_极限与连续__基础练习题含解答

1、第二章 极限与连续 基础练习题(作业)§2.1数列的极限、观察并写出下列数列的极限:1.2.2,4,6,勻(1极限为13 5 71 11,2 33.2n -12n1.2nn为奇数极限为1n为偶数§2.2函数的极限一、画出函数图形，并根据函数图形写出下列函数极限:1. lim exx极限为零2. lim tanxXT无极限3. lim arctanxX_严tJI极限为 -2无极限，趋于、设2x 1,f (x)二 x2 -x 3,.x2-1,x, 11 ： x, 2，问当 Xr 1 , Xr 2 时,x 2f (x)的极限是否存在?2lim . f (x)二 lim( x -x

2、 3) =3 ; |if (x)二 |im(2 x 1) = 3lim f (x) =3.2Q7 lim .f (x lim (x 1)=3； lim f (x lim( xx 3)=5 = 3 Xim2 f(x) 不存在。1三、设f x二，求X > 0时的左、右极限，并说明 X > 0时极限是否存在.1+ex/ lim f x = lim jo jo -1 +ex1 lim f x = lim T x )0 x_011 +exxim，f(x) 不存在。四、试讨论下列函数在 X. 0时极限是否存在.1 绝对值函数f x =|x| ,存在极限为零2. 取整函数f X=X 不存在3.

3、符号函数f x=sgnx不存在里.3无穷小量与无穷大量一、判断对错并说明理由：11. xsin 是无穷小量.x错，无穷小量需相对极限过程而言，在某个极限过程中的无穷小量在其它极限过程中可能不11再是无穷小量。当 X； 0时，xsin0 ；当1时，xsin sin1不是无穷小量。XX2同一极限过程中两个无穷小量的商，未必是该极限过程中的无穷小量.对，两个无穷小量的商是“ 0/0 ”型未定式，即可能是无穷小量，也可能是无穷大量或其它有极限但极限不为零的变量。3.无穷大量一定是无界变量，而无界变量未必是无穷大量.对，无穷大量绝对值无限增大因此一定是无界变量，但无界变量可能是个别点无限增大，变量并不能

4、一致地大于任意给定的正数。F列变量在哪些极限过程中是无穷大量，在哪些极限过程中是无穷小量:1.Xr 2时，或X时，为无穷小量; X ' 1时，或X、T时，为无穷大量。1 , -In tanx2., k zXr(k 二2Xrk二时，jix kr： 兀1 +厂时，tan X-，则In tan x-，从而> 0+为无穷小量;In tan x1tan Xr 0 ，则In ta nx),从而0一为无穷小量；In tan x14时，tan x 1，则In tan x 0，从而为无穷大量；In tan xx2，、. X和3 x都是无穷小量，它们是否为同阶无穷小量，如果不是它们之间最高阶和最低阶

5、的无穷小量分别是谁?w / Y_-Iim0 ,所以当x > 0 时，x是x的高阶无穷小量。2xIim 3x 0 3 xx_0 .1= IimxC x)=0，所以当x > 0 时，x2是3 x的高阶无穷小量。 x_0 16 x _ _= lim x =0，所以当x > 0 时，、二是3x的高阶无穷小量。通过比较可知，当 x > 0 时，x2，-匸和3 x不是同阶无穷小量，其中 x2是'、和3 x的高阶无穷小量，因此 X2是三者中最高阶的无穷小量。X2和X都是3 X的高阶无穷小量，因此3 X是三者中最低阶的无穷小量。四、利用无穷小量与极限的关系证明：Iim f(x)

6、g(x) = Iim f(x)Iim g(x).x 貞0X *x Jx0证明：设Iim f(x)二A , Iimg(x) = B，则由无穷小量与极限的关系，f(x) = A* ,X JX3XXg(x)二B :，其中:-为Xr X时的无穷小量。则 Iim f (x)g(x)二 Iim( A ： )(B J = Iim( AB ： BA沐)二 AB=Iim f (x) Iim g(x)X wX -X3里.4极限的性质与运算法则、如果Iim f (x) =A0 ,则存在x0的空心邻域，使得(1) (2) (4)成立.X JX0(1) f(x)有界；(2) f (X)非负；(3) f(x)落入其中；(

7、4) I f(x) - A|： ； , - ；0 .、求下列函数的极限1.li 3n+() nm3n1 (一2)nnr2. lim n 匚 1 .21+.2 3X2 +3x 43. linx 1 x -14.linx 1 x31 x35.阿公 4x2-2x原式=lim xF J4x2 -1 +2x3)2原式=lim一31产=2 -X$1 -X3 +(1 -X二 linx L :-1a,b，使得4 一 ！2-14三、求x21lim Fl x+1-ax - b0=0原式x2+1ax2ax bxb 广 x ；一ax_b_；=limlim0x.：x 1x .；：必有a =1（否则原式一-'）；

8、同时有a b = 0（否则原式，0）;3 _2 _+4四、若lim axX 二b为有限值，求 a, b.x . .1由题意必有32lim xax -x *4=0（否则商的极限不可存在）=aX >1原式二linX. 14 = lim (x "(H)比=b = 10X冷么5极限存在性定理与两个重要极限1.、判断题:sin x lim x1=1错2.3.4.sin (x-1)lim1 对x 1 x -1.sin xlim1 错xt： x1lim xsin1 对x_ x5.6.mon Xxsin 1 错xX1 八+m(1oH X7.当 x > 0 时，sin x,arcsin x

9、, tanx,arctanx,ln(1 x),e -1 都是 x 的等价无穷小.对、求下列函数极限:1. lim 沁x 0 tan3xsin2x 2xx ； 0, _tan 3x L 3xsi n( x2 4)2. limx £ x -2Tx > 0,sin(x2 -4)_ x2 -4.lim 沁 “im 空二x 10 tan3x x°3x 3原式= lim x)2 x 2=4.xarcta n x4 .limx X 1lim丫 x = 0, arctan xx7=lim 1X7i11 2 2x-1.lim x lim -x 10 arctan xxo x=1.2x-

10、11 15. lim =lim(1 x -1)1x/6.呵：(x2IX2-1lim i x x-1/ 、lx + 1 丿4x -1)x4 =e4Pm 1-x1-x14eex丿=1.7. xmoIn (1 x x2 x3)x& lim泌切 t ln(1+x)Tln( 1 x x2 x3)L x x2x3(x； 0)Tsin ( sxn)：sin ; lxi( 1x x) (23Xln(1 X X X)7m0lim =1.X 0 X=1 lim sinGin x) = *7 ln(1+x)1 2 n三、求极限lim(22) n n n 1 n n 2 n n n1 2|l| n 12n22

11、22-n n n n n1 n n 2 n n n jim 12 川 n 血 0n)n/21 片_ 12|( n* n n2 n n n由两面夹法则n2 n n,且 lim 22 n' n2n 11 2川 n-n n 1(1 n)n/2=lim 厂n n2 n 1四、设Un =1n2 n 112 ，nn21 1+十+ 十2232证明数列Un的极限存在.Un_(n 1)21.0,. un为单调递增数列.111 11 -2 2 2 n23n由单调有界定理,数列 Un的极限存在.五、设a 0 ,1 a为0，且有Xn 1（Xn），（n =1,2川|），证明数列xn的极限存在,2 Xn并求极限.

12、* Xn 1 = 1 (Xn )- a rXn f 有下界.2Xn2-人二-（旦-人）U 氐）乞0,久？单调递减（从第二项起）.2 Xn2Xn由单调有界定理，数列xn的极限存在若叫"代有aE（A，可解得A爲.里.6函数的连续性、填空题 1 设函数 f xn 1 ，若补充f 0二二1_可使f X在x二0处连续.Xx2 _12 X =1是函数厂卩二的第丄类间断点，且为间断点3.tan x的第1类间断点，且为可去间断点.xX =k兀(k =±1,±2)是函数y =二的第 2 类间断点，且为 无穷 间断点.'tanxx二kk = 1,_2 是函数y 的第 1 类间

13、断点，且为 可去 间断点.2tan xx a4. x=a是函数y=的第 1 类间断点，且为 跳跃 间断点.x a2 15. X =0是函数y二COS2 的第_2_类间断点.x二、研究下列各函数的连续性，找出其间断点，并判断其类型:x 0x _01 -COSX1. f(x)二 x2.x2 1,1 _ cos x 12V lim 2; lim( x *1)=1 , x = 0为第一类跳跃间断点。X)0 - x 2 X)0 12. f(x)二 ex1 1V lim_ex =0; lim: , x=0为第二类无穷间断点。3.2X -Xf (x)厂|X|(X2-1)x(x -1)|x|(X-1)(X 1

14、)X=0为第一类跳跃间断点。X =1为第一类可去间断点。 x=-1为第二类无穷间断点sin xx四、f(x) = a,x : 0x = 0 ，确定a,b使b xs in 丄,x1.f (x)在x =0处有极限=lim沁X X= lim(. b xsin1) , b =1.2.f (x)在x =0处连续二lim沁x x1=lim (b xsin ) = a .=1.五、f (x)二ex(x-a)(x-1)确定a,b使同时满足(1) x = 0是f (x)的无穷间断点，即即(X)型(x-a)(x-1) aa = 0.X1 e -b=0， b 二 e.a,b上至少存在一点'，(2) x =1是f(x)的可去间断点，即lim f(x)存在，则必有li 六、设f (x)在a,b上连续，且f(a)冬a , f(b)