第五章 数值积分

1、第五章 数值积分§5.0 引言§5.1 机械求积公式 §5.2 Newton-Cotes公式§5.3 变步长求积公式及其加速收敛技巧§5.4 Gauss公式§5.5 小结§5.0 引 言 1. 定积分的计算可用著名的牛顿-莱布尼兹公式来计算:其中F(x)是f(x)的原函数之一，可用不定积分求得。然而在实际问题中，往往碰到以下问题：(a) 被积函数f(x)是用函数表格提供的；(b) 被积函数表达式极为复杂，求不出原函数，或求出原函数后，由于形式复杂不利于计算；(c) 大量函数的原函数不容易或根本无法求出，例如，概率积分, 正弦

2、型积分 回路磁场强度公式 等根本无法用初等函数来表示其原函数，因而也就无法精确计算其定积分，只能运用数值积分。2 所谓数值积分就是求积分近似值的方法。而数值积分只需计算 在节点上的值，计算方便且适合于在计算机上机械地实现。§5.1 机械求积公式 1 数值积分的基本思想区间a,b上的定积分，就是在区间a,b内取n+1个点，利用被积函数f(x)在这n+1个点的函数值的某一种线性组合来近似作为待求定积分的值，即右端公式称为左边定积分的某个数值积分公式。其中,xk称为积分节点，Ak称为求积系数。因此，一个数值积分公式关键在于积分节点xk的选取和积分系数Ak的决定，其中Ak与被积函数f(x)无

3、关。称为机械求积公式。1.1 简单算例说明例1 求积分此积分的几何意义相当于如下图所示的曲边梯形的面积。解：（1） 用f(x)的零次多项式来近似代替,于是， （为左矩公式）推广: （为右矩公式） （为中矩公式）（2） 用f(x)的一次多项式来近似代替,于是， （为梯形公式）（3） 用f(x)的二次插值多项式,其中来近似代替,于是， 特别地：当时，有（为Simpson公式）2 代数精确度 定义：若积分的数值积分公式对于任意一个次数不高于m次的多项式都精确成立，且存在一个m+1次多项式使之不精确成立，则称该数值积分公式的代数精确度为m。 对于代数精确度为m的求积公式，若f(x)是不超过m次的代数多

4、项式，求积公式是精确成立的。2.1 算例例1: 有积分公式:求该积分公式的代数精确度。这个求积公式的几何意义是曲边梯形的面积近似地用两个梯形面积来代替。-1 01XYf(-1)f(1)f(0) 解：(1)取f(x)=1，定积分,而数值积分，两端相等；(2)取f(x)=x，定积分,而数值积分，两端相等；(3)取，定积分,而数值积分，两端不相等；只要取f(x)=1，f(x)=x验证了上述求积公式精确成立，就意味着对于任意一个一次多项式，求积公式都是精确成立的；而取时求积公式不精确成立，也就是存在一个二次多项式使求积公式不精确成立；故该求积公式的代数精确度为1。例2：在如下求积公式中，求积分节点和相

5、应的求积系数使其代数精确度尽可能高。解：(1) f(x)=1, ,而数值积分为；得到方程；(2) f(x)=x，而数值积分为；得到方程；(3) ，而数值积分为；得到方程；(4) ，而数值积分为；得到方程；综合上述方程：解得: 。于是我们得到积分公式。再取，有，而数值积分为，两式不相等，求积公式不精确成立了。所以，该积分公式的代数精确度为3。§5.2 Newton-Cotes公式1 公式的推导 Newton-Cotes公式是由拉格朗日插值公式推导出来的数值积分公式。将区间a,b等分n等份,记,分点为,k=0,1,.,n,这n+1个节点上的函数值为,从而区间a,b上的拉格朗日插值多项式为

6、其中,为插值基本多项式,与函数f(x)无关,k=0,1,.,n。 由于插值结点是等距节点，故插值多项式可以进一步化简:因为 ， 故 ， 因 ， 作积分变量代换， 当时，t=0；当x=b时，t=n；故记，我们称为柯特斯（Cotes）系数，它不仅与函数f(x)无关，而且与积 分区间a,b无关。例如：当n=1时 (梯形积分公式中的系数) ,;当 n=2时 (抛物线积分公式中的系数) , , ; 当n=3时 (3/8积分公式中的系数) ，；于是，由柯特斯（Cotes）系数公式出发，我们得到n阶NewtonCotes公式：。2 低阶公式及其余项常用的NewtonCotes公式a) 梯形公式YXf(a)f

7、(b)f(x)abOn=1时，积分节点为，则数值积分公式为：其几何意义是曲边梯形的面积近似地用梯形面积来代替。 其余项b) 抛物线公式（辛浦生Simpson公式） n=2时，积分节点为x0=a，x2=b；柯特斯系数为；则数值积分公式为:其几何意义是曲边梯形的面积近似地用由抛物线形成的曲边梯形面积来代替。其余项c) 柯特斯公式n=4时，积分节点为，；柯特斯系数为,；则数值积分公式为： 其余项综上所述，Newton-Cotes数值积分公式具有如下特点：(1) 建立在等距积分节点上，(2) 是封闭型的，即两个端点a,b也是积分节点，(3) 是由拉格朗日插值公式推导而得到的。2.1 Cotes系数的性

8、质引理: n阶NewtonCotes公式的代数精确度至少是n。证明: 如果是一个次数不超过n次的多项式，则其拉格朗日插值公式的插值余项为：故，这是对一切x均相等，精确成立。所以，即，数值积分公式的值精确地等于定积分的值，故n阶NewtonCotes公式的代数精确度至少是n。 性质1: 归一公式： 证明：由于数值积分公式的代数精确度至少为n，故对于，数值积分公式是精确成立的：，而由上述两式相等，得到： 性质2: 对称性：。3 复合求积公式 随着n的增加可以减少积分误差，但高阶N-C公式又会造成数值不稳定，因而采用复合求积公式。3.1 复合梯形公式 将区间等分n等份,分点是xk=x0+kh,(k=

9、0,1,.,n),其中。在每个子区间上用梯形公式则 此公式就是复合梯形公式。其几何意义是曲边梯形面积近似地用许多小的细条梯形来代替（如图）从图中可以看出，n越大，则h越小，实际面积与近似面积的差，即求积误差也就越小。这与分段插值相类似，所不同的是分段插值函数是不光滑的，而数值积分公式是对一个数的近似，不存在光滑和不光滑的问题。3.2 复合辛浦生公式 将区间a,b等分n等份，n为偶数（n=2n），分点是,，简记，则在每两个子区间()上用辛浦生公式:则此公式就是复合辛浦生公式。3.3 算例分别利用梯形公式和Simpson公式计算积分： 步长h=1/8。解：设,由复合梯形公式有：由复合Simpson

10、公式有：积分的相对精确值为。§5.3 变步长求积公式及其加速收敛技巧1.基本思想：在计算机上自动选择步长的变步长的方法和加速收敛的技巧（Richardson外推）a) 定义：若一个积分公式的误差满足 且C ¹ 0，则称该公式是 p 阶收敛的。b) 复合梯形公式：在每个上用梯形公式： 误差：c) 复合Simpson公式：误差：d) 综上所述: 1.1 算例：例：计算(1) = 3.138988494(2) = 3.141592502其中。2 变步长梯形求积公式：复合梯形求积时，通常采取将区间不断对分(一分为二)的方法，即取 n = 2k,注意到区间再次对分时，有:如此类推,可

11、得变步长的梯形公式为(1): 递推公式(2): 步长的自动选取注意到区间再次对分时:因此，若给定精度,则以递推公式计算积分近似值，直至终止计算，并以当前值为近似值。3 加速收敛技巧3.1基本思想龙贝格积分 Romberg Integration，主要采用Richardson外推。变步长梯形公式中：注意到 即：由此，可得梯形积分值外推一次的计算公式为：一般地，外推二次的计算公式为：外推三次的计算公式为：外推m次的计算公式为：重复上述步骤即可获得得系列逼近值：3.2 算例用龙贝格积分法计算定积分（）：§5.4 Gauss公式1 引言牛顿柯特斯型求积公式是封闭型的（区间a,b的两端点a,

12、b均是求积节点）而且要求求积节点是等距的,受此限制，牛顿柯特斯型求积公式的代数精确度只能是(为奇数)或(为偶数)。而如果对求积节点也适当的选取,即在求积公式中不仅而且也加以选取,这就可以增加自由度，从而可提高求积公式的代数精确度。2高斯求积公式和高斯点例:其中,固定在,可以适当选取,只有两个自由度,得到的是梯形公式,其代数精确度只有1。如果对求积节点也进行适当选取,将有四个自由度,得到如下公式: 这个积分公式的代数精确度为3,这就是高斯型求积公式,上面的求积节点称为高斯点。定义1：高斯型求积公式和高斯点 对于含有个参数的求积公式:,适当选取这个参数,可以使得数值积分公式的代数精确度达到,我们称

13、这一类求积公式为高斯型求积公式,称这类求积公式的积分节点为高斯点。定义2:如果个求积节点的求积公式的代数精确度为,则这个求积节点称为高斯点。3. 高斯点的特征定理:设是个相异点,以这个点为零点的次多项式为，则是高斯点的充要条件是对于任意不超过次的多项式,成立。证明:(必要性)设为高斯点,则对任意不超过次的多项式,均有,则对于任意次数不超过次多项式,是次数不超过次的多项式,且注意到,故(充分性)设对于一切次数不超过次的多项式,成立又设是次数不超过次的多项式,用去除,商,余,即,可知,和均是不超过次的多项式,从而，又因求积公式是插值多项式的构造导出的,由的选取,其代数精确度可以达到,而是次数不超过

14、次的多项式,因此成立因,所以,故而也即由于是次数不超过次的多项式,因此该积分公式的代数精确度至少为,因而节点是高斯点。 对于关系,我们称之为正交性,即与任意次多项式正交,而这样的多项式类称为正交多项式。3 高斯勒让德求积公式Legendre多项式称为勒让德(Legendre)多项式。其具有前面提到的正交性质,即对于任意次数不超过的多项式,成立。因此,多项式的零点就是相应的高斯勒让德求积公式的高斯点。勒让德多项式的前几项如下: ,例 用四点(n=3)的Gauss求积公式计算解 先将区间变换为-1，1，令 其中 (精确解 =0.467 401)这结果与用n=8的Romberg求积相当.§

15、5.5 总 结二、NewtonCotes求积公式 将区间a, b等分n等份，求积节点为xk=a+kh,k=0,1,.,n，其中节点间距。 其中，由n次拉格朗日插值公式的插值基函数lk(x)决定: 。当n =1时,得到梯形公式:误差为；当n =2时，得到抛物线（辛浦生）公式：误差为 ；当n =4时，得到柯特斯公式：误差为 ；三、复合公式1. 复合梯形公式 误差 ； 2. 复合辛浦生公式,n =2m为偶数,误差 。例：用复合公式计算，精确值 由，将区间0,1分成4等份，n=4，h=0.25，得数表：用复合梯形公式: ，误差R=0.0104719；用复合抛物线公式： =1.7553750，误差R=0.0000767。四、高斯型求积公式1. Legendre多项式对于任意次数不超过n的多项式q(x)，成立 。2. 高斯勒让德求积公式 勒让德多项式的零点是高斯勒让德求积公