浅谈二次型理论一定理在中学数学中的应用 - 成长博客

1、浅谈二次型理论一定理在中学数学中的应用泉州第十五中学 张上建高等数学与初等数学有着密切的联系，其中有些基本原理对中学数学问题的解决有着很强的指导意义，能对问题给出一般性的解决方法，便于掌握。本文旨在探讨二次型理论一定理在中学数学中的应用。一、定理在北京大学数学力学系编高等代数教科书第375页有这么一个结论：设 f ( x1 , x2 , xn ) = XAX 是一实二次型，1，2 ，n 是A的特征多项式的根，且 1 2 n。则1XX XAX n XX，且等号成立的充分条件是 X 分别取 1 和n所对应的特征向量。证明从略。二、定理应用例1、求 f ( x1 .x2 .x3 )=2x12 + 5

2、x22 +5x32+ 4x1x2 - 4x1x3 - 8x2 x3 在条件x12 + x22 + x32 =1下的最大值与最小值。解：因为 f ( x1 .x2 .x3 )= ( x1 .x2 .x3 ) 令 A = I=由| I - A |= =0，得( - 1 )2( -10 ) =0所以 1 = 2 =1， 3 =10，根据定理的结论 1XX f ( x1 .x2 .x3 ) 3 XX 即x12 + x22 + x32 2x12 + 5x22 + 5x2+ 4x1x2 - 4x1x3 - 8x2x3 10(x12 + x22 + x32) 而x12 + x22 + x32 =1，故 f

3、( x1 .x2 .x3 ) 的最大值为10，最小值为1。例2设 x2+ xy + y2=19，求 x2 + y2 的最值。解：令 f ( x , y ) = x2 + xy + y1 = X XA= ,I=由|I-A|= =0， 得1= ，2=3/2，根据定理的结论，得1XX f ( x , y ) n XX,而 f ( x , y ) =19故( x2 + y2 ) 19( x2 + y2 ) 故 x2 + y2 的最大值为38，最小值为 。例3：求 f ( x , y ) x2 +4xy+2y2 在 ( x , y ) | x2 +y2 1，y0的最大值与最小值（1984年上海中学生数学

4、竞赛题）解： f ( x , y ) =( x , y ) , A =由| I - A | = =0 得1= 2=根据定理的结论有： 1XX f ( x，y) 2 XX ( x + y ) x2 +4xy+2y2 (x+y)而x + y 1，y0 故 f ( x，y) 的最大值为，最小值为 例4：设 x , y , z , w 是不全为零的实数。求：S= 的最大值（85年奥地利波兰联合数学竞赛题）解：令 f ( x , y , z , w ) =xy+2yz+zw 则f ( x , y , z , w )= ( x , y , z , w ) 这里 A= 由| I - A | =0，易得A的最

5、大特征值为所以依定理，得： f ( x , y , z , w ) ( x2+y2 + z2+ w2 )故S=的最大值是例5：已知三角形三边长为 a, b, c, 面积为S,求证：a2+b2+c2 S ，并问何时等号成立。（第三届MIO竞赛题）证：依正弦定理，有：S=a b sinc=b c sinA=a c sinB令f ( a, b, c)=ab+bc+ac=( a, b, c) =2S ( )A= ,由| I - A |= =0易得=1是A的最大特征值，根据定理，有f ( a, b, c)1（a2+b2+c2）故 a2+b2+c22S（）又在ABC中，sinA0, sinB0,sinC0,且有sinAsin BsinC所以 3 3 =故 a2+b2+c22S（）2S= S 上式等