psr000830圆锥曲线

1、psr000830圆锥曲线一选择题（共1小题）1如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M若|MF2|=|F1F2|，则C的离心率是（）ABCD二填空题（共1小题）2如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为三解答题（共28小题）3在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且|AM|=2|MB|，

2、（1）若点M的轨迹为曲线C，求其方程；（2）过点P（0，1）的直线l与曲线C交于不同两点E、F，N是曲线上不同于E、F的动点，求NEF面积的最大值4已知椭圆+=1，过其左焦点F1作一条直线交椭圆于A，B两点，D（a，0）为F1右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M，N若以MN为直径的圆恰好过F1，求a的值5设椭圆C：的离心率e=，左顶点M到直线=1的距离d=，O为坐标原点（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（）在（）的条件下，试求AOB的面积S的最小值6如图，设抛物线C1：y2=4mx（m0）的准线与x

3、轴交于F1，焦点为F2；以F1，F2为焦点，离心率e=的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P，延长PF2交抛物线于点Q，M是抛物线C1上一动点，且M在P与Q之间运动（1）当m=1时，求椭圆C2的方程；（2）当PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时，求MPQ面积的最大值7已知椭圆C的两个焦点是（0，）和（0，），并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F（）求椭圆C和抛物线E的标准方程；（）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物线E于点G、H，求的最小值8已知抛物线C2：x2=2py（p0）的通径长为4，椭圆C1：+=1

4、（ab0）的离心率为，且过抛物线C2的焦点（1）求抛物线C2和椭圆C1的方程；（2）过定点M（1，）引直线l交抛物线C2于A，B两点（点A在点B的左侧），分别过A、B作抛物线C2的切线l1，l2，且l1与椭圆C1相交于P，Q两点记此时两切线l1，l2的交点为点C求点C的轨迹方程；设点D（0，），求DPQ的面积的最大值，并求出此时点C的坐标9椭圆C：+=1（ab0），圆心在坐标原点，半径为的圆C1定义为椭圆C的“友好圆”若椭圆C的离心率为e=，且其短轴上的一个端点到右焦点F的距离为（1）求椭圆C的方程及其“友好圆”圆C1的方程（2）过椭圆中心O的两条弦PR与QS互相垂直，试探讨四边形PQRS与圆

5、C1的位置关系；（3）在（2）条件下，求四边形PQRS面积的取值范围10已知椭圆C：+=1（ab0）经过P（1，），离心率为（）求椭圆的方程；（）若椭圆C上存在两个不同的点M、N关于直线y=x+d对称，求d的取值范围；（）设动直线l：mx+ny+n=0（m，nR）交椭圆C于A、B两点，试问在y轴正半轴上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由？11已知椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1（2，0），F2（2，0），点A（2，3）在椭圆C1上，过点A的直线L与抛物线C2：x2=4y交于不同两点B，C，抛物线C2在点B，C处的切线分别为

6、l1，l2，且l1与l2交于点P（1）求椭圆C1的方程；（2）是否存在满足（|）+（|）=0的点P？若存在，指出这样的点P有几个，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由12已知椭圆C：=1（ab0）的短轴长为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H，设P为椭圆C上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围？13椭圆C：的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点

7、M（m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k0，试证明为定值，并求出这个定值14如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°（）求该椭圆的离心率；（）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点记GFD的面积为S1，OED（O为原点）的面积为S2，求的取值范围15在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：=1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：

8、y=2分别交于点M、N；（）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证：k1k2为定值；（）求线段MN长的最小值；（）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论16已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，过l上一点P作抛物线的两切线，切点分别为A、B，（1）求证：PAPB；（2）求证：A、F、B三点共线；（3）求的值17已知点P1（x0，y0）为双曲线（b为正常数）上任一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于P2（1）求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程；（2）设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x1，y1）（y10）

9、，直线QB，QD分别交y轴于M，N两点求证：以MN为直径的圆过两定点18已知椭圆C1：（ab0）的右顶点A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1（）求椭圆C1的方程；（）设点P在抛物线C2：y=x2+h（hR）上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值19如图，过抛物线y2=2px（p0）的焦点F的直线与抛物线相交于M、N两点，自M、N向准线l作垂线，垂足分别为M1、N1（1）求证：FM1FN1；（2）记FMM1、FM1N1，FNN1的面积分别为S1、S2、S3，试判断S22=4S1S3是否成立，并证明你的结论20已知椭圆C的中心为直

10、角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1（1）求椭圆C的方程；（2）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线21已知一列椭圆n=1，2若椭圆Cn上有一点Pn，使Pn到右准线ln的距离dn是pnFn与PnGn的等差中项，其中Fn、Gn分别是Cn的左、右焦点（I）试证：（n1）；（II）取，并用Sn表示PnFnGn的面积，试证：S1S2且SnSn+1（n3）22如图，以椭圆的中心O为圆心，分别以a和b为半径作大圆和小圆过椭圆右焦点F（c，0）（cb）作垂直于x轴的直线交大圆于第一象限内的点A连接OA交小圆

11、于点B设直线BF是小圆的切线（1）求证c2=ab，并求直线BF与y轴的交点M的坐标；（2）设直线BF交椭圆于P、Q两点，求证=b223双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线为C的一条渐近线（1）求双曲线C的方程；（2）过点P（0，4）的直线l，交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合），当，且时，求Q点的坐标24如图，三定点A（2，1），B（0，1），C（2，1）；三动点D，E，M满足=t，=t，=t，t0，1（）求动直线DE斜率的变化范围；（）求动点M的轨迹方程25如图，椭圆Q：（ab0）的右焦点F（c，0），过点F的一动直线m绕点F转动，并且交椭圆于A、B两点，P是线段AB的中

12、点（1）求点P的轨迹H的方程（2）在Q的方程中，令a2=1+cosq+sinq，b2=sinq（0q），确定q的值，使原点距椭圆的右准线l最远，此时，设l与x轴交点为D，当直线m绕点F转动到什么位置时，三角形ABD的面积最大？26已知椭圆C1：，抛物线C2：（ym）2=2px（p0），且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点（）当ABx轴时，求m、p的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上；（）是否存在m、p的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的m、p的值；若不存在，请说明理由27已知常数a0，向量=（0，a），=（1，0），经过原点O以+为方向向量的直线与经过定

13、点A（0，a）以2为方向向量的直线相交于点P，其中R试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由28在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F设过点T（t，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m0，y10，y20（1）设动点P满足PF2PB2=4，求点P的轨迹；（2）设x1=2，x2=，求点T的坐标；（3）设t=9，求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）29已知双曲线的中心在原点，右顶点为A（1，0）点P、Q在双曲线的右支上，支M（m，0）到直线AP的

14、距离为1（）若直线AP的斜率为k，且，求实数m的取值范围；（）当时，APQ的内心恰好是点M，求此双曲线的方程30已知抛物线C1：x2=y，圆C2：x2+（y4）2=1的圆心为点M（）求点M到抛物线C1的准线的距离；（）已知点P是抛物线C1上一点（异于原点），过点P作圆C2的两条切线，交抛物线C1于A，B两点，若过M，P两点的直线l垂直于AB，求直线l的方程psr000830圆锥曲线参考答案与试题解析一选择题（共1小题）1（2012浙江）如图，F1，F2分别是双曲线C：（a，b0）的在左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M若|

15、MF2|=|F1F2|，则C的离心率是（）ABCD【分析】确定PQ，MN的斜率，求出直线PQ与渐近线的交点的坐标，得到MN的方程，从而可得M的横坐标，利用|MF2|=|F1F2|，即可求得C的离心率【解答】解：线段PQ的垂直平分线MN，|OB|=b，|O F1|=ckPQ=，kMN=直线PQ为：y= （x+c），两条渐近线为：y=x由，得Q（ ）；由得P直线MN为，令y=0得：xM=又|MF2|=|F1F2|=2c，3c=xM=，3a2=2c2解之得：，即e=故选B二填空题（共1小题）2（2009江苏）如图，在平面直角坐标系xoy中，A1，A2，B1，B2为椭圆的四个顶点，F为其右焦点，直线A

16、1B2与直线B1F相交于点T，线段OT与椭圆的交点M恰为线段OT的中点，则该椭圆的离心率为【分析】解法一：可先直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为，联立两直线的方程，解出点T的坐标，进而表示出中点M的坐标，代入椭圆的方程即可解出离心率的值；解法二：对椭圆进行压缩变换，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）根据题设条件求出直线B1T方程，直线直线B1T与x轴交点的横坐标就是该椭圆的离心率【解答】解法一：由题意，可得直线A1B2的方程为，直线B1F的方程为两直线联立则点T（），则M（），由于此点在椭圆上，故有，整理得3a210acc2=0即e2+10e3=0，

17、解得故答案为解法二：对椭圆进行压缩变换，椭圆变为单位圆：x'2+y'2=1，F'（，0）延长TO交圆O于N，易知直线A1B1斜率为1，TM=MO=ON=1，设T（x，y），则，y=x+1，由割线定理：TB2×TA1=TM×TN，（负值舍去），易知：B1（0，1），直线B1T方程：令y=0，即F横坐标即原椭圆的离心率e=故答案：三解答题（共28小题）3（2014成都校级三模）在平面直角坐标系中，长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，点M在线段AB上，且|AM|=2|MB|，（1）若点M的轨迹为曲线C，求其方程；（2）过点P（0，1）的直线

18、l与曲线C交于不同两点E、F，N是曲线上不同于E、F的动点，求NEF面积的最大值【分析】（1）设A，B，M的坐标，根据|AM|=2|MB|，确定坐标之间的关系，利用长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，求出轨迹方程，即可求出曲线C的方程；（2）分类讨论，直线的斜率存在时，设l：y=kx+1代入椭圆方程，利用弦长公式，求出|EF|，再求出l，l的距离，表示出NEF面积，利用导数法，即可得到NEF面积的最大值【解答】解：（1）设A（x0，0），B（0，y0），M（x，y）|AM|=2|MB|，x0=3x，y0=y，长度为3的线段AB的端点A、B分别在x，y轴上滑动，x02+y02=9

19、=1，曲线C的方程是=1 .（4分）（2）当直线的斜率不存在时，即l：x=0，此时（SNEF）max=2 .（5分）当直线的斜率存在时，设l：y=kx+1，E（x1，y1），F（x2，y2），y=kx+1代入椭圆方程，可得（4+k2）+2kx3=0，有x1+x2=，x1x2=，|EF|=.（7分）由题知过N的直线ll，且l与椭圆切于N点时，SNEF最大，故设l：y=kx+b（b2）联立l与椭圆方程得（4+k2）+2kbx+b23=0，此时=0，可得k2=b24l，l的距离d=，SNEF=（b2），.（10分）（SNEF）2=4（1+）（b2）设y=（SNEF）2，t=（t0），有y=4（1+t

20、）（1t）3，y=8（1t）2（2t+1）0，函数y在（，0），上单调递减，当t=时，函数y取得最大值，即b=2时，（SNEF）max=2综上所述，（SNEF）max= （13分）4已知椭圆+=1，过其左焦点F1作一条直线交椭圆于A，B两点，D（a，0）为F1右侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M，N若以MN为直径的圆恰好过F1，求a的值【分析】由椭圆方程求出左焦点坐标，左准线方程，当直线AB的斜率存在时，设出斜率，写出直线AB的方程，和椭圆方程联立后利用根与系数的关系求出A，B两点的横纵坐标的积，然后再设出M，N的坐标，由M、A、D共线把M的坐标用A的坐标表示，由N、B、D共线把N的坐标

21、用B的坐标表示，再由求出M，N的纵坐标的乘积，把M，N的纵坐标的乘积转化为A，B的坐标乘积后代入根与系数关系，最后得到等式求解a的值；当直线AB的斜率不存在时，直接求出A，B的坐标，分别写出AD和BD的方程，求出M和N的坐标，利用求解a得值【解答】解：由椭圆+=1，得F1（3，0），左准线方程为x=当直线AB的斜率存在时，设AB方程为y=k（x+3），A（x1，y1），B（x2，y2），由，得（16+25k2）+150k2x+225k2400=0=设由M、A、D共线，得由N、B、D共线，得又由已知得，得，而，即=，整理得（1+k2）（16a2400）=0，解得a=±5，又a3，a=5

22、当AB的斜率不存在时，求得，AD方程为，即，取x=，得，由对称性可得，由，得解得：a=15或a=a3，此时的a不合题意综上，a的值为55（2015武侯区校级一模）设椭圆C：的离心率e=，左顶点M到直线=1的距离d=，O为坐标原点（）求椭圆C的方程；（）设直线l与椭圆C相交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点，证明：点O到直线AB的距离为定值；（）在（）的条件下，试求AOB的面积S的最小值【分析】（）由已知得，又a2=b2+c2，由此能求出椭圆C的方程（）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，x1x2+y1y2=0，点O到直线AB的距离为当直线AB的斜率存在时，

23、设AB的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，由此利用韦达定理结合已知条件推导出点O到直线AB的距离为，由此能证明点O到直线AB的距离为定值（3）设直线OA的斜率为k0，OA的方程为y=k0x，OB的方程为y=，联立，得，同理，得，由此能求出AOB的面积S的最小值【解答】解：（）由已知得，又a2=b2+c2，解得a=2，b=1，c=，椭圆C的方程为（）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，则由椭圆的对称性知x1=x2，y1=y2，以AB为直线的圆经过坐标原点，=0，x1x2+y1y2=0，又点A在椭圆C上，=1，解得|x1|=|

24、y1|=此时点O到直线AB的距离（2）当直线AB的斜率存在时，设AB的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4m24=0，以AB为直径的圆过坐标原点O，OAOB，=x1x2+y1y2=0，（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=0，（1+k2），整理，得5m2=4（k2+1），点O到直线AB的距离=，综上所述，点O到直线AB的距离为定值（3）设直线OA的斜率为k0，当k00时，OA的方程为y=k0x，OB的方程为y=，联立，得，同理，得，AOB的面积S=2，令1+=t，t1，则S=2=2，令g（t）=+4=9（）2+，（t1）4g（t），当k0=0时，解得S=1，S

25、的最小值为6（2015南海区校级模拟）如图，设抛物线C1：y2=4mx（m0）的准线与x轴交于F1，焦点为F2；以F1，F2为焦点，离心率e=的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点为P，延长PF2交抛物线于点Q，M是抛物线C1上一动点，且M在P与Q之间运动（1）当m=1时，求椭圆C2的方程；（2）当PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数时，求MPQ面积的最大值【分析】（1）当m=1时，y2=4x，则F1（1，0），F2（1，0）设椭圆方程为=1（ab0），由题设条件知c=1，a=2，b2=3，由此可知椭圆C2方程为=1（2）因为c=m，e=，则a=2m，b2=3m2，设椭圆方程为，由，得3x2

26、+16mx12m2=0，得xP=代入抛物线方程得P（，），由此得m=3，由此可求出MPQ面积的最大值【解答】解：（1）当m=1时，y2=4x，则F1（1，0），F2（1，0）设椭圆方程为=1（ab0），则c=1，又e=，所以a=2，b2=3所以椭圆C2方程为=1（4分）（2）因为c=m，e=，则a=2m，b2=3m2，设椭圆方程为由，得3x2+16mx12m2=0（6分）即（x+6m）（3x2m）=0，得xP=代入抛物线方程得yP=m，即P（，）|PF2|=xP+m=，|PF1|=2a|PF2|=4m=，|F1F2|=2m=，因为PF1F2的边长恰好是三个连续的自然数，所以m=3（8分）此时抛

27、物线方程为y2=12x，P（2，2），直线PQ方程为：y=2（x3）联立，得2x213x+18=0，即（x2）（2x9）=0，所以xQ=，代入抛物线方程得yQ=3，即Q（，3）|PQ|=设M（，t）到直线PQ的距离为d，t（3，2）则d=|（t+）2|（10分）当t=时，dmax=，即MPQ面积的最大值为××=（12分）7（2014武侯区校级模拟）已知椭圆C的两个焦点是（0，）和（0，），并且经过点，抛物线的顶点E在坐标原点，焦点恰好是椭圆C的右顶点F（）求椭圆C和抛物线E的标准方程；（）过点F作两条斜率都存在且互相垂直的直线l1、l2，l1交抛物线E于点A、B，l2交抛物

28、线E于点G、H，求的最小值【分析】（I）设椭圆的标准方程，利用椭圆的定义，求出a，即可得出椭圆的方程，从而可得右顶点F的坐标，即可求出抛物线E的标准方程；（）设l1的方程：y=k（x1），l2的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合向量的数量积公式，利用基本不等式，即可求的最小值【解答】解：（I）设椭圆的标准方程为（ab0），焦距为2c，则由题意得 c=，a=2，b2=a2c2=1，椭圆C的标准方程为 （4分）右顶点F的坐标为（1，0）设抛物线E的标准方程为y2=2px（p0），抛物线E的标准方程为y2=4x （6分）（）设l1的方程：y=k（x1），l2的方程，A（x1，y1），B（x2

29、，y2），G（x3，y3），H（x4，y4），由消去y得：k2x2（2k2+4）x+k2=0，x1+x2=2+，x1x2=1由消去y得：x2（4k2+2）x+1=0，x3+x4=4k2+2，x3x4=1，（9分）=|+|=|x1+1|x2+1|+|x3+1|x4+1|=（x1x2+x1+x2+1）+（x3x4+x3+x4+1）=8+8+=16当且仅当即k=±1时，有最小值16（13分）8（2014武侯区校级模拟）已知抛物线C2：x2=2py（p0）的通径长为4，椭圆C1：+=1（ab0）的离心率为，且过抛物线C2的焦点（1）求抛物线C2和椭圆C1的方程；（2）过定点M（1，）引直线l

30、交抛物线C2于A，B两点（点A在点B的左侧），分别过A、B作抛物线C2的切线l1，l2，且l1与椭圆C1相交于P，Q两点记此时两切线l1，l2的交点为点C求点C的轨迹方程；设点D（0，），求DPQ的面积的最大值，并求出此时点C的坐标【分析】（1）由抛物线C2：x2=2py（p0）的通径长为4，得p=2，由此能求出抛物线C2的方程由题意C2焦点坐标为（0，1），e=，由此能求出椭圆C1的方程（2）设直线l：y=kx+（k+）联立，得x24kx4k6=0由已知条件求出l1：y=，l2：y=，由此能求出点C的轨迹方程设l1：y=kx+b，代入，得：（1+4k2）x2+8kbx+4b24=0，由此利用

31、韦达定理和根的判别式结合已和条件能求出DPQ的面积的最大值和此时点C的坐标【解答】解：（1）抛物线C2：x2=2py（p0）的通径长为4，2p=4，解得p=2，抛物线C2的方程为x2=4y由题意C2焦点坐标为（0，1），b=1，离心率为，e=，解得a=2，椭圆C1的方程为（2）设直线l的斜率为k，则直线l：y=k（x+1），即y=kx+（k+）联立，得x24kx4k6=0设A（s，），B（t，），st，则s+t=4k，st=4k6，抛物线y=，则l1：y=（xs），即l1：y=，同理l2：y=，由，得x=2k，y=，x+2y+3=0l1与椭圆C1相交于P，Q两点，由，得，l1与椭圆C1相交于P

32、，Q两点，=（s3）24（s2+1）（）0，解得0由，得x=点C的轨迹方程为x+2y+3=0（x）设l1：y=kx+b，代入，得：（1+4k2）x2+8kbx+4b24=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则设l1与y轴交于点E，则=（*）由l1：y=kx+b与抛物线相切，得：x24kx4b=0，=16k2+16b=0，k2=b，代入（*）得：SDPQ=b=2时，10成立，DPQ的面积的最大值为此时直线，由，得x=，y=此时点9（2014武侯区校级模拟）椭圆C：+=1（ab0），圆心在坐标原点，半径为的圆C1定义为椭圆C的“友好圆”若椭圆C的离心率为e=，且其短轴上的一个端点到右焦点F的

33、距离为（1）求椭圆C的方程及其“友好圆”圆C1的方程（2）过椭圆中心O的两条弦PR与QS互相垂直，试探讨四边形PQRS与圆C1的位置关系；（3）在（2）条件下，求四边形PQRS面积的取值范围【分析】（1）通过椭圆离心率和短轴上的一个端点到右焦点F的距离为，即可求出椭圆的标准方程，进而求出其“友好圆”方程（2）设直线QS的方程为y=kx，利用已知条件建立k的等式，财利用方程的基础知识进行化简（3）在（2）的基础上求内接菱形PQRS的面积的取值范围，当QS的斜率存在且不为0时，先求出=，记k+=t，由此能求出四边形PQRS面积的取值范围【解答】解：（1）由题意知，e=，解得c=，b=1，椭圆C的方

34、程为=1，设圆C1的半径为r，则=，圆C1的方程为x2+y2=（2）过椭圆的两条弦PR与QS互相垂直，由图形的对称性知四边形PQRS为菱形，即研究椭圆的任意内接菱形PQRS与圆C1的位置关系，只需求原点到菱形PQRS每一条边的距离即可，当QS的斜率不存在或斜率为0时，菱形PQRS的四个顶点分别是椭圆的顶点，原点到每条边的距离都是=，此时菱形PQRS与圆C1相切，当QS的存在且不为0时，设QS的斜率为k，不妨设k0，直线QS的方程为y=kx，代入椭圆=1，得，菱形PQRS的四个顶点必然分别在四个象限中，不妨设S，P，Q，R依次在第一、二、三、四象限，则有S（），将点S坐标中的k换成，得P（），|

35、SP|2=（）2+（）2=，又|OS|2=，|OP|2=，记原点O到直线SP的距离为d，同时可求得原点O到PQ，QR，RS的距离都是四边形PQRS与圆C1相切（3）记菱形PQRS的面积为S1，当QS的斜率为0时，菱形PQRS的四个顶点分别为椭圆的四个顶点，当QS的斜率存在且不为0时，设QS的斜率为k，不妨设k0，直线QS的方程为y=kx，代入椭圆G的方程，得=1，得，由（2）知|OS|2=，|OP|2=，S1=2|OS|OP|，=4|OS|2|OP|2=4，分子、分母同时除以k2，得=，记k+=t，则t2，=t22，则=，在t（2，+）上是单调增函数，3+（3，4，=9，12），则S13，2）

36、综上所述，四边形PQRS面积的取值范围为3，210（2014武侯区校级模拟）已知椭圆C：+=1（ab0）经过P（1，），离心率为（）求椭圆的方程；（）若椭圆C上存在两个不同的点M、N关于直线y=x+d对称，求d的取值范围；（）设动直线l：mx+ny+n=0（m，nR）交椭圆C于A、B两点，试问在y轴正半轴上是否存在一个定点Q，使得以AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由？【分析】（）依题意得，从而，把P（1，），代入能求出椭圆的方程（）设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点（x0，y0），利用点差法能求出d的范围（）依题意，动直线l过定点（0，），当直线

37、l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，与y轴正半轴交于点（0，1，由此推导出在y轴正半轴上存在一个定点Q（0，1）满足条件【解答】解：（）依题意得，c=，b2=a2c2=，即a2=2b2，又椭圆C：+=1（ab0）经过P（1，），+=1，解得b=1，椭圆的方程为（）设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点（x0，y0），两式相减，得=0，+（y1+y2）（y1y2）=0，x0=2y0，y0=x0+d，MN中点（），=kMN=1，解得，d的范围是（）（）依题意，动直线l过定点（0，），当直线l的斜率不存在时，以AB为直径的圆的方程为x2+y2=1，与y轴正半轴交于点（

38、0，1）下面证明点Q（0，1）就是所求的点：当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx，由，得（18k2+9）x212kx16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，=（x1，y11），=（x2，y21），=x1x2+（y11）（y21）=（1+k2）x1x2+=（1+k2）（x1+x2）+=（1+k2）+=0QAQB，即以AB为直径的圆恒过点Q（0，1），在y轴正半轴上存在一个定点Q（0，1）满足条件11（2014武侯区校级模拟）已知椭圆C1的中心在坐标原点，两个焦点分别为F1（2，0），F2（2，0），点A（2，3）在椭圆C1上，过点A的直线L与抛物线C2：x2=4y交于不同两

39、点B，C，抛物线C2在点B，C处的切线分别为l1，l2，且l1与l2交于点P（1）求椭圆C1的方程；（2）是否存在满足（|）+（|）=0的点P？若存在，指出这样的点P有几个，并求出点P的坐标；若不存在，说明理由【分析】（1）设椭圆C1的方程为（ab0），依题意：，由此能求出椭圆C1的方程（2）设直线L的方程为y=k（x2）+3，由，得由此能求出满足条件的点P的个数及其坐标【解答】解：（1）设椭圆C1的方程为（ab0），依题意：解得：椭圆C1的方程为（5分）（2）显然直线L的斜率存在，设直线L的方程为y=k（x2）+3，由消去y，得x24kx+8k12=0设B（x1，y1），C（x2，y2），则

40、x1+x2=4k，x1x2=8k12由x2=4y，即，得y=抛物线C2在点B处的切线l1的方程为，即（7分），同理，得抛物线C2在点C处的切线l2的方程为由解得P（2k，2k3）8 分，点P在椭圆上化简得7k212k3=0（10分）由=1224×7×（3）=2280，或满足条件的点P有两个，坐标或（13分）12（2014泸县校级三模）已知椭圆C：=1（ab0）的短轴长为2，离心率为（1）求椭圆C的方程；（2）若过点M（2，0）的引斜率为k的直线与椭圆C相交于两点G、H，设P为椭圆C上一点，且满足（O为坐标原点），当时，求实数t的取值范围？【分析】（1）根据椭圆C：=1（ab

41、0）的短轴长为2，离心率为，求出几何量，即可求椭圆C的方程；（2）设直线y=k（x2），联立椭圆，0，得，条件转换一下就是，根据弦长公式，得到，然后把把P点的横纵坐标用t，x1，x2表示出来，设G（x1，y1），H（x2，y2），其中要把y1，y2分别用直线代换，最后还要根据根系关系把x1，x2消成k，得，代入椭圆，得到关系式，所以，根据利用已经解的范围得到【解答】解：（1）椭圆C：=1（ab0）的短轴长为2，离心率为，b=1，=，a2=b2+c2，a=，b=1，椭圆C的方程为（3分）（2）设G（x1，y1），H（x2，y2），设直线y=k（x2），联立椭圆，可得（1+2k2）x28kx+8k

42、22=0=（8k）24（1+2k2）（8k22）0，得，（5分）条件转换一下就是，x1+x2=，x1x2=根据弦长公式，得到（7分）设P（x，y），则，（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），x=（x1+x2），y=（y1+y2）根据x1+x2=，x1x2=，把x1，x2消成k，得（9分）然后代入椭圆，得到关系式，（11分），实数t的取值范围为（13分）13（2013山东）椭圆C：的左右焦点分别是F1，F2，离心率为，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1（1）求椭圆C的方程；（2）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（

43、m，0），求m的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k0，试证明为定值，并求出这个定值【分析】（1）把c代入椭圆方程得，解得，由已知过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，可得再利用，及a2=b2+c2即可得出；（2）设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，利用椭圆的定义可得t+n=2a=4，消去t得到，化为，再根据acna+c，即可得到m的取值范围；（3）设P（x0，y0），不妨设y00，由椭圆方程，取，利用导数即可得到切线的斜率，再利用斜率计算公式即可得到k1，

44、k2，代入即可证明结论【解答】解：（1）把c代入椭圆方程得，解得，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1，又，联立得解得，椭圆C的方程为（2）如图所示，设|PF1|=t，|PF2|=n，由角平分线的性质可得，又t+n=2a=4，消去t得到，化为，acna+c，即，也即，解得m的取值范围；（3）证明：设P（x0，y0），不妨设y00，由椭圆方程，取，则=，k=，=，=8为定值14（2014南充一模）如图，椭圆的左焦点为F，过点F的直线交椭圆于A，B两点当直线AB经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角恰为60°（）求该椭圆的离心率；（）设线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别

45、交于D，E两点记GFD的面积为S1，OED（O为原点）的面积为S2，求的取值范围【分析】（）由题意知当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°，设 F（c，0），由直线斜率可求得b，c关系式，再与a2=b2+c2联立可得a，c关系，由此即可求得离心率；（）由（）椭圆方程可化为，设A（x1，y1），B（x2，y2）由题意直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入椭圆方程消掉y变为关于x的二次方程，由韦达定理及中点坐标公式可用k，c表示出中点G的坐标，由GDAB得kGDk=1，则D点横坐标也可表示出来，易知GFDOED，故=，用两点间距离公式即

46、可表示出来，根据式子结构特点可求得的范围；【解答】解：（）依题意，当直线AB经过椭圆的顶点（0，b）时，其倾斜角为60°设 F（c，0），则 将 代入a2=b2+c2，得a=2c所以椭圆的离心率为 （）由（），椭圆的方程可设为，设A（x1，y1），B（x2，y2）依题意，直线AB不能与x，y轴垂直，故设直线AB的方程为y=k（x+c），将其代入3x2+4y2=12c2，整理得 （4k2+3）x2+8ck2x+4k2c212c2=0则 ，所以因为 GDAB，所以 ，因为GFDOED，所以 =所以的取值范围是（9，+）15（2014蚌埠三模）在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：=

47、1的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、BP与直线l：y=2分别交于点M、N；（）设直线AP、BP的斜率分别为k1，k2求证：k1k2为定值；（）求线段MN长的最小值；（）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论【分析】（）由椭圆方程求出两个顶点A，B的坐标，设出P点坐标，写出直线AP、BP的斜率k1，k2，结合P的坐标适合椭圆方程可证结论；（）分别求出M和N点的坐标，由（）中的结论得到两直线斜率间的关系，把|MN|用含有一个字母的代数式表示，然后利用基本不等式求最值；（）设出以MN为直径的圆上的动点Q的坐标，由列式得到圆的方程，化为圆系方程后联

48、立方程组可求解圆所过定点的坐标【解答】（）证明：由题设椭圆C：=1可知，点A（0，1），B（0，1）令P（x0，y0），则由题设可知x00直线AP的斜率，PB的斜率为又点P在椭圆上，所以，从而有=；（）解：由题设可得直线AP的方程为y1=k1（x0），直线PB的方程为y（1）=k2（x0）由，解得；由，解得直线AP与直线l的交点N（），直线PB与直线l的交点M（）|MN|=|，又|MN|=|=等号成立的条件是，即故线段MN长的最小值为（）解：以MN为直径的圆恒过定点或事实上，设点Q（x，y）是以MN为直径圆上的任意一点，则，故有又所以以MN为直径圆的方程为令，解得或所以以MN为直径的圆恒过定点

49、或16（2013武侯区校级模拟）已知抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，过l上一点P作抛物线的两切线，切点分别为A、B，（1）求证：PAPB；（2）求证：A、F、B三点共线；（3）求的值【分析】（1）由抛物线方程求出抛物线的准线方程和焦点坐标，设出A，B的坐标，求出原函数的导函数，利用导数相等列式得到a22an4=0，b22bn4=0从而得到a，b是方程x22nx4=0的两根，则答案得证；（2）求出直线AB的斜率，写出直线方程的点斜式，从而得到直线AB过定点F；（3）求出，作比后得答案【解答】（1）证明：准线l的方程为：y=1，F（0，1），设P（n，1），A（），B（），即a22an4=0

50、，即b22bn4=0a，b是方程x22nx4=0的两根则ab=4即PAPB；（2）证明：由（1）知，a+b=2n，直线AB方程为即a+b=2n，ab=4，AB方程为y=直线AB过点F，即A、F、B三点共线；（3）=n24，则=117（2009江西）已知点P1（x0，y0）为双曲线（b为正常数）上任一点，F2为双曲线的右焦点，过P1作右准线的垂线，垂足为A，连接F2A并延长交y轴于P2（1）求线段P1P2的中点P的轨迹E的方程；（2）设轨迹E与x轴交于B、D两点，在E上任取一点Q（x1，y1）（y10），直线QB，QD分别交y轴于M，N两点求证：以MN为直径的圆过两定点【分析】（1）由已知得，则

51、直线F2A的方程为：y=（x3b），令x=0得P2（0，9y0），设P（x，y），则，由此能求出P的轨迹E的方程（2）在中，令y=0得x2=2b2，设，直线QB的方程为：，直线QD的方程为：，则M（0，），N（0，），由此能导出以MN为直径的圆过两定点（5b，0），（5b，0）【解答】解：（1）由已知得，则直线F2A的方程为：y=（x3b），令x=0得y=9y0，即P2（0，9y0），设P（x，y），则，即代入得：，即P的轨迹E的方程为（2）在中令y=0得x2=2b2，则不妨设，于是直线QB的方程为：，直线QD的方程为：，则M（0，），N（0，），则以MN为直径的圆的方程为：，令y=0得：，而

52、Q（x1，y1）在上，则，于是x=±5b，即以MN为直径的圆过两定点（5b，0），（5b，0）18（2009浙江）已知椭圆C1：（ab0）的右顶点A（1，0），过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1（）求椭圆C1的方程；（）设点P在抛物线C2：y=x2+h（hR）上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值【分析】（I）根据题意，求出a，b的值，然后得出椭圆的方程（II）设出M，N，P的坐标，将直线代入椭圆，联立方程组，根据判断最值即可【解答】解：（I）由题意得，所求的椭圆方程为，（II）不妨设M（x1，y1），N（x2，y2），P（t，t2+h），则抛物线C2在点P处的切线斜率为y'|x=t=2t，直线MN的方程为y=2txt2+h，将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2+（2txt2+h）24=0，即4（1+t2）x24t