江苏省南京市建邺高级中学高三数学第一轮复习《第6课时 函数的奇偶性》学案

1、第6课时 函数的奇偶性【考点概述】结合具体函数，了解函数奇偶性的含义；会运用函数图像理解和研究函数的性质【重点难点】：函数奇偶性概念及函数奇偶性的判定；函数奇偶性与单调性的综合应用和抽象函数的奇偶性的理解和应用【知识扫描】1. 奇函数、偶函数的概念如果对于函数的定义域内任意一个，都有_ _ _，则函数叫做偶函数.如果对于函数的定义域内任意一个，都有_ _，则函数叫做奇函数.2. 判断函数的奇偶性 一般步骤是：（1）考查定义域是否关于_.（2）根据定义域考查表达式是否等于或若=_，则为奇函数； 若=_，则为偶函数.若=_且=_，则既是奇函数又是偶函数；若且，则是非奇非偶函数.3. 函数的图象与性

2、质奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称.4. 函数奇偶性和单调性的相关关系（1）奇函数在和上有_的单调性.（2）偶函数在和上有_的单调性.（3）在公共定义域内：两个奇函数的和是 ，两个奇函数的积是 ；两个偶函数的和、积都是 ；一个奇函数，一个偶函数的积是 。5.函数的周期性（1）周期函数：对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何一个值时，都有 ，则称是周期函数，称T为这个函数的周期。（2）最小正周期：如果在周期函数的所有周期中， 的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期。【热身练习】1已知函数是定义在R上的奇函数，当时，则 2已知函数是奇函数，则实数 。3.已知函

3、数，为奇函数，则函数的奇偶性为 。（填奇函数或偶函数）4. 若函数是偶函数，则的递减区间是 5.设函数是定义在上的奇函数，且，则 【范例透析】【例1】判断下列函数的奇偶性：(1)； (2)；（3） （4）【例2】若是定义在上的奇函数，当时，求当时，函数的解析式。（必修1习题10改编）【例3】已知函数对一切、都有 求证：是奇函数； 若，用表示【例4】已知是R上的奇函数,且对任意实数x，恒有。当时。（1） 求证：是周期函数（2） 当时，求的解析式。（3） 计算【方法规律总结】1. 判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称，定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件。2. 函数

4、的单调性是函数的局部性质，而函数奇偶性是函数的整体性质。3. 若奇函数在x=0 处有定义，则f（0）=0；4. 为了便于判断函数的奇偶性，有时需先将函数在定义域内化简，或应用定义的等价形式：【巩固练习】1已知奇函数，当时，则=_.2设函数是奇函数且周期为3，则，则 。3 设函数是偶函数，则实数_。4设是奇函数，且在内是增函数，又，则的解集是_.5设函数是定义在R上的奇函数，若当时，则满足的x的取值范围是 6已知是定义在R上的奇函数，且满足，当时，则 7. 已知是定义在R上的偶函数，且满足，则 8. 判断下列函数的奇偶性：（1） （2）第6课时 函数的奇偶性参考答案（部分）【热身练习】1.答案：

5、 2. 答案：解析：由奇函数定义有得，故。3. 答案：偶函数解析：函数，为奇函数，奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得。，所以为偶函数。4. 答案： 解析：.5. 答案： 解析：是奇函数，又由，得，。【范例透析】例1解：（）（1）去掉绝对值符号，根据定义判断.由得故f（x）的定义域为1，0）（0，1，关于原点对称，且有x+20.从而有f（x）= =，这时有f（x）=f（x），故f（x）为奇函数.（）函数f（x）的定义域是（，0）（0，+），并且当x0时，x0，f（x）=f（x）（x0）.当x0时，x0，f（x）=f（x）（x0）.故函数f（x）为奇函数.例2解：当时，而为奇函数，；当x=0时，适合；当，。例3解： （1）函数f（x）的定义域是R，中，令得令得是奇函数。（2），所以【巩固练习】1. 答案：-2解析：因为奇函数，所以。2答案：1解