变换思想在高等几何解题中的应用孙珊珊

1、通化师范学院本 科 生 毕 业 论 文（ 2015 届 ）题 目： 变换思想在高等几何解题中的应用 系 别： 数学学院 专 业： 数学与应用数学 班 级： 二班 作者姓名： 孙珊珊 学号：201106010231 指导教师： 赵建红 职称： 副教授 学历： 本科生 论文成绩： 2014 年 12 月目 录摘 要.IIAbstract .II1引言.12射影变换.1 2.1利用投影到无穷远点解决某类高等几何问题.1 2.2射影变换的一些特例在高等几何解题中的应用.22.2.1透视变换在几何解题中的应用.22.2.2高等几何解题中的配极变换.22.3 高等几何解题应用中的定理证明.33仿射变换.4

2、 3.1仿射变换的应用.4 3.1.1应用仿射变换作图形转换.4 3.1.2应用仿射变换求图形面积.43.1.3通过仿射变换的应用解决共点或共线问题.5 3.2几种特殊的仿射变换.54结束语.6致谢语.7参考文献.7指导教师评语.评阅人评语.变换思想在高等几何解题中的应用数学学院2015级2班 孙珊珊 摘 要：解析变换思想在高等几何中具有重要作用,在此仅就其在高等几何解题中的应用进行讨论,以使高等几何解题更加简便,高效. 关键词：变换; 解题 ; 几何; 高效Application of transformation in higher geometry in problem solving

3、Class2, 2015,College of Mathematics Sun ShanshanAbstract：Transform thought has an important role in higher geometry,here only discuss its application in higher geometry in solving the problem, in order to make the higher geometry is more convenient,efficient.Key words：ransform;problem solving;geomet

4、ry;application-I-1引言 几何学所研究的图形并不是孤立静止存在的,他们相互之间存在多种多样的联系,同时几何图形中的位置关系也体现出了事物之间的内在联系,要想去解决一些几何难题,就应当尝试去建立图形内外元素之间的关系,而建立这种关系的方法之一就是几何变换,变换的种类多种多样,常见的有对称、平移、旋转、射影、仿射等.运用这些变换的思想方法,能够使几何问题变得简洁、清晰、迅速、有效.在此我只是通过变换在高等几何解题中的应用谈一些方法和应用.2射影变换2.1利用投影到无穷远点解决某类高等几何问题给定平面和它上面的任意一条直线,则可选取任一平面和投影中心从而可使直线对应平面上的无穷远直线

5、,也就是说直线是平面内的影消线.这个过程可以叫做“将直线投影到无穷远点”.应用这种方法,能够解决此类高等几何问题. 例1 如图1所示设直线,交于一点S ,且 有,分别交两直线 , 于点 ,和 点,. 求证: 这三条直线与 、 与直线、 与 相交于同一条直线,并且这条直线通过直线与直线 的交点O. 图1 图2 证明 采用把直线投影到无穷远点的方法.也就是在直线和直线所确定的平面外选定任意一点,作平面平面.那么若以为射心,则可建立平面与平面的中心射影,那么就可以将直线射影成上的无穷远直线.如图2所示. 设,分别表示，,在此中心射影下的象，显然有.在平面中，容易证明直线与的交点，与的交点，与的交点在

6、一条直线上，且所在的直线平行于,所在的直线或,所在的直线.由于中心射影能够保持结合性不变，所以图1中可见，直线和的交点，和的交点，和的交点在同一条直线上，且点也在这一条直线上.由例1可见,应用投影到无穷远点的方法可以证明一些共点或共线问题，通过摄影变换实现相交线和平行线的转换，再在投影后的图形上对原问题进行分析和讨论，从而使原问题得到解决. 12.2射影变换的一些特例在高等几何解题中的应用 射影变换包括一维射影变换及高维射影变换，一维射影变换包括双曲型，椭圆形射影变换等，而透视变换，对合变换是一维射影变换的一种特殊形式，例如我们所学习的笛沙格定理及其逆定理的应用.而高维射影变换则包括直射变换，

7、对射变换，而合同变换，配极变换，正交变换，仿射变换等则属于多维射影变换的特例.在此，我们仅就透视变换和配极变换进行探讨和说明.2.2.1透视变换在几何解题中的应用 透视变换是射影变换在高等几何解题应用中的一种重要形式，而透视变换的重要形式则是笛沙格定理及其逆定理的应用，它作为高等几何中经常应用的定理之一,不仅是射影平面上的重要定理，同时也是许多定理推导和总结的根据，应用它还可以解决高等几何中的许多共点、共线问题.定理1 若两个三点形对应的顶点连线交于同一点，那么它们的对应边的交点落于同一条直线上. 定理2 若两个三点形对应的边的交点在同一条直线上，那么它们的对应顶点的连线交于相同的一点.例2

8、已知两条直线，因为障碍物的关系不能求出他们的交点，尝试作过点和定点的直线.解 过某已知的点任引两条直线，和直线使之分别交于点和点,连接直线和使之交于一点，过点作一条直线使它分别和交于点,连接直线,使,连接,则它即为所求的直线.由笛沙格定理得知，已知三点形和三点形,三条直线、相交于一点，所以有直线和直线的交于一点,直线和直线交于一点,直线和直线交于一点,则此三点共线.2 图3 2.2.2高等几何解题中的配极变换作为对射变换的特例之一的配极变换也可以被称为对合的射影变换. 定理3 某一定点位于射影平面上,则它关于二阶曲线上的调和共轭点的集合构成一条直线. 推论1 异于二阶曲线上的两点则它们和一条二

9、阶曲线的共轭点的充分必要条件为. 推论2 不在二阶曲线上的点一定有确定的极线. 定理4（配极原则) 在某一射影平面上，若点关于二阶曲线的极线过点,则点关于此二阶曲线的极线也通过点. 推论3 在射影平面中，二阶曲线上的每一条直线一定有确定的极点. 推论4 在射影平面上，共线点或共点线的极线或极点一定共点或者共线. 定理5 设有一条二级曲线，如果它来自于两个射影点列的对应点的连线，那么在这一条曲线上任意选取两条直线与曲线的线相交，那么可以得到以这两个定直线为底且成射影对应的两个点列. 例3 设某一二阶曲线上的四点构成一完全四点形，那么这一完全四点形的对边三点形的顶点则是它所对边上的极点.证明 如图

10、，设是一三点形且它内接于某一条二阶曲线的完全四点形的对边，那么所以两点都是某一点关于二阶曲线的调和共轭点.从而直线是点的极线.同理可得，直线是点的极线.再根据推论可得直线是点的极线.3 Z 图4 2.3高等几何解题应用中的定理证明 射影变换在高等几何解题应用中,有许多应用广泛的定理,比如前面提到的笛沙格定理,同样也包括广泛应用在二次曲线的射影变换中的帕斯卡（）定理和布利安桑（）定理等.布利安桑定理和帕斯卡定理是两个相互对偶的命题,因此只需证明其一即可.在此仅就布利安桑定理给以证明. 例4 尝试证明布利安桑定理：非退化的二级曲线的外切六点形的三对对应顶点的连线必定交于相同的一点.4证明 如图，设

11、是二级曲线的外切简单六线形,对顶,的连线是,的连线是,的连线是,以,为底分别截其他四条线,则根据定理3可以得到 设为与的连线,为与的连线,则所以 由于公共线是自对应的,从而有 所以,三点共线,即,共点. 3仿射变换 图5仿射变换是平面到自身的点对应,它能够保持同素性,结合性,和共线三点单比不变等特性.如果在仿射变换的定义下,则能够解决仿射变换保持两条直线的平行性的相关问题；如果平行四边形经过仿射变换后,则变换后的图形仍旧是平行四边形；如果两条平行线段经过仿射变换后,则它们的长度之比能够保持不变.3.1仿射变换的应用3.1.1应用仿射变换作图形转换 仿射对应图形间,可以通过一个图形的某些性质导出

12、对应图形的一些性质.因此,经仿射变换作图形转换,对于几何性质的推导及应用具有重要的意义. 例5 如果能够将椭圆变成一个圆.那么试求其仿射变换. 解 设，则变换是一个仿射变换.椭圆经过这个仿射变换后的象是一个圆,其方程为.3.1.2应用仿射变换求图形面积定理6 若存在两个三角形,则其面积的比为仿射不变量推论5 若存在两个多边形,则它们面积的比为仿射不变量推论6 若存在两个封闭的图形,那么它们的面积之比为仿射不变量例6 求椭圆的面积 解：设建立笛卡儿直角坐标系,则有椭圆方程 经过仿射变换 其对应的图形为圆. 如图所示,在仿射变换之下,所以对应,其中.根据推论2,有 所以 因此所给椭圆的面积为.5

13、图63.1.3通过仿射变换的应用解决共点或共线的问题例7 如图所示,四边形是梯形,其中,、分别是上、下两底的中点,、相交于点,、相交于,试应用仿射变换的方法来证明四点共线. 图7 图8 证明 如图,作任意一个等腰三角形,由于任意两个三角形都是仿射等价的,所以必存在唯一一个仿射变换,使得,其中.在上任取一点,使得.过作与交于. 连接、,在此等腰梯形中,两底的中点,两对角线的交点,两腰的交点,这四个点共线,即点共线. 通过本题的做法,仿射变换有保持同素性和结合性的特点.所以,.又因为,所以.同时又由四点共线,则可以证明四点共线.63.2几种特殊的仿射变换 如果仿射变换的解析式的系数符合一些特定条件

14、时,那么便可以得到几类特殊的仿射变换包括正交变换,位似变换,相似变换,压缩变换等,而特殊形式下仿射变换的应用则可使问题更加简单,明了,快速,高效.(1) 正交变换： 其中 （2） 位似变换 （3） 相似变换 （4） 压缩变换 类似的平移,旋转,轴反称等都是特殊形式的正交变换. 定理7 若一变换能够保持两个向量的内积不变,则此变换为正交变换. 推论7 若一变换能够保持两点间的距离不变,则此变换为正交变换. 推论8 若一变换能够保持两条直线的交角不变,则此变换为正交变换.7 例8 利用旋转变换求顶点在原点,正交弦长为2,主轴倾斜角为30。的抛物线的方程. 解 由正交弦长为2,主轴为轴,可知抛物线的

15、方程为 如图， 图9 利用旋转变换公式 以原点为旋转中心,旋转角为30。的变换公式为 为了求出此抛物线的方程,应再把式转换为 再将式代入抛物线的方程,从而即可得到所要求的抛物线的方程 即 .54 结束语总之，通过射影变换，仿射变换等思想使高等几何解题更加简洁，明了，高速，有效.从而也验证了变换思想在高等几何解题应用的重要性，本文单就射影变换，仿射变换的简单分类在高等几何解题中的应用进行举例和分析，变换思想在几何解题中应用广泛，在此只从其中的部分应用进行阐述.致谢语在我的毕业论文写作过程中,赵建红老师无论从选题,构思直到最后定稿的每一个环节都给了我细心的指导和耐心的解答以及热心的帮助,使我能够顺利完成我的毕业论文设计.在学习中,赵建红老师认真负责的教学态度以及精益求精的治学精神使我们学习的想到和未来投入教育工作的榜样,在生活中，赵建红老师同样给予我们关怀和温暖.在大学的学习和生活中,还有许多老师和同学给予我关心和帮助.在这里,我诚挚的向老师和同学们表示感谢.最后,我想对大学四年给予我们知识,关怀,和指导的每一位老师表示尊敬和感激.同时也对那些在学习中帮助我,在生活中照顾我的同学们说一声谢谢. 参考文献1梅向明 刘增贤 门树慧. 高等几何O.北京:高