全等三角形难题集锦超级好

1、1.如图，已知等边厶 ABC P 在 AC 延长线上一点，以 PA 为边作等边 APE,EC 延长线交 BP 于 M 连接 AM,求证：(1) BP=CE(2)试证明：EM-PM=AM.(1)AN=MB. ( 2 )将ACM 绕点 C 按逆时针方向旋转一定角度，如图所示，其他条件不变,然成立？( 3)AN 与 BM 相交所夹锐角是否发生变化。5.已知，如图所示，在ABC和厶 ADE中，AB AC，AD AE，BAC DAE，且点B，A, D在一条直 线上，连接BE，CD，M，N分别为BE，CD的中点.(1 )求证：BE CD:AM AN；(2 )在图的基础上，将ADE出(1 )中的两个结论是否

2、仍然成立 绕点A按顺时针方向旋转180，其他条件不变，得到图所示的图形请直接写D可编辑图A图2、点 C 为线段 AB 上一点， ACM, CBN 都是等边三角形，线段AN,MC交于点 E, BM,CN交于点 F。求证:图(1 )中的结论是否依图6.如图，C 为线段 AE 上一动点(不与点 A , E 重合)，在 AE 同侧分别作正三角形于点 O, AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q,连结 PQ.以下五个结论： AD=BE ; PQ /AE ; AP=BQ ; DE=DP ; ZAOB=60 CP=CQCPQ 为等边三角形.恒成立的结论有_ (把你认为正确的序号都填上)10已

3、知：如图，ABC是等边三角形，过AB边上的点D作DG/BC,交AC于 点G，在GD的延长线上取点E，使DE DB，连接AE,CD.(1)求证：AGEDAC;(2)过点E作EF/DC，交BC于点F，请你连接AF，并判断AEF是怎样的三角形，试证明你的结论.共有 2 对全等三角形CO 平分 ZAOP CO 平分/BCD可编辑11、如图 1,以ABC的边AB、AC为边分别向外作正方形与AEG面积之9 如图，C 为线段 AE 上一动点（不与点 A，E 重合），在 AE 同侧分别作正三角形 于点 0，AD 与 BC 交于点 P，BE 与 CD 交于点 Q，连结 PQ.以下五个结论:1AD=BE ;2PQ

4、 /AE;3AP=BQ ;4DE=DP ;5JOB=60恒成立的结论有_ （把你认为正确的序号都填上）如图所示，已知 ABC 和 ABDE 都是等边三角形，且 分/AHD :ZAHC=60 ABFG 是等边三角形;A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D . 6 个ABC 和正三角形 CDE，AD 与 BE 交AE=CD : BF=BG : HB 平ABDE和正方形B1、在厶ABC中，AB BC 2,ABC 120,将厶ABC绕点B顺时针旋转角（0 90）得厶 AiBCi, AB交AC于点E,AiCi分别交AC、BC于D、F两点如图 1，观察并猜想，在旋转过程中，线段EA,与FC有怎样的数

5、量关系？并证明你的结论；可编辑A、B、D 三点共线.下列结论：中正确的有（2.如图所示， ABC 是等腰直角三角形,AD 于点 F，求证：/ ADC =/BDE.3.如图 1，四边形 ABCD 是正方形，M 是 AB 延长线上一点。直角三角尺的一条直角边经过点 D，且直角顶点 E 在 AB 边上滑动（点 E 不与点 A，B 重合），另一条直角边与/CBM的平分线 BF 相交于点 F.如图 14 1，当点 E 在 AB 边的中点位置时：1通过测量 DE , EF 的长度，猜想 DE 与 EF 满足的数量关系是 _ ;2连接点 E 与 AD 边的中点 N，猜想 NE 与 BF 满足的数量关系是 _

6、 ;3请证明你的上述两猜想 如图 14 2，当点 E 在 AB 边上的任意位置时，请你在 AD 边上找到一点 N,使得 NE=BF，进而猜想此时 DE 与 EF 有怎样的数量关系并证明S14-2已知Rt ABC中，AC BC,Z C 90 , D为AB边的中点，EDF 90可编辑S14-1OACB = 90AB 于点 E,交EDF绕D点旋转，它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.1当EDF绕D点旋转到DE AC于E时(如图 1)，易证SDEFS“EFSA ABC2当EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明;若不成

7、立，SA DEF、SA CEF、SA ABC又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.8、如图，0P是 ZMON的平分线，请你利用该图形画一对以0P所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题:/ACB是直角，/B=60 ,AD、CE分别是/BAC、/BCA的平分线，AD、CE相交于(1)如图，在ABC中,图 1图 2F点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系;(2)如图，在ABC中,可编辑P(1)中所得结论是否仍然如果/ACB不是直角，而9 .已知：如图， BF 丄 AC 于点 F, CE 丄 AB 于点 E,且 BD=CD，求证:线上11、( 2007

8、 年成都)已知：如图，ABC中，/ABC=45 ,CD丄AB于D , BE平分/ABC，且BE丄AC于E,与CD相交于点 F,H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。(!)求证：BF=AC;1求证：CE=BF;2(3)CE与BC的大小关系如何？试证明你的结论。可编辑1 )ABDE /CDF(2 ) 点 D 在/A 的平分10、如图在厶 ABC 中，AB AC ,Z1CZ2 , P 为 AD 上任意一点，求证CCA 是/DCF 的平分线。1、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点.AEF 90，且EF交正方形外角DCG的平分线CF于点F,求证：AE=E

9、F.经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证AMEECF,所以AE EF在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1 ）小颖提出：如图 2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B,C外）的任意一点”，其 它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请12、（ 2009 年赤峰市）如图，在四边形ABCD 中，AB=BC , BF 是/ABC 的平分线，AF /DC，连接 AC、CF,求证:DSHC可编辑说明理由;(2 )小华提出：如图 3，点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点

10、，其他条件不变，结论“AE=EF仍然成立.你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由.图 1图 2图33.KBC中，/BAC=60 ,Q=40 ,AP平分ZBAC交BC于P, BQ平分/ABC交AC于Q，求证:AB+BP=BQ+AQ。可编辑4.问题背景，如下命题:如图 1,在正三角形 ABC 中,N 为 BC 边上任一点,CM 为正三角形外角/的平分线，若/ ANM=60 ,AN=NM 如图 2,在正方形 ABCD 中,N 为 BC 边上任一点，CM 为正方形外角/的 CK 分线，若/ ANM=90 则 AN=NMAN=NM任务要求: 请你证明以上三个命题；请你继续

11、完成下面的探索:如图 4,在正n(n 3)边形 ABCDEF中,N 为 BC 边上任一点,CM 为正n边形外角/DCK 平分线，问当/ ANM等于多少度时，结论 AN=NM 成立(不要求证明)如图 5,在梯形 ABCD 中,AD / BC,AB=BC=CD,N 为 BC 延长线上一点,CM 为/ DCN 的平分线若/ ANM=Z ABC,请问 AN=NM 是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.如图 3,在正五边形ABCDE 中,N 为 BC 边上任一点,CM 为正五边形外角/DC 平分线若/ ANM=108 ,则图 2可编辑ABCD 中，M 是 AB 的中点，E 是 AB 延长

12、线上一点， MN 丄 DM 且交/CBE 的平分线于N .试判定线段 MD 与 MN 的大小关系;(2)若将上述条件中的“ M 是 AB 的中点”改为“ M 是 AB 上或 AB 延长线上任意一点”，其余条件不变.试问(1 )中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由.FEM图5可编辑5. (1)如图，已知在正方形6.如图，在 ABC 中，/A=90 ,D 是 AC 上的一点，BD=DC , PPE 丄 BD , PF 丄 AC , E、F 为垂足.求证： PE+PF=AB .1.如图，已知 ABC 中，AB=AC=6cm ，/B= ZC, BC=4cm，点 D 为 AB 的中

13、点.（1）如果点 P 在线段 BC 上以 1cm/s 的速度由点 B 向点 C 运动，同时，点 Q 在线段 CA 上由点 C 向点 A 运动.1若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， BPD 与CQP 是否全等，请说明理由；2若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使厶 BPD 与CQP 全等？（2） 若点 Q 以中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿 ABC 三边运动,2已知：在 ABC 中，/ACB 为锐角，点 D 为射线 BC 上一动点，连接 AD，以 AD 为一边且在 AD 的左侧

14、作等腰直角ADE，解答下列各题：如果 AB=AC , ZBAC=90 .（i）当点 D 在线段 BC 上时（与点 B 不重合），如图甲，线段 BD, CE 之间的位置关系为（ii）当点 D 在线段 BC 的延 长线上时，如图乙，i）中的结论是否还成立？为什么?可编辑是 BC 上的任一点,则经过_ 后，点 P 与点 Q 第一次在厶 ABC 的_边上相遇？（在横线上直接写出答案，不必书写解题过程）BPC3. (2012 ?内江)已知 ABC 为等边三角形，点 D 为直线 BC 上的一动点(点 D 不与 B、C 重合)，以 AD 为边作菱形ADEF( A、D、E、F 按逆时针排列)，使/ DAF=6

15、0 ，连接 CF .(1)如图 1，当点 D 在边 BC 上时，求证： BD=CF :AC=CF+CD ;(2)如图 2，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，结论AC=CF+CD 是否成立？若不成立，请写出 AC、 CF、CD 之间存在的数量关系，并说明理由；(3)如图 3，当点 D 在边 BC 的延长线上且其他条件不变时，补全图形，并直接写出AC、CF、CD 之间存在的数量 关系.囹甲A2.（08河北中考第24题）如图14-1，在ABC中，BC边在直线I上，AC丄BC,且AC = BC.EFP的边FP也在直线I上，边EF与边AC重合，且EF=FP.（1）在图14-1中，请你通过

16、观察、测量，猜 想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP沿直线I向左平移到图14-2的位置时，EP交AC于点Q，连结AP，BQ猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜 想；（3）AEFP沿直线I向左平移到图14-3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连结AP，BQ你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若 不成立，请说明理由.求证：BH=ACBE丄AD3.（2006年辽宁沈阳25题）.如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别为边BC、CD的中点，AF、DE相交于点G,则可得结论：AF=DE:AF丄DE.（不

17、需要证明如图2，若点E、F不是正方形ABCD的边BC、CD的中点，但满足CE=DF.则上面的结论、是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）如图3，若点E、F分别在正方形ABCD的边CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时 上面的结论、是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由_A.DF lcJBEEF第为题可编辑4.如图 1，A、E、F、C 在同一条直线上， AE=CF，过 E、F 分别作 DE 丄 AC，BF 丄 AC，若 AB=CD，试说明 BD 平分EF;若将 DEC 的边 EC 沿 AC 方向移动变为图 2 时，其余条件不变，BD 是否还平分 EF，请说

18、明理由。可编辑5.如图，ABC中，/ACB= 90 ,C= BC,AE是BC边上的中线，过C作CF丄AE，垂足为F,过B作BD丄BC交CF的延长线于D.求证：(1)AE=CD；(2)若AC= 12 cm，求BD的长.6 .如图，两个全等的含 30 450 角的三角板 ADE 和三角板 ABC 放置在一起，ZDEA= /ACB=90 ,DAE= /ABC=30E、A、C 三点在一条直线上，连接 BD，取 BD 中点 M，连接 ME、MC，试判断厶 EMC 的形状，并说明理由.可编辑E7已知 BE, CF 是ABC 的高，且 BP=AC , CQ=AB，试确定 AP 与 AQ 的数量关系和位置关系

19、8.在 RtKBC 中，AC = BC,/ACB = 90 D 是 AC 的中点，DG 丄 AC 交 AB 于点 G.(1)如图 1 , E 为线段 DC 上任意一点，点 F 在线段 DG 上，且 DE=DF，连结 EF 与 CF，过点 F 作 FH 丄 FC,交直 线 AB 于点 H .1求证：DG=DC2判断 FH 与 FC 的数量关系并加以证明.(2)若 E 为线段 DC 的延长线上任意一点，点 F 在射线 DG 上， (1)中的其他条件不变，借助图 2 画出图形。在你所画图形中找出一对全等三角形，并判断你在(1)中得出的结论是否发生改变.(本小题直接写出结论，不必证明)可编辑QA30、

20、如图，AD/BC , AD=BC , AE 丄 AD , AF 丄 AB，且 AE=AD , AF=AB，求证：AC=EF1.直线CD经过BCA的顶点C,CA=CB.E、F分别是直线CD上两点，且BEC CFA（1）若直线CD经过BCA的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图 1，若BCA 90,90，则EFBE AF（填“”，“ ”或“”号）；如图 2，若0oBCA 180，若使中的结论仍然成立，则与BCA应满足的关系是（2）如图 3，若直线CD经过BCA的外部, 证明.BCA，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予图 2图 32.已知：如图，四边形 ABCD 中，

21、AC 平分 BAD , CE AB 于 E,且 B+ D=180 ，求证：AE=AD+BE3.操作：如图，KBC是正三角形，尘DC是顶角/BDC= 120。的等腰三角形, 以D为顶点作一个 60。角，角的两边分别交AB、AC边于M、N两点，连接MN.探究：线段BM、MN、NC之间的关系，并加以证明.可编辑4 .如图，已知 E 是正方形 ABCD 的边 CD 的中点，点 F 在 BC 上，且/ DAE= /FAE求证：AF=AD-CF5 .如图所示， 已知 ABC 中， AB=AC , D 是 CB 延长线上一点， / ADB=60 ,E 是 AD上一点， 且 DE=DB，求证:AC=BE+BC

22、6、在ABC 中，BD=DC，ED 丄 DF .求证：BE+ CF EF.可编辑旋转已知，如图，三角形 ABC 是等腰直角三角形，/ ACB=90 ,F 是 AB 的中点，直线 I 经过点 C,分别过点 A、B 作 I的垂线，即 AD 丄 CE, BE 丄 CE,(1 )如图 1，当 CE 位于点 F 的右侧时，求证： ADC B/CEB ;(2)如图 2，当 CE 位于点 F 的左侧时，求证： ED=BE-AD ;(3)如图 3，当 CE 在 AABC 的外部时，试猜想 ED、AD、BE 之间的数量关系，并证明你的猜想.z4iid2*3F图 L图 2S3考点：全等三角形的判定与性质专题：证明

23、题；探究型分析：(1 )利用同角的余角相等得出/ CAD= /BCE,进而根据 AAS 证明 ADC zCEB .(2)根据 AAS 证明ADC 也/CEB 后，得其对应边相等，进而得到ED=BE-AD .(3) 根据 AAS 证明ADC 也 zCEB 后，得 DC=BE , AD=CE，又有 ED=CE+DC ，进而得至 U ED=AD+BE .解答：(1) 证明： AD 丄CE，BE 丄 CE，ZADC= ZCEB=90 ./ZACD+ ZECB=90 ，zCAD+ ZACD=90 ，zCAD= /BCE (同角的余角相等).在ADC 与CEB 中/ADC= /CEB ZCAD= /BCE

24、 AC=BC可编辑念 DC /CEB (AAS ).(2)证明：T AD 丄 CE, BE 丄 CE,zADC= /CEB=90 ./ACD+ ZECB=90 ,AD+ ZACD=90 ,zCAD= /BCE (同角的余角相等).在 AADC 与 ACEB 中/ADC= /CEB /CAD= /BCE AC=BC,念 DC /CEB (AAS ). DC=BE , AD=CE 又ED=CD-CE , ED=BE-AD ( 3) ED=AD+BE 证明： AD 丄 CE, BE 丄 CE,/ADC= /CEB=90 T/ACD+ /ECB=90 ,/CAD+ /ACD=90 ,/CAD= /BC

25、E (同角的余角相等) 在/ ADC 与/ CEB 中/ADC= /CEB /CAD= /BCE AC=BC,念 DC 也/EB (AAS ). DC=BE , AD=CE 又ED=CE+DC , ED=AD+BE 点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；利用全等三角形的对应边相等进行等量交换,证明线段 之间的数量关系,这是一种很重要的方法,注意掌握可编辑3.如图 1、图 2、图 3 , AOB , ACOD 均是等腰直角三角形，/ AOB =/COD = 90 o ,(1 )在图 1 中，AC 与 BD 相等吗，有怎样的位置关系？请说明理由。(2)若 ACOD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后

26、，至 U 达图 2 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗，还具有那种位置关系吗? 为什么？(3)若 ACOD 绕点 O 顺时针旋转一定角度后，到达图 3 的位置，请问 AC 与 BD 还相等吗？还具有上问中的位置关考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形分析：(1 )根据等腰三角形的两腰相等进行解答.(2)证明 A DOB BJCOA，根据全等三角形的对应边相等进行说明解答：解：(1 )相等.在图 1 中，TAAOB , ACOD 均是等腰直角三角形，/ AOB= /COD=9O ,OA=OB , OC=OD ,0A-OC=OB-OD, AC=BD ;可编辑（2）相等.在图

27、2 中，OD=OC，/DOB= /COA , OB=OA ,:./DOB /COA ,BD=AC 点评：本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质以及旋转问题，在旋转的过程中要注意哪些量是 不变的，找出图形中的对应边与对应角.系吗？为什么?4. （2008 河南）.（9 分）复习“全等三角形”的知识时，老师布置了一道作业题：“如图，已知在ABC中，AB=AC,P是/ABC内部任意一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使/QAP=ZBAC，连接BQ、CP，则BQ=CP.”小亮是个爱动脑筋的同学，他通过对图的分析，证明了/ABQ也/CP，从而证得BQ=CP之后，将点P移到等腰三角形ABC之外，原题中

28、的条件不变，发现“BQ=CP”仍然成立，请你就图给出证明.考点：全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质.专题：证明题；探究型.分析：此题的两个小题思路是一致的；已知/QAP= ZBAC，那么这两个等角同时减去同一个角（2 题是加上同一个角），来证得/ QAB= ZPAC ;而根据旋转的性质知：AP=AQ，且已知 AB=AC，即可由 SAS 证得 ABQ 也/CP，进而得出 BQ=CP 的结论.解答：证明：（1 ）ZQAP= ZBAC , /zQAP- ZBAP= ZBAC- /BAP , 即 ZQAB= /CAP ;在/BQA 和/CPA 中，AQ=AP ZQAB= /CAP AB=ACz.

29、ZBQA 也/PA (SAS);BQ=CP .可编辑(2) BQ=CP 仍然成立，理由如下：vzQAP= ZBAC ,zQAP+ /PAB= ZBAC+ ZPAB,即 ZQAB= ZPAC;在QAB 和 APAC 中，AQ=AP ZQAB= ZPAC AB=AC,z.ZQAB 也 AAC (SAS),BQ=CP 点评：此题主要考查了等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质；选择并利用三角形全等是正确解 答本题的关键.5.(2009山西太原)将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图中的两张三角形胶片ABC和厶DEF且ABC乩DEF将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把DEF绕点B顺时

30、针方向旋转,O相交于点O当 DEF旋转至如图位置，点B(E),C, D在同一直线上时，AFD与DCA的数量关系是 _当DEF继续旋转至如图位置时，(1)中的结论还成立吗？ AO 与 DO 存在怎样的数量关系？请说明理由.可编辑这时AC与DF图点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质.专题：探究型.分析：(1 )根据外角的性质，得/ AFD= ZD+ /ABC,/DCA= /A+ /ABC，从而得出/ AFD= ZDCA ;(2) 成立.由 ABC 也/DEF，可证明/ ABF= /DEC UAABF 也/DEC，从而证出/ AFD= ZDCA ;(3) BO 丄 AD .由/ABC 也/EF，可

31、证得点 B 在 AD 的垂直平分线上，进而证得点 O 在 AD 的垂直平分线上，则直线BO 是 AD 的垂直平分线，即 BO 丄 AD .解答：解：(1 )/AFD= ZDCA (或相等).(2)/AFD= ZDCA (或成立)，理由如下：方法一：由 ABC 也/EF，得 AB=DE , BC=EF (或 BF=EC ) , ZABC= /DEF, ZBAC= ZEDF .A/ABC- ZFBC= ZDEF- ZCBF,/ABF= /DEC.在/ABF 和 ADEC 中， AB=DE ZABF= /DEC BF=EC.BFBQEC,/BAF= /EDC./BAC- ZBAF= ZEDF- /E

32、DC，/FAC= /CDF ./AOD= ZFAC+ ZAFD= ZCDF+ ZDCA ,/AFD= ZDCA .方法二：连接 AD 同方法一 ABF 也 AEC ,AF=DC .由 ZKBC /DEF，得 FD=CA .在 ZKFD /DCA , AF=DC FD=CA AD=DA.AFD 也 QCA , /AFD= ZDCA .(3)如图，BO 丄 AD .可编辑方法一：由 ABC 也 QEF，点 B 与点 E 重合，得/BAC= ZBDF, BA=BD .点 B 在 AD 的垂直平分线上，且 ZBAD= ZBDA .vzOAD= /BAD- ZBAC ,/ODA= ZBDA- ZBDF

33、,zOAD= /ODA .OA=OD，点 O 在 AD 的垂直平分线上.直线 BO 是 AD 的垂直平分线，BO 丄 AD .方法二：延长 BO 交 AD 于点 G,同方法一，OA=OD .在ABO 和 ADBO 中， AB=DB BO=BO OA=ODz.ABO /DBO , ZABO= ZDBO .在ABG 和 ADBG 中， AB=DB ZABG= /DBG BG=BG.BG 也 QBG , ZAGB= /DGB=90 .BO 丄 AD .点评：本题考查了三角形全等的判定和性质以及旋转的性质，是基础知识要熟练掌握.例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一

34、点，BE+DF=EF，求 Z EAF 的度数.ADF ( SAS)可得 AF=AG，进而求证厶 AEG zAEF 可得 Z EAG= /EAF，再求出 Z EAG+ ZEAF=90 即可解题.解答：解：延长 EB 使得 BG=DF，在ABG 和 AADF中，由 AB=AD ZABG= ZADF=90 BG=DF ，可得 AABG 幻 zADF (SAS)， zDAF= /BAG，AF=AG，又 TEF=DF+BE=EB+BG=EG ， AE=AE ，/AEG 幻 AEF ( SSS)，ZEAG= /EAF，V/DAF+ ZEAF+ ZBAE=90考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形

35、的性质.分析：延长EB 使得 BG=DF，易证 ABG可编辑/EAG+ /EAF=90 ,zEAF=45 .答：/EAF 的角度为 45 点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等 的性质，本题中求证/ EAG= ZEAF 是解题的关键.VD 为等腰 Rt ABC 斜边 AB 的中点，CD 平分/ ACB，CD 丄 AB，/A=45 , CD=DA， /zBCD=45 ，DA=90VzDM 丄 DN，/zEDF=90 ，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角也考查了等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质.1、已知四边形ABCD中，

36、AB AD，BC CD，AB BC，Z ABC 120，Z MBN它的两边分别交AD， DC（或它们的延长线）于E， F当Z MBN绕B点旋转到AE CF时（如图 1），易证AE CF EF.当Z MBN绕B点旋转到AE CF时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明.例 2 D 为等腰(1)(2)ABC斜边 AB 的中点，DM 丄 DN,DM,DN 分别交 BC,CA 于MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF。Rt当若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。全等三角形的判定与性质；等

37、腰直角三角形专题：CD 平分/ACB，CD 丄 AB，/A=45 ，M考点：旋转的性质；据等腰直角三角形的性质得到CDA=90 ，由/DM 丄 DN 得 ZEDF=90 ，根据等角的余角相等得到/ CDE= ZADF，根幻 ADF，即可得到结论；（2）由厶 DCEzADF，_则 SeCE=S AADF，于是四边形 DECF 的面积=S AACD，由而 AB=2 可得积公式易求得 SAACD，从而得到四边形 DECF 的面积解答：解：(1)/zCDE= ZADF，在DCE 和ADF 中，ZDCE= ZDAF DC=DA ZCDE= ZADF/ZDCEzADF，/DE=DF ;(2)VZDCEzA

38、DF，SmCE=S KDF，四边形 DECF 的面积=S ACD，而 AB=2，.CD=DA=1 ，.四边形 DECF 的面积=S AACD=1 2 CD ?DA=1 2(图 1)(图 2)(图 3).点评：本题考查了旋转的性质:旋转前后两图形全等,即对应角相等，对应线段相等,60o，/ MBN绕B点旋转,点 E,F。C连 CD，如图,计算题分析：（1 ）连 CD，根ACD=DA，贝 U/BCD=45 ，/据全等三角形的判定易得 DCENCD=DA=1 ，根据三角形的面AIN可编辑解】图LL冰久国107不咸 N证明囲如圍10-小延艮兀呈枣E, fc-AIG适播:.BE = BK. ZABE=A

39、KBC FEE _ &T、ZA5C = 120 *EC*4EE = &E:.BC 中ZJCKBF = /FEE = 6(T FQZXEM 八 KFEF ,:. KC+CF = EFrAE+CP-EF -io-3不成土AE, CF. EF .AE-CF = EF2、(西城 09 年一模)已知：PA=2,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在直线AB 的两侧.如图，当/APB=45 时求 AB 及 PD 的长；(2)当 ZAPB 变化，且其它条件不变时，求 PD 的最大值，及相应/ APB 的大小.3、在等边ABC的两边AB、AC 所在直线上分别有两点M

40、、N, D 为VABC外一点，且MDN 60,BDC 120,BD=DC.Q；此时一LDN 时，猜想(I)问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明;考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质.分析：(1 )由 DM=DN ，/MDN=60 ，可证得MDN 是等边三角形，又由 ABC是等边三角形，CD=BD，易证得 RtBDM 织 tCDN，然后由直角三角形的性质， 即可求得 BM、NC、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN ， 此时 QL =2 3;(II)如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM(III)如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时,若 AN

41、=X，贝 U Q=_ (用X、L 表示).ABC的周长 L 的关系.探究：当 M、BM、NC、MN 之间的数量关系及图 2图 3(I)如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN时，BM、NC、MN 之间的数量关系是可编辑图 132（2） 在 CN 的延长线上截取 CM1=BM ，连接 DM1 .可证 AOBM 幻/DCM1，即可得 DM=DM1 ，易证得/ CDN= /MDN=60 得MDN 幻 JM1DN，然后由全等三角形的性质，即可得结论仍然成立；（3） 首先在 CN 上截取 CM1=BM ，连接 DM1，可证 AOBM 幻 QCM1，即可得 DM=DM1 ，然后证得/ C

42、DN= ZMDN=60 MDN 幻 JM1DN，则可得 NC-BM=MN .解答：解：（1）如图 1，BM、NC、MN 之间的数量关系 BM+NC=MN .此时 Q L =2 3.（ 2 分）.理由：TDM=DN ，/MDN=60 ，/ZMIDN 是等边三角形，则可证易证得/ABC 是等边三角形，/zA=60 ，VBD=CD，/BDC=120 ，/zBDC= ZDCB=30 ，/JMBD= ZNCD=90 ，VDM=DN ， BD=CD ，Rt/BDM 织 t :DN，/zBDM= ZCDN=30 ,BM=CN ，DM=2BM ，DN=2CN ，MN=2BM=2CN=BM+CN;AM=AN ，

43、 ZAMN 是等边三角形，TAB=AM+BM ，AM : AB=2 : 3，Q L =2 3 ;（2） 猜想：结论仍然成立.（3 分）.证明：在 CN 的延长线上截取 CM 仁 BM，连接 DM1 . （4 分）/JMBD= ZM1CD=90 ,BD=CD， ）BM 幻 ZDCM1，/DM=DM1 ，/MBD= ZM1CD，M1C=BM ，/JMDN=60 ，启 DC=120 ， JM1DN= ZMDN=60 ，.MDN 幻 ZIIDN ，MN=M1N=M1C+NC=BM+NC， ZAMN 的周长为：AM+MN+AN=AM+BM+CN+AN=AB+AC/Q L =2 3;（3）证明：在 CN

44、上截取 CM 仁 BM，连接 DM1 .（4 分）可证ZDBM 幻 ZCM1 ，/MDN 幻 ZIIDN ，/MN=M1N ，（ 7 分）./NC-BM=MN . （8 分）.点评：此题考查了等边三角形，直角三角形，等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识.此题综 合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的作法.例 8 . （2005 年马尾）用两个的等边三角形ABC和ZACD拼成全等菱形图 131ABCD.把一个含 60。角的三角尺与这个菱形叠合，使三角尺的60。角的顶点与点A重合，两边分别与AB,AC重合将三角尺绕点A按逆时针方向旋转.（1）当三角尺的两边分别

45、与菱形的两边BC，CD相交于点E,F时，（如图 13 1），通过观察或测量BE,CF的长度,你能得出什么结论？并证明你的结论；（2 ）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图 13 2），你在（1 ）中得到的结论还成立吗？简要说明理由 .考点：菱形的性质；三角形的面积；全等三角形的判定与性质；旋转的性质分析：（ 1 ）利用全等三角形的判定得出 ABE 也 ACF 即可得出答案；（2 ）根据已知可以得出/ BAE= ZCAF，进而求出 ABE ZACF 即可；（3 ）利用四边形 AECF 的面积 S=S AEC+S ACF=S AEC+S ABE=S ABC 求出即

46、可.解答：解：（1 ）得出结论是： BE=CF ，证明：/BAC= /EAF=60 ，/BAC- ZEAC= ZEAF- ZEAC，即：/ BAE= ZCAF，又AB=AC，ZABE= ZACF=60 ， ZBAE= ZCAF AB=AC ZABE= ZACF ，公 BE 也 ACF （ASA ）， BE=CF ，（ 2 ）还成立，证明：ZBAC= ZEAF=60 ，ZBAC+ ZEAC= ZEAF+ ZEAC，即 ZBAE= ZCAF，又AB=AC，ZABE= ZACF=60可编辑即 /BAE= /CAF AB=AC /ABE= /ACF./ABE 也 zACF (ASA ),BE=CF ,

47、(3 )证明：ABE 也/CF ,S/BE=S /CF ,四边形 AECF 的面积 S=S /XEC+S /ACF=S /AEC+S /BE=S /ABC ;而 S /BC=1 2 S 菱形 ABCD ,S=1 2 S 菱形 ABCD 点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及四边形面积，熟练利用全等三角形判定求出 是解题关键.解：(1)BE=CF.证明：在/ABE和/ACF中，/BAE+ZEAC=ZCAF+/EAC=60 ,ZBAE=ZCAF.vAB=AC,/B=ZACF=60 ,./BEMCF(ASA )BE=CF.(2 )BE=CF仍然成立.根据三角形全等的判定公理，同样可以证明/ABE和

48、/ACF旋转型1、如图，正方形 ABCD 的边长为 1 , G 为 CD 边上一动点(点 外作正方形GCEF，连接 DE 交 BG 的延长线于 H。求证：/BCG 也/CE BH 丄 DE考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质专题：动点型.分析:(1)根据正方形的G 与 C、D 不重合)，可编辑边的性质和直角可通过 SAS 判定 ABCG 也 QCE，从而利用全等的性质得到/ BGC= /DEC;(2)连接 BD，解题关键是利用垂直平分线的性质得出BD=BE，从而找到 BD= 2 ，CE=BE-BC= 2-1，根据全等三角形的性质求解即可解答：解：(1 )证明：四边形

49、 ABCD、GCEF 都是正方形，BC=DC，/BCG= /DCE=90 , GC=EC/ZBCG 也 QCE (3 分)zBGC= /DEC (4 分)(2)连接 BD如果 BH 垂直平分 DE，则有 BD=BE ( 6 分) BC=CD=1 ,BD= 2（8 分）CE=BE-BC= 2 -1（ 9 分） CG=CE= 2 -1 即当 CG= 2 -1 时，BH 垂直平分 DE . (10 分)点评：此题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和线段的垂直平分线的性质等几何知识线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等特殊图形的特殊性质要熟练掌握.2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如

50、图1 所示放置，图 2 是由它抽象出的几何图形，B, C, E 在同一条直线 上，连结 DC (1 )请找出图 2 中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)(2)证明：DC 丄 BE 专题：证明题可编辑考点：全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形图 1图 2分析：(1 )此题根据厶 ABC 与AED 均为等腰直角三角形，容易得到全等条件证明ABE 幻 ACD ;(2)根据(1 )的结论和已知条件可以证明DC 丄 BE.解答：证明：(1 )vBC 与AED 均为等腰直角三角形，/AB=AC , AE=AD，/BAC= / EAD=90 ./zBAC+ ZCAE= ZEAD+

51、 /CAE .即 ZBAE= /CAD ,在ABE 与 AACD 中，AB=AC/BAE=/ CADAE=AD/ZABEzACD .(2 )vBE zACD，/zACD= / ABE=45 .又 ACB=45 ，/zBCD= ZACB+ / ACD=90 .DC 丄 BE.点评：此题是一个实际应用问题，利用全等三角形的性质与判定来解决实际问题，关键是理解题意，得到所需要的已知条件.3、(1 )如图 7,点 0 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角4、如图，AE 丄 AB , AD 丄 AC , AB=AE，/B= ZE,求证：(

52、1 ) BD=CE ; ( 2) BD 丄 CE.证明：(1 ) AE 丄 AB , AD 丄 AC ZBAE= /CADZBAD= /CAE .而 AB=AE , ZB= ZE,.公BD /AEC .BD=CE.(2 )由/ABD 也/EC 知 ZB= ZE.而 ZAGB= /EGF ,./EFG= /EAB=90 ，-BD 丄 CE.如图，点 O 是线段 AD 的中点，分别以 AO 和 DO 为边在线段 AD 的同侧作等边三角形 OAB 和等边三角形 OCD ,连接 AC 和 BD，相交于点 E，连接 BC .求 ZAEB 的大小.考点：等边三角形的性质；全等三角形的判定与性质.专题：计算

53、题.分析：由于 BOC 和 AABO 都是等边三角形，可得 OD=DC=OC=OB=OA，进而求出 Z BDA 与 ZCAD的大小及关系，则可求解 Z AEB .解答：解： DOC 和/ABO 都是等边三角形，形 OCD，连结 AC 和 BD，相交于点 E，连结BC .求/AEB 的大小;(2)如图 8，AOAB 固定不动，保持 OCD的形状和大小不变，将 OCD绕着点 O 旋转(A OAB 和 AOCD 不能重叠)，求/AEB 的大小.可编辑AA图 8且点 O 是线段 AD 的中点，OD=DC=OC=OB=OA,z.ACD 也/BA ,ZBDA= ZCAD .又 V/BDA+ ZOBD= /

54、BOA=6O ,而 ZODB= ZOBD ,ZBDA=30 .可编辑zCAD=30 vzAEB= ZBDA+ /CAD ,zAEB=60 .点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质；可围绕结论寻找全等三角形，运用 全等三角形的性质判定线段相等，求得角的度数是正确解答本题的关键.答题：yeyue5、如图所示，已知 AE 丄 AB , AF 丄 AC , AE=AB , AF=AC。求证： (1 ) EC=BF ; (2 ) EC 丄 BFF6、 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求/ EAF 的度数.考点：旋转的性质；全等三角

55、形的判定与性质； 正方形的性质.分析：延长 EB 使得 BG=DF，易证ABG 也 ZADF ( SAS ) 可得 AF=AG，进而求证 AEG 也公 EF 可得/ EAG= /EAF，再求出/ EAG+ /EAF=90。即可解题.解答：解：延长 EB 使得 BG=DF ,在ABG 和ADF 中，由 AB=AD /ABG= /ADF=90 BG=DF , 可得 ABG zADF ( SAS ),可编辑BCJDAF= /BAG , AF=AG ,又EF=DF+BE=EB+BG=EG, AE=AE , /AEG 也 ZAEF (SSS),zEAG= ZEAF ,VJDAF+ ZEAF+ /BAE=

56、90/EAG+ ZEAF=90 ,zEAF=45 .答：ZEAF 的角度为 45。点评：本题考查了正方形各内角均为直角，考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对 应边、对应角相等的性质，本题中求证 ZEAG= ZEAF 是解题的关键.7、D 为等腰Rt ABC斜边 AB 的中点，DM 丄 DN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F。1当MDN绕点 D 转动时，求证 DE=DF。2若 AB=2，求四边形 DECF 的面积。10、如图，已知 AB=CD=AE=BC+DE=2 , ZABC= /AED=90 ，求五边形 ABCDE 的面积考点：全等三角形的判定与性质专题：应用题分析：可延长

57、DE 至 F，使EF=BC，可得 ABC 也 zAEF，连 AC , AD , AF，可将五边形 ABCDE 的面积转化为两个 ADF 的面积，进而求出结论.解答：解：延长DE 至 F,使 EF=BC，连 AC ,AD , AF,AB=CD=AE=BC+DE, ZABC= ZAED=90 ,CD=EF+DE=DF ,在 Rt SBC 与 Rt /EF 中，/ AB=AE ZABC= ZAEF BC=EF/.Rt /ABC 织 t /AEF ( SAS ),AC=AF ,可编辑AN在ACD 与AFD 中，/ AC=AF CD=DF AD=AD./ACD 也 zAFD ( SSS),SABCDE=

58、2S /ADF=2 X1 2 ?DF ?AE=2 X1 2 X2 X2=4 .点评：本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及 三角形面积的计算，应熟练掌握 五、旋转例 1 正方形 ABCD 中，E 为 BC 上的一点，F 为 CD 上的一点，BE+DF=EF，求 Z EAF 的度数.将三角形ADF绕点A顺时针旋转90度，至三角形ABG贝U GE=GB+BE=DF+BE=EF又AE=AE,AF=AG,所以三角形AEF全等于AEG所以ZEAF= ZGAE= ZBAE+ ZGAB= ZBAE+ ZDAF又ZEAF+ ZBAE+ ZDAF=90所以 Z EAF=45 度E、F.请你通过观察、测量，判断

59、 AE 与 AF 之间的数量关系，并说明理由.将三角尺沿对角线平移到图 2 的位置，PE、PF 之间有怎样的数量关系，并说明理由.如果将三角尺旋转到图 3 的位置，PE、PF 之间是否还具有(2)中的数量关系？如果有，请说明(1)如图 1，现有一正方形 ABCD，将三角尺的指直角顶点放在A 点处，两条直角边也与 CB 的延长线、DC 分别交于占J(3)可编辑理由.如果没有，那么点 P 在 AC 的什么位置时，PE、PF 才具有(2)中的数量关系.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质专题：几何综合题分析:(2)本题要借助辅助线的帮助.过点P 作 PM丄 BC 于 M , PN 丄 DC 于

60、 N，证明 PMEzPNF 可推出 PE=PF .(3) PE、 PF 不具有(2)中的数量关系.当点 数量关系.解答：解：(1 )如图 1 , AE=AF .(2)如图 2 , PE=PF .理由：过点 P 作 PM 丄 BC 于 M , PN 丄 DC 于(ASA ),从而证得 PE=PF .(3) PE、PF 不具有(2 )中的数量关系.当点 P 在 AC 的中点时，PE、PF 才具有(2)中的数量关系.考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质. 专题：几何综合题.分析：(1 )证明 ABE 也 ADF 可推出 AE=AF .(2 )本题要借助辅助线的帮助.过点P 作 PM 丄 BC 于 M , P