AB的方

16、程为y 3 x 11，并由NkAB(或者:利用“点差法”求1，3在椭圆内, lCD123212 )即x y 20代入椭圆方程，整理得：24x 4x 403(2 )丁 AB的中垂线为CD ,高三二轮专题复习2006-4又设C X3、纸,D X4, y4 , CD中点为 M x。，y。则 x3x41X3X41 o3-x0，y0x02222 M由弦长公式得:|CD|444t x y 40 /口 2由 22 得：4x2 8x 16053x y同理得 |AB| Ji ( 1)2-84 16厂TT612 , . 23212假设存在入12,使得A、 点M到直线AB的距离为:B、C、D四点共圆，则CD必为圆的

17、直径,为圆心。Xo yo 42MA2MB 2d2-AB291232|CD|22 2 22故当12时，A、 B、C、D四点均在以M为圆心，囱为半径的圆上。于是由4、6、7和勾股定理可得:2例7.已知椭圆的中心在坐标原点 0,焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点的直线交椭圆于A、B两点，0A 0B与a 3, 1共线。(1)求椭圆的离心率；(2 )设M为椭圆上任意一点，且 OM OA OB , R，证明22为定值。高三二轮专题复习2006-42 2（1）设椭圆方程为x2y21 a b 0 , F（ c, 0）解：ab2 2则直线AB的方程为y x c,代入椭圆 笃 与 1 a b2 .2 2 2 2

18、 2 2 2化简为 a b x 2a cx a c a b 0设A x!, % , B X2, y?,则b2a2b22a ay与a 3,1共线,x20c由 OA OBx1X2 ,y1得 0 %y2X1X20即 3 x1 cX2cX1即 3 x1 x22cX1X23cx1x222即 2a c23ca b2 2 2a 3b ；22 6ac . ab3故离心率eca32 aXi（2 ）由（1）知：a2 3b22 2 a c所以椭圆方程为 x2 3y2 3b2高三二轮专题复习2006-4设M (x, y),由已知x, yX1, y1X2, y2.xX1X2yy1y M在椭圆上:x12X23 y1y22

19、 3b为定值 说明：解析几何中含有向量条件是近年高考出现的新题型，解这类问题主要有两个思路：一是运用向量的性质及其运算将向量消去，转化为常规的解析几何问题加以解决；二是直接2 2 22222即 x1 3y1X23 y22X1 x23%y23b X1X23y2x1x23 X1c x2 c4x1x23 x12x2 c 3c3 29 22cc3c 022又x： 3y： 3b2, x；3y；3b2代入12式，得2【模拟试题】1.如图，圆Ol和圆°2的半径都等于1线PM、PN（ M、N为切点），使得PM 的轨迹方程。°1。2 4，过动点P分别作圆°1、圆°2的切2

20、PN，试建立平面直角坐标系，并求动点P高三二轮专题复习2006-4PF1、F2 在 x2. 一个椭圆中心在原点，焦点轴上,P 2，' 3是椭圆上一点，且PFi、F1F2、PF2成等差数列，求椭圆的方程。3.点A位于双曲线2x2a2yr i a 0, b b0上,Fi是它的左焦点，求线段 AFi的中占I 八、P的轨迹方程。4.Fi、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，PFi丄PQ , PFi PQ ,求椭圆的离心率。5设 A Xi，yi、当直线l的斜率为2时，求I在y轴上截距的取值范围。2 2x y6.如图，点A、B分别是椭圆36201的长轴的左、右端点，点 F是椭圆的

21、右焦点,点P在椭圆上，且位于 X轴上方,求点P的坐标；PA丄 PF。(1)(2)设M是椭圆长轴AB上一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上点到点M的距离d的最小值。高三二轮专题复习2006-42x 2 C:盲 y 1 a 0,7.设双曲线a与直线1: x y 1相交于两个不同点 a、Bo求双曲线C的离心率e的取值范围。8.给定抛物线C4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点。设FB AF ,若4， 9，求I在y轴上的截距的变化范围。求学的三亍条件是:雾观蔡、寥吃芝、案硏究高三二轮专题复习2006-4【试题答案】1解：以°1。2的中点为原点,Q。2所在直线为x轴，建立

22、如图所示的平面直角坐标系则 °12 , 0 , °2 2 , 0由已知PM 2 PN ,PM2PN2因为两圆的半径均为 1 P°22 P°；设Px，则3333所以所求轨迹为2解：设椭圆方程为2 x 2 ayb2，不妨设F1C, 0 , F2 C, 02ea1 22e) 4c，即 a 2cR F2 2c, PF2t PF1、F1F2、PF1 a 2e,(a 2e) (a高三二轮专题复习2006-4x0，则二 b丄12432又ab21222由<1><2> 得：a8, b 62 2x y 1故所求椭圆方程为8 63解：设线段AFl中点P

23、又焦点b2，x0 va2 b2x2Xo2xb2yo2y因为点位于双曲线2 X 2 a2 y b22 jXp_.2a2x2a2 b24y22 b4解：设PhPQPR高三二轮专题复习2006-4PF1I PF11F1Q在Rt36PF2QFi|PQ| |FiQ|2 |PFi|QF22a4a.2m 4a，4a 2 22 2(2、2 )m 4a2 a，PF22aPF1 F2 中_ 2、2 a24、2 a22塔9a：6： 3PF14c26、一2PF22(2c)4c26.22 35解:设I在y轴上的截距为b,2x b则I方程为y/ I是AB中垂线，则I的方程可设为212 2x x m 0代入y 2x得：2高

24、三二轮专题复习2006-41142 m8m0则441m(*)即321设AXi , yi ,B X2,y2x.则1 x24设AB中占Nxo,yo,则1111XoXiX2,yoXom m28216.11 ,m2b又N点在1上,168二 b5 m16代入（*）式:bi56 2 b 932即得直线l在y轴上的截距的取值范围是9326.(1)解：由已知得点A 6, 0 , F 4,0设 Px，y，则APx 6, y , FPx 4, y/ AP 丄 FP,FP AP 0(x4)(x26) y o22xy13620消去y,得:22x 9x 1803x解得：2或x 60x -y又y 0，只能 2，于是'2高三二轮专题复习2006-4点P的坐标为(2)解:5 30_2TV2直线AP的方程为设点M m,点M到直线APd的距离由题意 2又 6 m 6, M (2, 0)设椭圆上点(X,y),则d27解:MN2时,由方程组x y2x-2a消去y,得:2 X2 a2a2a2由题意a204a225 24x 4x 4 20