第讲圆锥曲线

1、1第第 3 3 讲讲圆锥曲线圆锥曲线一、考点整合1.直线与圆的位置关系：(1)圆心到直线的距离d|Ax0By0C|A2B2与半径 r 比较；(2)弦长公式|AB|2r2d2(弦心距d).2圆锥曲线的定义：(1)椭圆|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|；(2)双曲线|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|；(3)抛物线|MF|d(d为M点到准线的距离).3圆锥曲线的几何性质：(1)椭圆eca1b2a2.(2)双曲线eca1b2a2；渐近线方程：ybax或yabx；(3)抛物线：设y22px(p0)，C(x1，y1)，D(x2，y2)为抛物线上的点，F为其焦点.焦半径|CF|x1p2；过焦点的

2、弦长|CD|x1x2p；x1x2p24，y1y2p2.4.三大法宝研究直线与圆锥曲线:(1) 合理选择变量;(2)设而不求,整体代换；（3） 韦达定理。二、例题讲解1若圆上一点A(2，3)关于直线x2y0 的对称点仍在圆上，且圆与直线xy10 相交的弦长为 2 2，则圆的方程是_.2(1)已知对称中心为坐标原点的椭圆与双曲线有共同的焦点，其左、右焦点都在x轴上，分别设为F1，F2， 它们在第一象限的交点为P， PF1F2是以PF2为底边的等腰三角形， 若|PF2|3，且椭圆的离心率为23，则双曲线的离心率为()A.32B.2C.52D.3(2)平面直角坐标系xOy中， 双曲线C1：x2a2y2

3、b21(a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_.3椭圆C：x2a2y2b21(ab0)的左焦点为F，若F关于直线3xy0 的对称点A是椭圆C上的点，则椭圆C的离心率为()A.12B.312C.32D. 314如图，设抛物线y24x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则BCF与ACF的面积之比是()2A.|BF|1|AF|1B.|BF|21|AF|21C.|BF|1|AF|1D.|BF|21|AF|215如图，椭圆x2a2y2b21(ab0)的左、右焦点分别为F

4、1，F2，过F2的直线交椭圆于P、Q两点，且PQPF1.(1)若|PF1|2 2，|PF2|2 2，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|PQ|，求椭圆的离心率e.6已知椭圆E：x2a2y2b21(ab0)过点(0， 2)，且离心率e22.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：xmy1(mR R)交椭圆E于A，B两点， 判断点G94，0与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由.37如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x2a2y2b21(ab0)的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为 3.(1)求椭圆的标准方程；(2)过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和

5、AB于点P，C，若PC2AB，求直线AB的方程.8.已知抛物线22xpy上点P处的切线方程为10 xy（）求抛物线的方程；（）设11(,)A xy和22(,)B xy为抛物线上的两个动点，其中12yy且124yy，线段AB的垂直平分线l与y轴交于点C，求ABC面积的最大值4三、总结1.确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)；(2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(3)圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称.2.椭圆、双

6、曲线的方程形式上可统一为Ax2By21，其中A，B是不等的常数，AB0 时，表示焦点在y轴上的椭圆；BA0 时，表示焦点在x轴上的椭圆；AB0 时表示双曲线.3.对涉及圆锥曲线上点到焦点距离或焦点弦问题，恰当选用定义解题，会效果明显，定义中的定值是标准方程的基础.4.在椭圆焦点三角形PF1F2，F1PF2，则SPF1F2c|y0|b2tan2.5.求双曲线、椭圆的离心率的方法：方法一：直接求出a，c，计算eca；方法二：根据已知条件确定a，b，c的等量关系，然后把b用a，c代换，求ca.6.通径：过双曲线、椭圆、抛物线的焦点垂直于对称轴的弦称为通径，双曲线、椭圆的通径5长为2b2a，过椭圆焦点

7、的弦中通径最短；抛物线通径长是 2p，过抛物线焦点的弦中通径最短.椭圆上点到焦点的最长距离为ac，最短距离为ac.四、例题解答1解：设圆的方程为(xa)2(yb)2r2，点A(2，3)关于直线x2y0 的对称点仍在圆上，说明圆心在直线x2y0 上，即有a2b0，又(2a)2(3b)2r2，而圆与直线xy10 相交的弦长为 2 2，故r2ab1222，依据上述方程，解得a6，b3，r252或a14，b7，r2244.所以，所求圆的方程为(x6)2(y3)252 或(x14)2(y7)2244.思路二:点 A 恰好在直线 x-y+1=0 上，设直线x-y+1=0 与所求圆另一个交点是 B，线段 A

8、B 中点是M，分析得 M（1，2）或 M（3，4） ，从而求出线段AB 中垂线的方程，将线段 AB 中垂线的方程与直线x+2y=0 联立可求出圆心坐标。2(1)如图，设椭圆的长轴长为 2a1，双曲线的实轴长为 2a2，|F1F2|2c，则|PF1|F1F2|2c.在椭圆中， 由离心率的定义可知，e12c2a12c|PF1|PF2|2c32c23，解得c3，即|PF1|F1F2|6.在双曲线中，2a2|PF1|PF2|633，故其离心率e22c2a2632.故选 B.(2)由题意，不妨设直线OA的方程为ybax，直线OB的方程为ybax.由ybax，x22py，得x22pbax，x2pba，y2

9、pb2a2，A2pba，2pb2a2.设抛物线C2的焦点为F，则F0，p2 ，kAF2pb2a2p22pba.，OAB的垂心为F，6AFOB，kAFkOB1，2pb2a2p22pbaba1，b2a254.设C1的离心率为e，则e2c2a2a2b2a215494.e32.答案(1)B(2)323设左焦点F(c，0)，A点坐标为(x0，y0)，则y0 x0c（ 3）1，3x0c2y020，解得：x0c2，y032c，又点A在椭圆C上.c22a232c2b21，又b2a2c2，整理得：c48a2c24a40，e48e240，得：e242 3，e 31(e 31 舍去).答案D4由图象知SBCFSAC

10、F|BC|AC|xBxA，由抛物线的性质知|BF|xB1，|AF|xA1，xB|BF|1，xA|AF|1，SBCFSACF|BF|1|AF|1.故选 A.5解(1)由椭圆的定义，2a|PF1|PF2|(2 2)(2 2)4，故a2.设椭圆的半焦距为c，由已知PF1PF2，因此 2c|F1F2| |PF1|2|PF2|2 （2 2）2（2 2）22 3，即c 3，从而ba2c21.故所求椭圆的标准方程为x24y21.(2)如图，由椭圆的定义，|PF1|PF2|2a，|QF1|QF2|2a.从而由|PF1|PQ|PF2|QF2|，有|QF1|4a2|PF1|.又由PF1PQ，|PF1|PQ|，知|

11、QF1| 2|PF1|，因此，4a2|PF1| 2|PF1|，得|PF1|2(2 2)a，从而|PF2|2a|PF1|2a2(2 2)a2( 21)a.由PF1PF2，知|PF1|2|PF2|2|F1F2|2(2c)2，eca|PF1|2|PF2|22a （2 2）2（ 21）2 96 2 6 3.6解法一(1)由已知得，b 2，ca22，a2b2c2.解得a2，b 2，c 2.所以椭圆E的方程为x24y221.7(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0).xmy1，x24y221得(m22)y22my30.所以y1y22mm22，y1y23m22，从而y0mm2

12、2.所以|GH|2x0942y20my0542y20(m21)y2052my02516.|AB|24（x1x2）2（y1y2）24（1m2） （y1y2）24（1m2）（y1y2）24y1y24(1m2)(y20y1y2)，故|GH|2|AB|2452my0(1m2)y1y225165m22（m22）3（1m2）m22251617m2216（m22）0，所以|GH|AB|2.故点G94，0在以AB为直径的圆外.法二(1)同法一.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则GAx194，y1，GBx294，y2.由xmy1，x24y221得(m22)y22my30，所以y1y22mm22，y

13、1y23m22，从而GAGBx194x294 y1y2my154my254 y1y2(m21)y1y254m(y1y2)25163（m21）m2252m2m22251617m2216（m22）0，所以 cosGA，GB0.又GA，GB不共线，所以AGB为锐角.故点G94，0在以AB为直径的圆外.7解(1)依题ca22且ca2c3，得a 2，c1，则b1，椭圆的标准方程为x22y21.(2)当ABx轴时，AB 2，又CP3，不合题意.当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，将AB的方程代入椭圆方程，得(12k2)x24k2x2(k21)0，则x1

14、，22k2 2（1k2）12k2，C的坐标为2k212k2，k12k2，8且AB （x2x1）2（y2y1）2 （1k2） （x2x1）22 2（1k2）12k2.若k0，则线段AB的垂直平分线为y轴，与左准线平行，不合题意.从而k0，故直线PC的方程为yk12k21kx2k212k2，则P点的坐标为2，5k22k（12k2） ，从而PC2（3k21） 1k2|k|（12k2）.因为PC2AB，所以2（3k21） 1k2|k|（12k2）4 2（1k2）12k2，得k1.此时直线AB的方程为yx1 或yx1.8 （1）24xy（2）设线段AB中点00,M xy，则121200,22xxyyxy222102112212114442ABxxxyykxxxxxx，直线l：0022()yxxx ，即02( 4)