2016年高考文数热点题型和提分秘籍专题15两角和与差的正弦、余弦和正切公式

1、专题15两角和与差的正弦.余弦和正切公式2016年高考文数越克题型和提分秘籍【咼频考点解读】1. 会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2. 能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3. 能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、 余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4. 能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆 )【热点题型】题型一三角函数式的化简与给角求值【例1】已知a (0, n )，化简:aa(1 + sin a + cos a )( cos sin )2+ 2cos a(2)2sin

2、50° + sin 10 ° (1 + 羽tan 10 ° ) 寸2sin 280°=解析(1)原式=2 a2cos 2 + 2sina 2 a .2 aacos 2 cos 2 sin 2 cos 2 cos aaacos cos 因为0v a V n，所以0v 2 V 2，所以cos ； > 0,所以原式=COS a .原式=2sin 50+ sin 10cos 10 °+ V3sin 10 ° ' cos 10 °'2si n 80 ° = (2s in 50 ° + 2si

3、n 1012cos 10+ 23sin 10cos 102cos 10 ° = 2 2sin 50° cos 10 ° + sin 10 ° cos(60 ° 10° )=2a/2s in (50 ° + 10° ) = 22 *乎=6.答案(1)cos a (2)6【提分秘籍】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”：三看结构特征，找到变形的方向，常(2)对于给角求值问题，一般给定另外此类问题也常

4、通过代数变形(比见的有“遇到分式要通分”，“遇到根式一般要升幂”等.的角是非特殊角，这时要善于将非特殊角转化为特殊角. 如：正负项相消、分子分母相约等 )的方式来求值.【举一反三】(1)4cos 50 ° - tan 40 °=()A. 2 B. 2： ；3C. 3 D . 2 2- 11(2014 临沂模拟)化简:sin 2a sin 2 3 + cos2a cos23 qcos 2 a cos 23 =解祈(D原式=4win 40° - Sin cos 4040* wiq 40 一 win 40°cos 40*cos 40*(120令 一一占讪 40

5、& cos 40°40+ sin 40* - sin 40" cos 40°40cos 40(2)法一(从“角”入手，复角化单角)2 2 2 2 1 2 2原式=sin a sin 3 + cos a cos 3 2(2cos a 1)(2cos3 1)=sin2sin2221a3+cos acos32(4cos=sin2sin2 c2232a3cos acos+ cosa=sin2sin222323a3+cos asin+ cos2212 2 2 2a cos 3 2cos a 2COS 3 + 1)， 1+ cos 3 212=sin3 + cos 3

6、 2法二（从“名”入手，异名化同名）原式=sin 2 a sin 2 3 + (1 sin 2 a )cos 2 31严 2 a C0S 2 322221小=cos 3 sin a (cos 3 sin 3 ) qCos 2a cos 2 32 2 1=cos 3 cos 2 3 (sin a + qCOS 2 a )1 + cos 2 311cos 2 3 = 7法三（从“幕”入手，禾U用降幕公式先降次原式=1 cos 2 a 1 cos 2 31 + cos 2 +2 2 + 21 + cos 2 31qcos 2 a cos 2 31(1 + cos 2 a cos 2 3 cos 2

7、a COS 2 3 ) + (1 + cos 2 a cos 2 3 + cos 2 a + 441cos 2 3 ) qcos 2 a cos 2 31 1 1 =一+ =4 + 42'法四（从抿形"入手，利用配方法，先对二欠项首彷）p sin * cas cos 原式=(sinsin cos p cos 0)'42sin2COs2aCOs2/?ff) +'sin 2 o * sin 2 tcos 2 uuco®3 ( P +cosj!?)-|(2cos：(+ 0)-1)=答案(DC扌题型三角函数的给值求值、给值求角【例2】已知0<Bn<

8、;3<a <n，且cos19，sin求 cos(3 ）的值;(2)已知a ,3 (0 ,口1n )，且 tan( a 3 ) = -， tan13 =-7，求 2 a - 3 的值.n解（1） I 0< 3 <2<a <n ,7t-3 <n2兀 a<4237t<21 ” 35+T 3 幕ain2 - COS（ a + 3 ） = 2C0S1 = 2X49 X 57291 =239729.Ttan 仙）+朋=普宀护Bl-r tan & / tan p1_12 7=:一 =T>0,又 a £ （0, K）.1+-X-2t

9、an 住2X32 7二03<% 又丁讼 2口= 一21-tan v7T/.0<2 a <*f £3 1一 + =.从 tan 2 o - tan B 471 + tan 2 0 tan 0tan（2。一 克）= =/tan ）?=_糾 Ay<【提分秘籍】 解题中注意变角，如本题中 二亘=a -J2 - a - 3函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：已知正切函数值, 余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是o, ，选正、(0 , n )，选余弦较好；若角的范围为 j 2, -2，选正弦较好.已知COS a17， cos( a3 ) = 且 0<3

10、<7t;(2)通过求角的某种三角选正切函数；已知正、余弦皆可；若角的范围是【举一反三】(1)求tan 2 a的值;COS a=1 , 0<a <",7，2，/ sin a二 tana = 43, tan 2 a2tan a 2 x 4 32 1 tan a 1 488 347 .nn(2) I 0< 3 <a <2 , 0<a 3 < 2 ,- sin( a 3 )3 314， COS 3 cos a ( a 3 )cos a cos( a 3 ) + sin a sin( a 3 )-7x 2+壇x呼71471412.7t32.题型三

11、三角变换的简单应用【例3】已知函数f(x) Asin x +亍,x R,且f 詈 (1)求A的值；若 f( 0 ) f( 0 ) 2 n 求 f 曽9解由 f ； 3，得 Asin； 2，十.2 n 3又 sin 3 = 2，二 A=冷3由得 f(x) = 3sin x+ 4 ,3由 f( B ) + f( B ) = 2，得 3sin i B + 4 + 3sin 0 + ；=；化简得 cos B = 4 ,T B 0, 2 ,sin B'1 cos 2 B = ： 1 障 j = 4°,故 f 件一 B 卜 Wsin 件B + 話=7§sin B =p x 乎=

12、普.【提分秘籍】解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有两个，一个是变换函数的名称，一个是变换角的形式.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等；变换角的形式，可以使用两角和与差的 三角函数公式、倍角公式等.【举一反三】已知函数 f (x) = sin j3x+ -4 .若a是第二象限角，fa 43 = 5cos a +(1)求f(x)的单调递增区间;cos 2 a，求 cos a sin a 的值. 4解(D因为函数的单调递増区间为7T%+2-71,L 22 宙-y +3x+> 上所以函数崔0的里调递増区间为TT

13、21-71 7T2 肿T+4 3 J 123由已知，有sina + 4 = 5C°s a +4(2 . 2 、cos a sin a ),所以 sin a cos n+ cos a sin n44=4 cos a cos 4 sin a sin 4 (cos 2 a - sin 2 a ),544即sina + cos4=(cos5a sina ) 2(sin当Sin a + cos a = 0时，由a是第二象限角，“3 n知a = 4 + 2kn, k Z.此时 cos a sin a =寸2.2 5 当 sin a + cos a 工 0 时，有(cos a Sin a ) =

14、4.由a是第二象限角，知 cos a Sin a V 0 ,此匕时cos a sin a综上所述，cos a sin【咼考风向标】1 112015 高考重庆，文 6】若 tana=3，tan(a+b)= 1,则 tanb=(1155(A)(B) T(C)-(D) T7676【答案】A【解析】tan - -tan(- 坦 )tan 务-，故选 A.1 ta n(二心)ta n：1 . 1 1 72 3【2015高考上海，文1】函数f(x)=1-3sin2x的最小正周期为【答案】二31 3【解析】因为 2sin2x=1-cos2x，所以 f(x)=1(1-cos2x)cos2x ,22 22兀所以

15、函数f (x)的最小正周期为2【2015高考广东，文16】(本小题满分12分)已知tan- =2 .(1)求 tan :-4的值;(2)求的值.sin 2二sin2 二； sin 二cos-cos2：- -1【答案】(1) -3 ; (2) 1 .【解析】(1)f n 1 tan la + I 4丿jitan：ta肓tan：11 - tan j tan 1 -tan1-2(2)sin 2：sin（2014湖北卷）某实验室一天的温度（单位：C ）随时间t（单位：h）的变化近似满足函 数关系：.工" sin i cos： -cos2： -12sin ： cos：sin2 工-sin ：

16、cos很 2cos2-1?-12sin t cos tsin2 二亠 sin : cos: - 2cos2:2 tana2tan :：£ 亠 tan : - 2_ 2 222 2-2=11. （2014广东卷）若空间中四条两两不同的直线11, I2, I3, b满足h丄I2, I2/ I3, b丄I4,则下列结论一定正确的是 （）A . I1 丄 I4B .11 -C. I1与14既不垂直也不平行D .11与14的位置关系不确定【答案】D【解析】本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可.如图所示，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，设BB1是直线I1, BC是直线J,

17、 AD是直线 |3,则DD1是直线14,此时I1 / 14；设BB1是直线I1, BC是直线"，A1D1是直线13,贝U C1D1 是直线14,此时11丄14.故I1与I4的位置关系不确定. nnf(t)= 10 3cosy2t si门袒,t 0 , 24).(1)求实验室这一天上午8时的温度；(2)求实验室这一天的最大温差.【解析】(1)f(8) = 10 3cos2$ sin= 10 3cos；n sin；n= 10 3X ；=10.故实验室上午8时的温度为10 C.因为10-辱0診+知签卜10-珈耸+訪又(»<24.当1=2时 > 血信+寻=1 ；当 f=

18、14 时，于是在Ph “)上取得最大値12,最小值皮故实验室这一夭最高温度为12最低温度为8匕，最大温差为4 t- 3. (2014湖南卷)如图1-4所示，在平面四边形 ABCD中，DA丄AB, DE = 1, EC = . 7,EA = 2,Z ADC = 2-n, / BEC = n3 3(1) 求 sin / CED 的值；(2) 求BE的长.【解析】设/ CED = a(1)在 CDE中，由余弦定理，得EC2= CD2+ DE2 2CD DE cos/ EDC ,于是由题设知，7= CD2+ 1 + CD，即CD2+ CD 6= 0,解得 CD = 2(CD =- 3 舍去).在MDE

19、中，由正弦定理，得sin /J = sJa曰 sin疋，2 n v3a=菩=游谬即sin/ CED217 .n由题设知，0V aV 3，于是由知,cos a= '1 sin a=1H =血497 .2 n而/ AEB = ? a,所以cos/ AEB = cos2 n2 ncos 3 cos a+ sin 3 sin a1,:J.qCOS a+ 2 sin a在 RtAEAB 中，cos/ AEB =器=：故BE= cos/ AEB=7= 4 7.0,其中a1424. (2014江西卷)已知函数f(x)= (a+ 2cos x)cos(2x+ B)为奇函数，且(1)求a, B的值；n,

20、求 sina+ 3的值.若 fL- 5,a &10【呆厂】(1)因为孤】二+2coeh)<»s(2x+呵是奇函数，而Vi=fl+2x75偶LU数所以力二皿肚+冈u-2所以兀0= -sin2x+ icos3!).宙窟=0得-依+1)=6即住二一 I.由二-品I岐因为甸二-kna=-|as又4-5从而 cosa=-7f5-所以有sin(a+剳5. (2014全国卷)AABC的内角A, B, C的对边分别为 a, b, c.已知3acos C= 2ccos A, tan A= * 求 B.【解析】由题设和正弦定理得3sin Acos C= 2sin Ccos A,故 3tan

21、 Acos C = 2sin C.1因为 tan A= 3,所以 cos C= 2sin C,1所以 tan C= 2，所以 tan B= tan180 ° (A+ C)=tan (A+ C) tan A+ tan Ctan Atan C 1=1,所以B = 135°6. (2014新课标全国卷n 函数f(x)= sin(x+册一2sin ©cos x的最大值为 .【答案】1【解析】f(x) = sin(x+ 册2sin ©cos x= sin xcos ©+ cos xsin © 2sin (jcos x = sin xcos &#

22、169;cos xsi n ©= sin (x ©)，其最大值为 1.1167. （2014山东卷）AABC中，角A, B, C所对的边分别为 a, b, c.已知a= 3, cos A=g ,nB= A + 2.（1）求b的值;求ABC的面积.【解析】在MBC中,由题意知，sin A =寸1 一 cos2a =呼.3又因为b=a+n，所以 sin B = sin 卜+ 才cos A =.i3普由正弦定理可得，b= asin AB= 3 2.sin A 心3(2)由 B = A+cos B= cos a +sin A=愛由 A+ B + C= n 得 C = n (A +

23、B),所以 sin C= sin (A+ B)=sin(A + B)=sin A cos B+ cos Asin BA1=3.因此 AABC 的面积 S= absin C =>32g= .& （2014四川卷）如图1-3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B, C的俯角分别为75° 30°此时气球的高度是 60 m,则河流的宽度 BC等于（）12A. 240(,31)mC. 120( 3 1)m图1-3B . 180( 2 1)mD . 30( 3 + 1)m【答案】C【解析】由毎竜可和AC=2Q.ZABC=18<F'45t"3(lf

24、r= 1C5°,所以 sin厶5=sin 10Sft=+ 45)=siii 妙88 45* + z 妙sin 4铲=叫也在由正弦定團猛空爲120兀老240 vfi 厂 于是吟阳T屛苧师乐13故选U49. (2014四川卷)已知函数f(x)= sin 3x+ j .求f(x)的单调递增区间;COS a+2 a, 求 COS a sin a 的值.若a是第二象限角，f a = 5cos【解析】 因为函数y= sin x的单调递增区间为7t7t；+ 2 k n, ；+ 2k n, k Z,nn nn, 2k n n , 2kn由-2+ 2kn<+ ；<2+2kn k Z,得-4

25、+丁尋苍+ 丁，k Z,所以函数f(x)的单调递增区间为k乙n. 2k n n .4+ 3，12 +由已知，得sina+ 4 = 5cos a+ ?n(cos2 a si n2%).所以 sin acos n+ cos «sin n=4 413cosnnacoSq sin 久sin (cos2 a sin2 a,即sin=8.当sina+ cos a= 0时，由a在第二象限内，得3 na=2kn, k 乙4此时,cos a sin a= ': /2.当sina+ cos a0寸,(cos a sin 代=4.由a是第二象限角，得cos a sin aV 0，此时cos a s

26、in a半.综上所述，cos a sina=- 2或乎.10. (2014重庆卷)在ABC中，内角 A, B,C所对的边分别为a, b, c,且a + b+ c4 2a+ cos a= (cos a Sin a) (sin a+ COS a).55若a = 2, b= 2，求cos C的值;2 B2k9(2)若 sin Acos2 + sin Bcos；= 2sin C, 且 AABC 的面积 S= 2sin C, 求 a 和 b 的值.【解析】由题意可知c= 8(a+ b) = 7.由余弦定理得cos C= 呼F222 + 2 2- 7215.2 X2 x|(2)由 sin Acos22 +

27、 sin Bcos2A= 2sin C 可得sin A 1 + ；os B+ sin B 1 +os A = 2s in C,化简得 sin A+ sin Acos B+ sin B + sin Bcos A= 4sin C.因为 sin Acos B + cos As in B= sin (A+ B) = sin C,所以 sin A+ sin B= 3s in C.由正弦定理可知 a+ b= 3c.又a + b+ c= 8,所以a+ b= 6.192由于 S= 2absin C = gSin C,所以 ab= 9，从而 a 6a+ 9= 0,解得 a= 3,所以 b= 3.【高考押题】si

28、n 2 01.若tan 0=。则 1znosriA. ,314 2 sin解析答案DVsin 2 0 2sin 0 cos 01 + cos 2 01 + 2cos1,= tan 0 =、.、3.2.已知 sin a + cos a8C.9解析由 sin a + cos则 sin 217B.池=1两边平方得1 + sin 21解得sin 289,所以(n1 COS i 2 2 aa =答案3.已知a A.C.解析1 sin 2 a3 口n , n ,且 cos a1B.7D. 781 + 917218'故选B.2n,且 cos a4,则 tan5a等于45,所以sina v 0,即si

29、n35,所以3tan a = -.所以 tan431 1 tan a 41= 7 1+ 41 + tan a答案 B4.已知sin510=,sin( a 3)=肓,a,3均为锐角,则角等于（nC. 715解析兀K対均为锐角才5-风牛()普又 sin( cr 一 於)=一誓r «cos* .cossin u ( u 0) =sin acos(_cos sin( a =跟麵_2_ 510答案C5. i0, y， 3 0，专，且 tan7t1 + sin丄则3 '则COSA.cc兀5a rB.7t2c.D.7t2解析由条件得sin a 1 + sin 3 卄，即COS acos 3sina COS3