河南省洛阳市高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

1、2021-2021学年河南省洛阳市高二上期末数学试卷理科一、选择题：本大题共 12小题,每题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求的.1,集合 A=x|x2v1,集合 B=x|-t< 1,那么 AAB=A. -1, 0B. 0, 1C. 1, +xD. ?2.实数x, y满足不等式组1 y>l ,那么X的最大值为K+收 3KA. 0 B. C. 1 D. 222 一3 .抛物线y=4x的准线万程为A . x= - 1 B , y= - 1 C, x= - - D , y=-16164 . ABC内角A, B, C的对边分别为 a, b, c, B=60&

2、#176;, b2=ac,那么A=A. 30° B, 45° C. 60° D, 90°225 .方程-3=1表示双曲线是n>- 1的2+n n+1A,充分不必要条件 B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6 .等差数列an中,前n项和为Sn, a1>0,a1007+a1008=0,那么当Sn取最大值时,n=A. 1007 B . 1008 C. 2021 D , 2021线-0, b>0与直线/ b2y=x交于不同的两点,那么双曲线C的离心率的取值范围是A. (1, a) U (+°°)B.(亚,

3、+8)8, ABCD - A1B1C1D1为正方体,那么二面角C. (1,&) D .(五,2)BA1C1 A的余弦值为()A.四bC埠D.32329,假设命题？ xC ( 1, +8), x鱼2-(2+a) x+2+a>0为真命题,那么实数a的取值范围是A.(一巴2 B. ( 8, 2C. - 2, 2 D .(一巴-2 U 2, +8)222210 .椭圆 为+2二二1与双曲线工-弓=1有共同的焦点F1, F2,两曲线的一个交点为25 16m 5P,那么PF?PFz的值为A. 3 B, 7C, 11 D. 2111 . ABC内角A, B, C的对边分别是a, b, c,以下

4、说法：2 ：2 J . 在4ABC中,a, b, c成等差数列是acos节+ccos节hb的充要条件; 命题 在锐角三角形 ABC中,sinA >cosB的逆命题和逆否命题均为真命题；命题 对任意三角形 ABC, sinA+sinB>sinC为假命题.正确的个数为()A. 0 B, 1C, 2 D, 32212.如图,椭圆工不+4=1 (a>b>0)的左右顶点分别为 Ai, A2,上顶点为B,从椭圆上a2 b*一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F,且A2B / OP, | FA2| =V1C+V5,过A2作x轴的垂线I,点M是l上任意一点,A 1M交椭圆于点N ,那么赢

5、?不=()A. 10B. 5C. 15D .随点M在直线I上的位置变化而变化二、填空题：本大题共 4个小题,每题 5分.、共20分.13 .数列an的前n项和为Sn=2n- 3n,那么a6+ay+a8=.14 .实数x, y满足工+y2=1,那么x+2y的最大值为15 .四棱柱 ABCD -A1B1C1D1 各棱长均为 1, / AAB= / AAD= / BAD=60 °,贝U点 B 与点 D1两点间的距离为.16 . p： -<0", q： x2 - 2x+1 - m2< 0 (m<0) ,命题 假设p,那么q为假命题,x+2假设q,那么p"

6、为真命题,那么实数 m的取值范围是 .三、解做题：本大题共 6小题,共70分,解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.17 . f (x) =ax2- (a+2) x+2.(1)假设实数av 0,求关于x的不等式f (x) >0的解集；1 q(2)假设 Wwxw?'是f (x) +2xv0的充分条件,求正实数 a的取值范围.2 418,等比数列an的前n项和为Sn,公比q>1,S2=6,且a2是电与电-2的等差中项.(1)求 an 和 Sn；(2)设 bn=log2an,求 Tn=k u +u l +- + u V .19 . ABC内角A, B, C的对边分别为a, b,

7、 c.(1)假设b是a与c的等比中项,求B的取值范围；_ _ TT (2)右B=-,求sinA+sinC的取值范围.O20 .点A (-加,0)和圆B： (x-班)2+y2=16,点Q在圆B上,线段AQ的垂直平 分线角BQ于点P.(1)求点P的轨迹C的方程；(2)轨迹C上是否存在直线2x+y+1=0对称的两点,假设存在,设这两个点分别为S, T,求直线ST的方程,假设不存在,请说明理由.21 .如图,ABCD是边长为a的正方形,PAL平面ABCD .(1)假设PA=AB,点E是PC的中点,求直线 AE与平面PCD所成角的正弦值；(2)假设BE, PC且交点为E, BE=2a, G为CD的中点,

8、线段AB上是否存在点F,使得3EF/平面PAG?假设存在,求 AF的长；假设不存在,请说明理由.22,斜率为1的直线l经过抛物线E： y2=2px (p>0)的焦点,且被抛物线所截得弦AB的长为4.(1)求实数p的值；(2)点P是抛物线E上一点,线段 CD在y轴上, PCD的内切方程为(x- 1) 2+y2=1 , 求 PCD面积的最小值.942021-2021学年河南省洛阳市高二(上)期末数学试卷(理 科)参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12小题,每题5分,共60分,在每个小题给出的四个选项中, 只有一个符合题目要求的.1,集合 A=x|x2v1,集合 B=x|i< 1,

9、那么 A AB=()XA. (-1, 0)B, (0, 1) C, (1, +8)D. ?【考点】交集及其运算.【分析】求出A与B中不等式的解集,分别确定出 A与B,找出两集合的交集即可.【解答】 解：由A中不等式解得：-1vxv1,即A= (- 1, 1),当xv 0时,B中不等式变形得：x<1,此时xv 0;当x>0时,B中不等式变形得：x>1,此时x>1,1 , B= ( - °°, 0) u ( 1 , +°°),那么 a ab=(- 1, 0),应选：A.2 .实数x, y满足不等式组,y>!,那么工的最大值为()

10、K+y<3A. 0B. C C. 1 D. 2【考点】简单线性规划.【分析】作出可行域,目标函数表示可行域内的点与原点连线的斜率,数形结合可得.【解答】 解：作出不等式组,y>l 所对应的可行域(如图 ABC及内部),目标函数¥表示可行域内的点与原点连线的斜率,数形结合可知当直线经过点 A (1, 2)时,工取最大值2,应选：D.2 一3.抛物线y=4x的准线万程为A . x= - 1 B . y= - 1 C. x= D . y= y16y 16【考点】抛物线的简单性质.【分析】由抛物线的准线方程的定义可求得.【解答】 解：由于抛物线y=4x2,可化为：X2y,那么抛物

11、线的准线方程为 y=-.16应选：D.4. ABC内角A, B, C的对边分别为 a, b, c, B=60°, b2=ac,那么A=A. 30° B, 45° C. 60° D, 90°【考点】 余弦定理；正弦定理.【分析】利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出.【解答】 解：由余弦定理可得：b2=a2+c2 - 2accosB=a2+c2 - ac=ac,化为a-c 2=0,解得 a=c.又 B=60 °,ABC是等边三角形,. A=60 °.应选：C.5.方程2+n n+1=1表示双曲线是n>- 1的A .充

12、分不必要条件B.必要且不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断.22【分析】 方程=1表示双曲线？ 2+n n+1 >0,解得n即可得出.2+n n+122【解答】 解：方程上-_二1表示双曲线？ 2+n n+1 >0,解得n>-1或nv -2.2+n n+1 v2 2_“ 、一.方程-上一=i表示双曲线是n>- 1的必要不充分条件.2+n n+1应选：B.6.等差数列an中,前n项和为Sn, a1>0,a1007+a1008=0,那么当Sn取最大值时,n=A. 1007 B , 1008 C, 2021 D , 2

13、021【考点】等差数列的性质.【分析】由等差数列的性质和题意易得数列an的前1007项为正,从第1008项开始为负,易得结论.【解答】解：:等差数列an中,前n项和为Sn, a1>0, 21007+21008=0, .冏007>0且a1008V 0,即等差数列%的前1007项为正,从第1008项开始为负, 当Sn取最大彳1时,n=1007.应选：A227.双曲线C：三-3-1a>0, b>0与直线y=x交于不同的两点,那么双曲线 C的离心率的取值范围是A. 1,我U 第,+8B.近,+8C. 1,加 D.我,2【考点】双曲线的简单性质.【分析】 将直线y=x代入双曲线的

14、方程,由题意可得b2-a2>0,再由a, b, c的关系和离心率公式即可得到所求范围.22【解答】 解：将直线y=x代入双曲线 与-j=1,可得：b2-a2 x2=a2b2,由题意可得b2- a2>0,即有 c2- 2a2>0,即为e2>2,即e>&.应选：B.8,ABCD - A1B1C1D1为正方体,那么二面角 B-A1C1-A的余弦值为.V2 _ V2 _ V6 _ V3A.' B. C.% D. 三3232【考点】 二面角的平面角及求法.【分析】 以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD 1为z轴,建立空间直角坐标系,由此 能求出二面角B-

15、A1C1-A的余弦值.【解答】 解：以D为原点,DA为x轴,DC为y轴,DD1为z轴,建立空间直角坐标系,设正方体ABCD - A1B1C1D1的棱长为1,那么 A 1, 0, 0, A1 1, 0, 1, B 1, 1 , 0, C1 0, 1 , 1,AC(T, 1, 0), %A= (0, 0, - 1), %B= (0, 1, - 1),(1,1, 0),设平面A1C1A的法向量;= (x, y, z),那么* 一 一,取x=1 ,得Jn-Ai A- 3=01设平面AiCiB的法向量；=(a, b, c),- c=0设二面角B - A1C1 - A-a+b=0,取a=1,得涓的平面角为

16、0,(1,1,1),贝 U cos 0=r r -=近.诈Ini V2"V3 3应选：C.二面角B - A1C1-A的余弦值为 返39.A.假设命题？ xC (1, +°°), x2- (2+a) x+2+a>0为真命题,那么实数a的取值范围是()【考点】 【分析】可.【解答】00, - 2 B. ( - 8, 2C. - 2, 2 D. ( - 8, 2 U2, +00)全称命题.根据不等式恒成立的关系转化为一元二次函数,讨论判别式的取值,进行求解即解：判别式 = (2+a) 24 (2+a) = (a+2) (a 2),假设判别式4 = (a+2) (a

17、-2) < 0,即-2waw2时,不等式恒成立,满足条件.假设判别式4 = (a+2) (a 2) >0 即 a>2或 av 2 时,设 f (x) =x2 - (2+a) x+2+a,要使命题？ xC (1, +8)x2- (2+a) x+2+a>0为真命题,那么满足(2+a) a+2Xz I-a>2 或 av 2, a< 2,综上,aw 2,应选：B.10 .椭圆 工+?_=1与双曲线工-2-=1有共同的焦点 Fi, F2,两曲线的一个交点为25 16m 5P,那么而?百,的值为A. 3 B. 7 C. 11 D. 21【考点】椭圆的简单性质.【分析】由

18、题意可得m=4,联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的P的坐标,求出向量评； 垣的坐标,再由向量的数量积的坐标表示,计算即可得到所求值2222【解答】 解：椭圆工+?_=1与双曲线幺-1=1有共同焦点为土 3, 0,25 16m 5P (3返,3即有m=4,联立椭圆方程和双曲线的方程可得第一象限的点-恒=(3孝即有PFi?PF3孚(3孚+等339100 80+99应选：C.-9=11.11 . ABC内角A, B, C的对边分别是 a, b, c,以下说法：在4ABC中,a, b, c成等差数列是acoS+ccos24,的充要条件; 命题 在锐角三角形 ABC中,sinA >cosB的

19、逆命题和逆否命题均为真命题; 命题 对任意三角形 ABC , sinA+sinB>sinC为假命题.正确的个数为A. 0 B, 1 C. 2 D, 3【考点】命题的真假判断与应用.【分析】根据等差数列的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 根据四种命题之间的关系进行判断即可.根据正弦定理进行判断即可.【解答】解：假设 acos2-+ccos2j=-|-b,即 a 1 +cosC +c 1 +cosA =3b,由正弦定理得：sinA+sinAcosC+sinC+cosAsinC=3sinB ,即 sinA+sinC+sin A+C =3sinB ,可得 sinA+sinC=2sin

20、B ,由正弦定理可得,整理得：a+c=2b,故a, b, c为等差数列；反之也成立,即,a, b, c成等差数列是acos2S+ccos2A=Wb的充要条件；故 正确,在锐角三角形 ABC中,那么A+B>号,于是5>A>B-£>0,那么sinA>SIn ( B -工)=cosB ,即sinA>cosB成立,那么原命题为真命题.那么逆否命题也为2真命题,命题 在锐角三角形 ABC中,sinA>cosB的逆命题为：假设 sinA > cosB,那么三角形为锐角三角形,在三角形中,当B为钝角时,cosBv0,此时满足sinA >cosB

21、,那么命题的逆否命题为假命题.故错误, 在三角形中,由正弦定理得假设对任意三角形 ABC, sinA+sinB>sinC那么等价为对任意三角形ABC , a+b>c成立,即命题时任意三角形 ABC, sinA+sinB>sinC为真命题,故错误,故正确的个数是1,应选：B2212.如图,椭圆 Si (a>b>0)的左右顶点分别为 Ai, A2,上顶点为B,从椭圆上 J b2一点P向x轴作垂线,垂足恰为左焦点F,且A2B II OP, | FA2I =V1C+Ve,过A2作x轴的垂线l,点M是l上任意一点,AiM交椭圆于点N,那么不!?示=()A. 10B. 5C.

22、 15D.随点M在直线l上的位置变化而变化【考点】椭圆的简单性质.【分析】由F的坐标,求得P的坐标,运用两直线平行的条件：斜率相等,可得b=c,再由条件可得a=VlC, b=c=在,求得椭圆方程,设出 M的坐标,设出直线 MN的方程,联立 椭圆方程,消去y,由韦达定理可得 N的横坐标,进而得到 N的纵坐标,再由向量的数量 积的坐标表示,计算即可得到所求值.2【解答】解：由F ( - c, 0),可得P (- c,"),aA2 (a, 0), B (0, b),即有 kop=kA.E,2可得-=-,即有 b=c, a=Jc, ac a| FA2I =a+c=71C+75 解得 a= ,

23、 b=c=即有椭圆的方程为+-=1,10 5设 M (阮 t), Ai (-阮 0),即有直线 a im ： y= 2(x+JH),代入椭圆方程x2+2y2=l0,可得(20+t2) x2+271Ct2x+10t2-200=0 ,(-VlC ?XN=10t2- 20020+12可得Xn =(20- t2)VTo20+t2t . g、 一 20t yN=WB(xN+6)=20+/'20t20+1220+12200+10t=2-=10-20+t应选：A.二、填空题：本大题共 4个小题,每题 5分.、共20分.13.数歹 U an的前 n 项和为 Sn=2n- 3n,贝 U a6+a7+a8

24、= 215 .【考点】【分析】数列的求和.利用a6+a7+a8=S8 - S5,代入计算即得结论.【解答】解： Sn=2n-3n, a6+a7+a8=S8- S5=(28-3X8) - ( 25-3X5)=215,故答案为：215.14.实数X, y满足1+y2=1,那么x+2y的最大值为,我_ .【考点】【分析】椭圆的简单性质.利用椭圆的参数方程和三角函数的性质求解.解：:实数X, y满足+y2=1,4JT,x+2y=2cos 卅2sin 9=2 sin ( Q +-),x+2y的最大值为2rj.故答案为：2二.15.四棱柱 ABCD -AiBiCiDi 各棱长均为 1, Z A1AB= Z

25、 AiAD= Z BAD=60 °,贝U点 B 与点Di两点间的距离为 第 .【考点】棱柱的结构特征.【分析】由得万耳=赢+标+万百,由此能求出点 B与点Di两点间的距离.【解答】 解：二四棱柱 ABCD - AiBiCiDi各棱长均为i, / AiAB= /AiAD= / BAD=60 °,BD = BA+AD + DD ,-. _ 二 _-2 -； : - ：- . 二一-BD1 =(BA+AD+DDp =BA +AD +DD +2W AE+2BADD+2AD 叩 D= i+i+i+2X i x i X cosi20° +2X i x i Xcosi20

26、76;+2X i X i X cos60°二2,I西I二亚点B与点Di两点间的距离为 夷.故答案为：& .i6, p： -< 0", q： x2- 2x+i - m2< 0 (m<0) ,命题 假设p,那么q为假命题, k+2假设q,那么p"为真命题,那么实数 m的取值范围是 (-8, 3.【考点】复合命题的真假.【分析】分别求出p, q为真时的x的范围,根据p? q,而q推不出p,求出m的范围即可.【解答】解：假设p：二W0为真命题,那么 p： - 2Vxw 2；假设 q： x2- 2x+i - m2<0 (m<0) 为真命

27、题,那么 i+mvxv i - m,命题 假设p,那么q"为假命题,假设q,那么p"为真命题,即p? q,而q推不出p,- 2>1+id -口c,解得：mv 3, 2<1 -m将m= - 3代入符合题意, 故答案为：(-8, - 3.三、解做题：本大题共 6小题,共70分,解容许写出文字说明、证实过程或演算步骤.17. f (x) =ax2- (a+2) x+2.(1)假设实数av 0,求关于x的不等式f (x) >0的解集；(2)假设±wxw"是f (x) +2xv0的充分条件,求正实数 a的取值范围.【考点】必要条件、充分条件与充要

28、条件的判断；一元二次不等式的解法.【分析】(1) f (x) =ax2-( a+2)x+2= (ax2)(x1),av 0,可得ax2-(a+2)x+2=0的两根为&,且Z<1,即可得出.a a(2) f (x) +2x< 0 化为：g (x) =ax2-ax+2v0,由 上wxw乜是 f (x) +2xv0的充分条24g(y)<0件,可得,又a>0,解得a范围.2号)<0【解答】解：(1)f(x)=ax2-(a+2) x+2= (ax2)(x1),a< 0,ax2(a+2) x+2=0的两根为一,且一v 1.a a,关于x的不等式f (x) >

29、;0的解集为(-t 1).(2) f (x) +2x< 0 化为：g (x) =ax2- ax+2<0, wxwg是 f (x) +2xv0的充分条件,24g )<.,又a>0,解得a>g 售)<0 ,正实数a的取值范围是 W,g).18,等比数列an的前n项和为Sn,公比q>1,S2=6,且a2是电与电-2的等差中项.(1)求 an 和 Sn； (2)设 bn=log2an,求 Tn=k u +k L +- + u K .【考点】 数列的求和；等比数列的通项公式.【分析】(1)联立a1 (1+q) =6及2aq=a1+a1q2 - 2,计算可知q=2

30、、a1=2 ,进而计算可得结(2)通过(1)裂项可知 T=1 (i-JL),进而并项相加即得结论.2 n n+2【解答】 解：(1)依题意,ai (1+q) =6,2aiq=ai+aiq2- 2,即 a1(q2-2q+1) =2,+并化简得：3q2-7q+2=0,解得：q=2或q=L (舍),3代入并化简得：a1=2,贝u an=2n, Sn=20- 2刃=2n+1 2;1-2(2)由(1)可知 bn=log 2an=n, -=1=1、b»b 1TH2 n(n+2) 2 n n+2 '1(1+2 '3 2 4 n n+2(1 +)2 i 2 n+1 n+2；M+5n

31、4(n+D(n+2)19. ABC内角A, B, C的对边分别为a, b, c.(1)假设b是a与c的等比中项,求B的取值范围；JT(2)假设B=,求sinA+sinC的取值范围.3【考点】 余弦定理；正弦定理.2 I 2 _ t 2*11【分析】(1) b是a与c的等比中项,可得 cosB=±± =4,即可得出2ac2ac 2B的取值范围.(2) sinA +sinC=sinA +sin-i C=fsi口,由于,可得JOO-1<£in(A+q)w1.即可得出. UV【解答】 解：(1) b是a与c的等比中项,cosB=£>- =,当且仅当

32、a=c 时取等号,< cosB< 1,2 sc2a c22又0vBv兀,B的取值范围是 (0,.八.2冗 sinA+sinC=sinA+$1门(3“A)=sinA+cosA+isinA=VSsin(A+-),0<A<, q<Kn(A+看尸 1.当v VSsinA+-塞故sinA+sinC的取值范围是当_20.点A -比,0和圆B： x-班2+y2=16,点Q在圆B上,线段AQ的垂直平 分线角BQ于点P.1求点P的轨迹C的方程；2轨迹C上是否存在直线2x+y+1=0对称的两点,假设存在,设这两个点分别为S, T,求直线ST的方程,假设不存在,请说明理由.【考点】直线

33、与圆锥曲线的综合问题.【分析】1直接由题意可得|PA|+| PB| =4>|AB|=2M,符合椭圆定义,且得到长半轴 和半焦距,再由b2=a2-c2求得b2,那么点P的轨迹方程可求；2设S xi, y1,TX2, y2,由题意可设直线 ST的方程为y=i-x+m,与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,再利用线段ST的中点-2m, m m在对称轴2x+y+1=0上,33即可得出结论.【解答】 解：1由题意知|PQ|=|PA|,.| PA|+| PB| 二4>| AB| =2点由椭圆定义知P点的轨迹是以A, B为焦点椭圆,a=2, c= b=.二,22.点P的轨迹的方程是 3一+?=1;

34、42(2)设存在直线 ST的方程为y=i-x+m,与椭圆方程联立,化简可得3x2+4mx+4m2 - 8=0 .4 q( 2 一 工)S (x1, y1), T (x2, y2),贝U Xi+X2= - , x1x2=,33,22线段ST的中点(-m-m,三m)在对称轴2x+y+1=0上, o 42 .m+ m+1=0,33m= ,满足> 0, , , 、一 13存在直线ST的方程为y=x+.21.如图,ABCD是边长为a的正方形,PA,平面ABCD .1假设PA=AB,点E是PC的中点,求直线 AE与平面PCD所成角的正弦值;2假设BE, PC且交点为E, BE=Va, G为CD的中点

35、,线段AB上是否存在点F,使得3求 AF的长；假设不存在,请说明理由.【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定.【分析】1以A为原点,建立如下图的坐标系,求出平面PCD的法向量,即可求直线AE与平面PCD所成角的正弦值；2确定E的坐标,平面PAG的法向量,利用EF/平面PAG,而？ ？；=0,即可得出结论.C (a, a,0), D (0, a, 0),P (0, 0, a), E (, -,辛a a ,天,DC二a,0, 0), PE= (0, a, - a),设平面PCD的法向量n= x,ay - az=0取涓0, 1, 1,那么直线AE与平面PCD所成角的正弦值为【解答】 解：1以A为原点,建立如下图的坐标系,那么 A 0, 0, 0, B a, 0, 0,T+(0, 0, c) (c>0),那么 CF= ( - a, - a, c),a, (1 2 a, Ac), 心),(2) G (崇 a, 0),设 P 设五二安,贝U E (1-入) .诿=(-2,(1 - A a,BE=_a3后)2+ (1- X)a2+ ( 2=V . BE ±PC, za2- (1 -a2+；c2=0,.c2j ; a, A由解得四卷,c=a,_ 221 一 . EWa,耳 a 百 a,P0