10三维空间中二次方程与二次曲面

1、三维空间中二次方程与二次曲面张晓青（2010073060029）指导教师：李厚彪【摘要】 利用正交变换可以将二次型化为标准型，在三维空间中一个二次方程对应着一种 二次曲面.在研究二次方程的几何意义时，先将二次方程进行正交变换进而研究所得到的标准型对应的几何图形，可以证明所得的几何图形是一个与原几何图形相同但位于特殊位置的图形，具有一定的对称性，为研究带来方便.这种正交变换法适用于一般情况具有探究价值，本文基于教材，进一步讨论正交变换后不同的标准型与几何图形的关系，并附有图解.【关键词】正交表换 二次方程 二次曲面1 引 言 教材第六章二次型与二次曲面的几何应用中告诉我们不同的标准型的参数对应1

2、7种不同的几何图形，那么它们究竟是什么样的曲面图形呢？接下来我们一一讨论.2正 文如果线性变换中的系数举矩阵是正交矩阵，则称这个线性变换为正交变换对n维实向量，设为n阶正交矩阵，作正交变换，则 即，正交变换保持向量内积不变，因为也就保持向量的长度与夹角不变.于是在正交变换下，几何图形的形状不会发生改变.设 （1.1） 则方程在几何空间中表示一个二次曲面.令,， 则（1.1）式可记为 （1.2） 下面，令1. 作正交变换，其中，则 （1.3）其中，是矩阵的特征值,2. 对（1.3）配平方，在几何上就是作坐标平移变换，将(1.3)化为标准型，因为正交变换不改变向量的内积，所以化成的标准型后的方程表

3、示的几何图形与（1.1）中的几何图形相同. 由于二次曲面的三个特征根不全为零，下面按它们全不为零，有一个为零和有两个为零三种情况讨论.（1），通过配方，将 改写为 （2.1.1）令 作平移变换，方程化为 （2.1.2）讨论简化方程（2.1.2）的系数1）.与同号令，（2.1.2）变成 （2.1.3）为椭球面标准方程，确定的曲面为椭球面（图1 (a)）图1(a) 椭球面 图1(b) 球面特别地，当时为球面(图1(b) 与异号令，（2.1.2）变成 （2.1.4）为虚椭球面.中有一个与同号（不妨设与同号）令，（2.1.2）变成 （2.1.5）为单叶双曲面标准方程，确定的曲面为单叶双曲面（图2）.图

4、2单叶双曲面中有两个与同号（不妨设与同号）令，（2.1.2）变成 （2.1.6）为双叶双曲面标准方程，确定的曲面为双叶双曲面（图3）.图3 双叶双曲面2）同号 令，（2.1.2）变成 （2.1.7）当且仅当成立，故表示一点（0,0,0）.不全同号（不妨设与异号）令，（2.1.2）变成 （2.1.8）为椭圆锥面标准方程，确定的曲面为椭圆锥面(图4). 特别地当时为圆锥面(图5).图4椭圆锥面 图5 圆锥面（2）情况一：有且只有一个为零（不妨设），通过配方，将 改写为 （2.2.1）令 作平移变换，方程化为 （2.2.2）（1）再令 又一次作平移变换，方程化为（2.2.3）讨论简化方程（2.2.3

5、）的系数同号令,(2.2.3)变成（2.2.4），为椭圆抛物面的标准方程，所确定的曲面为椭圆抛物面（图6）. 特别地，当时，曲面是旋转抛物面（图7）.图6 椭圆抛物面 图7旋转抛物面异号令,(2.2.3)变成，为双曲抛物面的标准方程，所确定的曲面为双曲抛物面（图8）. 特别地，当时，表示的平面.图8 双曲抛物面（2）, 则A.同号与异号令，（2.1.2）变成，为椭圆柱面标准方程，确定的曲面为椭圆柱面（图9），特别地，当时为圆柱面.图9椭圆柱面与同号令，（2.1.2）变成，为虚椭圆柱面.异号令，（2.1.2）变成，为双曲柱面标准方程，确定的曲面为双曲柱面（图10）.图10 双曲柱面B.同号，则当

6、且仅当成立，表示一对垂直相交于一条直线的曲面.异号令，（2.1.2）变成，表示一对相交平面的标准方程，确定了两个相交平面, 特别地，当时，表示一对相互垂直的平面. 情况二：有两个为零（不妨设），通过配方，将 改写为 （2.3.1）令 作平移变换，方程化为 （2.3.2）讨论简化方程（2.3.2）的系数.（1）至少一个不为零令作旋转变换得，再令，方程化为（），为抛物柱面的标准方程，所确定的曲面为抛物柱面（图11）.图11抛物柱面（2） 则 （2.3.3）异号 令，方程（2.3.3）改写成 ，表示一对平行平面 .同号 令，方程（2.3.3）改写成 ，表示一对虚的平行平面. ，方程变为，表示一对重合平面.3.小 结： 任何一个二次方程通过正交变换可以化成五种标准方程之一：(一) ；(二) ；(三) ；(四) ；(五) .（为各二次方程的非零特征根）各标准方程对应不同的参数值可得17种类型