余弦定理教学设计

1、1.2余弦定理南京师范大学附属中学张跃红教学目标：1. 掌握余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题；2. 能够运用余弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.教学重点：重点是余弦定理及其证明过程.教学难点：难点是余弦定理的推导和证明.教学过程:1.创设情景，提出问题问题 1 :修建一条高速公路，要开凿隧道将一段山体打通现要测量该山体底侧两点间的距离， 即要测量该山体两底侧 A，B 两点间的距离（如图定理，自然引出本课的学习内容.2.构建模型，解决问题学生活动：提出的方法有，先航拍，然后根据比例尺算出距离；利用等高线量出距离等；也有学生提出在远处选一点 C，然后量出 AC, BC 的长度

2、，再测出ZACB. KBC 是确定的，就可以计算出 AB 的长接下来，请三位板演其解法.法 1 :（构造直角三角形）可编辑设计意图：这是一个学生身边的实际应用问题,在其解决的过程中得到余弦1） 请想办法解决这个问题.如图 2，过点 A 作垂线交 BC 于点 D，则| AD | = | AC | sinC,| CD | = | AC | cosC,I BD | = | BC | - | CD | = | BC | - | AC | cosC,所以，| AB | AD |1 2| BD|2；| AC |2|BC |22|AC| |BC| cosC .| AB| . (| AC |cosC | BC

3、 |)2(| AC | sinC 0)2,所以，| AB| , | AC |2| BC |22 | AC | | BC | cosC .活动评价：师生共同评价板演.3.追踪成果，提出猜想.师：回顾刚刚解决的问题，我们很容易得到结论：在 ABC 中，a, b , c 是 角 A ,B, C 的对边长，则有c2a2b22abcosC成立.类似的还有其他等式，2 2 2 2 2 2a c b 2cb cos A,b c a 2ca cos B.正弦定理反映的是三角形中边长与角度之间的一种数量关系，可编辑法 2:(向量方法)如图 3,uuu uuur uuu因为ABAC CB,所以,UUU2uuu U

4、JUoAB (AC CB)2即 | AB |, | AC |2|BC |22 | AC | | BC | cosC .法 3:(建立直角坐标系)建立如图 4 所示的直角坐标系，则 A ( | AC | cosC, | AC | sin C),B ( | BC | , 0),根据两点间的距离公式，可得关，就称为正弦定理；而上面等式中都与余弦有关，就叫做余弦定理问题 2：刚才问题的解题过程是否可以作为余弦定理的证明过程？ 设计意图：作为定理要经过严格的证明，在解决问题中培养学生严谨的思维 习惯学生活动：经过思考得出，若把解法一作为定理的证明过程，需要对角 C 进 行分类讨论，即分角 C 为锐角、直

5、角、钝角三种情况进行证明；第二种和第三 种解法可以作为余弦定理的证明过程教师总结：证明余弦定理，就是证明一个等式而在证明等式的过程中，我 们可以将一般三角形的问题通过作高，转化为直角三角形的问题；还可以构造向 量等式，然后利用向量的数量积将其数量化；还可以建立直角坐标系，借助两点间的距离公式来解决，等等4. 探幽入微，深化理解 问题 3：刚刚认识了余弦定理这个“新朋友” ，看一看它有什么特征？ 学生活动：勾股定理是余弦定理的特例 反过来也可以说，余弦定理是勾 股定理的推广；当角 C为锐角或钝角时，边长之间有不等关系a2b2c2，a b2c2;c2a2b22abcosC是边长 a、b、c 的轮换

6、式，同时等式右边 的角与等式左边的边uuur2UUU2uuuruuuAC CB 2ACCBcos( C),因为与正弦有相对应；等式右边有点象完全平方，等等教师总结： 我们在观察一个等式时，就如同观察一个人一样，先从远处看， 然后再近处看，先从外表再到内心深处观察等式时，先从整体（比如轮换）再 到局部（比如等式左右边角的对称） ，从一般到特殊，或者从特殊到一般（比如 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广） 问题 4：我们为什么要学余弦定理，学它有什么用？可编辑设计意图： 让学生真正体会到学习余弦定理的必要性同时又可以得到余弦 定理能解决的三角形所满足的条件， 以及余弦定理的各种变形.让学生体会在使用公式或定理时，不但要会“正向使用”还要学会“逆向使用”学生活动：解已知三角形的两边和它们夹角的三角形；如果已知三边，可以求角，进而解出三角形，即5.学以致用，拓展延伸.练习：1 .在ABC 中，若 a = 3，b = 5，c = 7 ,求角 C.2 . (1 )在 AABC 中，若b ,3 1,c.6, A 45，解这个三角形.(2)在 AABC 中，b ,3,B60,C1，求 a.学生活动：练习后相互交流得出，解答题 1 时，利用的是余弦定理的变形形2 2 2式cosCa-;而题 2 既可以利用正弦定理，也可以利用余弦定理解决.2ab思考： 正弦定理与余弦定理间是否存