数学分析华东师大第十一章反常积分

1、第十一章反常积分 1反常积分概念一问题提出在讨论定积分时有两个最基本的限 制：积分 区间的有穷 性和 被积函 数的 有 界性.但在很多实际问题中往往需要突 破这 些限制，考虑无 穷区间上的“积 分”，或是无界函数的“积分”，这便是本章的主题 .例1 (第二宇宙速度问题)在地球表面垂直发射火箭(图11 - 1 ),要使火 箭克服地球引力无限远离地球，试问初速度 V0至少要多大？”R设地球半径为R,火箭质量为m,地面上的重力加速度为 g .按万有引力定律，在距地心x( R)处火箭所受的引力为2f m .2x于是火箭从地面上升到距离地心为r ( R)处需作的功为r mg-R d x = mg R2

2、11Rx2当f + oo时，其极限mg r就是火箭无限远离地球需作的功.我们很自然地会把这极限写作上限为2mg R .d x =2x+X的“积分”： r2mgRlim/r + co rd x = mg R .图 11 - 1最后，由机械能守恒定律可求得初速度122xvo至少应使mg R .用 g = 9 .81( m/ ) , R = 6 .371 X 106(m)代入，便得vo =2 g R 11 .2( km6).例2圆柱形桶的内壁高 为h，内半径为R ,桶底有一半径为r的小孔(图11 - 2).试问从盛满水开始打开小孔直至流完桶中的水，共需多少时间 ？ 1反常积分概念269从物理学知道，

3、在不计摩擦力的情形下，当桶内水位 高度为（h - x ）时，水从孔中流出的流速 （单位时间内流过 单位截面积的流量）为v =2 g（ h - x）,其中g为重力加速度.设在很小一段时间d t内，桶中液面降低的微小量为d x ,它们之间应满足兀 R2 d x = v 兀 r2d t ,由此则有2 g( h所以流完一桶水所需时间在形式上亦可写成一d x , x 0 , h x )“积分”：R2d x .2 g( h - x)但是在这里因为被积函数是tf0 , h）上的无界函数，所以它的确切含义应该是 u2lim /Rd xu h- 0 r 2 g( h - x)2.-2lim 旦 h - hu h

4、gr22 h _Rg r相对于以前所讲的定积分（不妨称之为正常积分）而言，例1和例2分别提出了两类反常积分二两类反常积分的定义定义1 设函数f定义在无穷区间a, + -）上，且在任 何有限区间a , u 上可积.如果存在极限lim/ f （ x） d x = J,（ 1）u + co a则称此极限 J为函数f在a, + s）上的无穷限反常积分（简称无穷积分）,记作(1)+ 8+ 8并称r f （ x） d x收敛.如果极限（1）不存在，为方便起见，亦称r f （ x） d xa aa发散.类似地，可定义f在（-8, b上的无穷积分bbf f( x )d x = lim/ f ( x) d x

5、.( 2)-oou oo u对于f在(-8, + 8)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：+ a+/f ( x ) d x =( x) d x + faf( x) d x ,(3)其中a为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的注1 无穷积分(3)的收敛性与收敛时的值，都和实数a的选取无关.注2由于无穷积分(3)是由(1 )、(2)两类无穷积分来 定义的，因此，f在任 何有限区间v , u 1( - 00 , + 00 )上，首先必须是可积的+ 80f ( x ) d x收敛的几何意义是：若f在 aa , + s )上为非负连续函数，则图11 - 3中介于曲线 y = f

6、( x),直线x = a以及x轴之间那一块向右无限 延伸的阴影区域有面积J .例3讨论无穷积分的收敛性.解由于1口 d_x1 xP(4)因此无穷积分lim/u f + co-In u ,1 ,1,(4 )当p 1时收敛，其值为-1，oo1；而当P1时越靠近pxx轴，从而曲线下方的阴影区域存在有限面积的可能性也 大.例4讨论下列无穷积分的收敛性就越d x2oo 1 + x解1 )由于无穷积分是通过变限定积分的极限 来定义的，因此有关定 积分的换元 积分法和分部积分法般都可引用到无穷积分中来+.对于本例来说，就有2 x (ln x )+ 8=(J ln 2d t tp从例3知道,该无穷积分当 p

7、1时收敛,当p0 1时发散2)任取实数a,讨论如下两个无穷积分 a d x由于lmf - oolim ( arctan-oo-arctan u )7+ co adx21 + xarctan a + ,2lim ( arctan v - arctan a)v + coTt因此这两个无穷积分可收敛.由定义1 ,d x a d x-arctan a ,2,oo 1 + x 2 J - oo 1 + x /注 由于上述结果与 a无关，因此若取a = 0，则可使计算过程更简洁些定义2设函数f定义在区间(a , b上，在点a的任一右邻域内无 界，但在 任何内I区间u , b i( a , b上有界且可积.

8、如果存在极限lim+u a(5)则称此极限为 无界函数f在(a , b上的反常积分，记作 bJ = f f ( x) d x ,( 5)a ab并称反常积分/J ( x) dx收敛.如果极限(5)不存在，这时也说反常积分200 1 + xbf ( x ) d x发散a在定义2中，被积函数f在点a近旁是无界的,这时点a称为f的瑕点，而无b界函数反常积分C f ( x ) d x又称为瑕积分a类似地，可定义瑕点为b时的瑕积分：buC f ( x) d x = lim / f ( x )d x .a au -b - a a其中f在a , b)有定义，在点b的任一左邻域内无界，但在任何a , u i

9、a , b)上可积.若f的瑕点c （ a , b）,则定义瑕积分cf f ( x) d xa a ub+ C f ( x )d xc cblimu f c+ limv f ci f f ( x) d x .+ v(6)其中f在a , c） U （ c, b上有定义，在点c的任一领 域内无界，但在任何a , u i a , c）和v , b i（ c, b上都可积.当且仅当（6 ）式右边两个 瑕积分都 收敛时, 左边的瑕积分才是收敛的.又若a、b两点都是f的瑕点，而f在任何u , v i（ a, b）上可积，这时定义 瑕积分f f ( x ) d x = C f ( x )d x + C f (

10、 x) d a aaclim1 r f ( x) d x + u u+ limv b(7)其中c为（a , b）内任一实数 左边的瑕积分才是收敛的.同样地，当且仅当（7）式右边两个 瑕积分都收敛时，例5计算瑕积分一的值.2 x上可积被积函数f （ x）=1 - x2,x = 1为其瑕点.依定义2求得1 d x在0,1）上连续，从而在任彳of 0 , u06讨论瑕积分limu f 1的收敛性.解被积函数在 d_xqu x0(0 , 1 上连续1=1 - q( 1 -ln u ,=limu -1 -d xq ( q xu， d x01 - x2.一兀arcsin u =2,x = 0为其瑕点.由于

11、J- q ),q * 1 ,(0 u 1), q = 1(8)故当0 q 1时，瑕积分（8）发散于十 .上述结论在图11 - 4中同样能获得直观的反映如果把例3与例6联系起来,考察反常积分+ 8我们定义0d xpxd xxp1 (dpx (9)它当且仅当右边的瑕积分和无穷积分都收敛时才收敛.但由例3与例6的结果 可知,这两个反常积分不能同时收敛，故反常积分（9 ）对任何实数p都是发散的.1 .讨论下列无穷积分是否收敛?若收敛,则求其值:xexe2xd x4 x2 + 4 x + 5(6)+ coe0+ 8sin xd x;(7)/ex sin xd x ;(8)2 .讨论下列瑕积分是否收敛?若

12、收敛，则求其值:d x(x - a) pd x1r01(4)/0d x .2 ;1 - xd x;1 - x21(6) /0 01(8) /0_d x; xPx( In x)3 .举例说明瑕积分/a f ( x) d x收敛时+ 8f2 （ x） d x不一定收敛.4 .举例说明f ( x) d x收敛且f在a , + )上连续时，不一定有lim f( x) = 0 . x7 + 8 5 .证明：可f ( x )d x收敛，且存在极限lim f ( x) = A ,则A = 0 .x +8 2无穷积分的性质与收敛判别2736 .证明：若f在a, + )上可导，CO+ COf ( x)d x 与

13、fa af ( x)d x者B收敛,则 lim f( x) = 0 . x7 +8由定义知道，无穷积分u2f ( x )d xu1此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质,导出无穷积分的一些相应性质.性质1若/fi ( x) d x 与/ f2 ( x) d x都收敛，ki、公为任意常数，则+ 8k1 f1 ( x) + k2 f2 ( x) d x 也收敛,且a+ k1 f1 ( x ) + k2 f2( x ) d xa a=k 11ff1 ( x ) d x +性质2 若f在任何有限区间a , u上可积，a 0 ,存在G a,只要u1、u2 G，便有uF 2f(x)d x, a+ 8f

14、 ( x) d x同敛态(即同时收敛或同时发散 ),且有 b+ 8f ( x) d xa a其中右边第一项是定积分 .b=A f ( x )d x +J a+ 8/b f( x )d x ,(2)+ 8f ( x ) d x收敛的a性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出另一充要条件：任给 0 ,存在G a ,当u G时，总有+ 8f f ( x ) d xJ u事实上，这可由+ 8f ( x )d xa a结合无穷积分的收敛定义而得.+ 8性质3 若f在任何有限区间a, u上可积，且有/| f ( x ) | d x收敛，则+ 8f ( x) d x亦必收敛，并有a+ 00+ 8/

15、f ( x) d x| f ( x ) | d x .( 3)aa a+ 8证 由/ If ( x) I d x收敛，根据柯西准则(必要性),任给 0 ,存在G a ,当U2 ui G时，总有Uf ( x ) I d x =/ 2| f( x ) I d x a),令u +oo取极限，立刻得到不 a aI v a等式(3 ). + 8+ 8当( I f ( x ) Id x收敛时,称r f ( x )d x为绝对收敛.性质3指出：绝对收敛a aa的无穷积分，它自身也一定收敛.但是它的逆命 题一般不成 立，今后将举 例说明 收敛的无穷积分不一定绝对收敛我们称收敛而不绝对收敛者为条件收敛.二比较判

16、别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法u+由于5 | f( x ) |d x关于上限u是单调递增的，因此5 | f ( x ) | d x收敛的a aau充要条件是/a | f ( x) | d x存在上界.根据这一分析，便立即导出下 述比较判 别 法(请读者自己写出证明)：定理11 2 (比较法则) 设定义在a , + s)上的两个函数f和g都在任何有限区间a , u上可积，且满足I f ( x) I g ( x ) , x 6 a, + s+ 8-| f ( x) | d x必收敛(或者,| f (x) | d x 发散贝巾町g( x) d x收敛叫f+ 8时/ g ( x ) d x必发散

17、).sin春d x的收敛性.由于sin x+ 00 dx.21 + x( 1例4 ),根据比较法则x 6 0 , + 00 ),以可0=一为收敛2sin xd x为绝对收敛.0上述比较法则的极限形式如下g( x )则有:(i)当 0 c 0 ),且在任何有限区间a , u上可积,则有：(i)当 f ( x) 1 时px1(ii)当 f ( x) n , x 6 a ,a+ 00 ),且 p 1 , 0 w 入 + 0 时,/(ii)当 p 1 , 0 0 ,且lim | f( x) |# 2无穷积分的性质与收敛判别例2讨论下列无穷限积分的收敛性：1)(xae- xd x;解 本例中两个被积函数

18、都是非负的1)由于对任何实数a都有lim整 d x .x5 + 1,故收敛与绝对收敛是同一回事a + 2lim x = 0 , x f + co e因此根据上述推论2)由于3( p = 2 ,入=0),推知1 )对任何实数0c都是收敛的12lim w2 . x = 1x 7 + co x5+1，因此根据上述推论3( p = 1入=1 ),推知2)是发散的. 2对于/ I f ( x ) I-ood x的比较判别亦可类似地进行定理11 .3(狄利克雷判别法)若F( u )=g( x)在a , + 8)上当 lim由条件设/ f ( x)d x 0 ,由于g ( x ) = 0 ,因此存在 G a

19、 ,当x g( x ) | uiu1, u2,使得u2f ( x) g( x) d x = g ( u1 u1x) d x .于是有u/u21f ( x ) g( x ) d x I g( ui ) I . /g( u2三狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法uf f ( x )d x 在a , + )上有界， a a+ 8x f + oo时单调趋于 0 ,则/ f ( x ) g( x ) d x收敛.I g( u 1)I - f f ( x) d x -/ 1 f ( x ) d 2无穷积分的性质与收敛判别277g(U2) 1 - 0 )的收敛性. x解 这

20、里只讨论前一个无穷积分，后者有 完全相同的 结论.下面分 两种情 形来讨(i)当 p 1+ 8sin x . d1pxx绝对收敛.这是因为sin xOOd x1 , + 00 ),+ 00 一sin x当p 1时收敛，故由比较法则推知d x收敛.OO(ii)当 0 p 1 ,有xp1u I 0时单调趋于0 ( x f+s),故 px由狄利克雷判别法推知p 0时总是收敛的.xp另一方面，由于sin xx+ 8八cos 2 x其旷12x dx+ OO2 sincos tt d td x2 丫是发散的，因此当0 x xcos 2 x,x 6 1 , +),2 x满足狄利克雷判别条件，是收敛的，而p

21、a ,它们在a , u上都可积.证明：+ X若/ f ( x) d x 与/ a+ Xg2 ( x) d x 收敛,+ Xf ( x) g( x) d x+ g( x ) 2d x 也都收敛.+ Xf ( x) d x也收敛；3 .设f、& h是定义在a , + 00 )上的三个连续函数，且成立不等式h ( x ) f ( x ) 0 ).1 + xn(2 )05 .讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛sgn( sin x)2 d x ;1 + x 3瑕积分的性质与收敛判别281x cos x .W+Td x;+ coln( In x).(4 )sin x d x .e In x6 .举例说

22、明:+ CO+ COf ( x) d x收敛与ff ( x) d x不一定收敛；aa+ cof ( x )d x绝对收敛时, af2 ( x) d x也不一定收敛.+ co7 .证明：f ( x )d x 绝对收敛，且 lim f ( x) = 0 ,x f + 9+ co贝f2 ( x) d x必定收敛.+ co8 .证明：若f是a , + )上的单调函数，4( f ( x)d x收敛，则lim f ( x) = 0 ,且f ( x)x 一 十 009 .证明：若f在a , + 8)上一致连续f ( x) d x 收敛,贝U lim f( x)x7 +8 10 .利用狄利克雷判别法证明阿贝尔

23、判别法.3瑕积分的性质与收敛判别类似于无穷积分的柯西收敛准则以及其后的三个性 质，瑕积分 同样可由 函bb数极限lim f f ( x) d x =/ f ( x ) d x的原意写出相应的命题 u- a+ Uab定理11 .5瑕积分/ f ( x )d x(瑕点为a)收敛的充要条件是：任给 0 ,存在 S 0 ,只要 U1、U2 6( a , a + S),总有/ bf ( x) d xu2u2f ( x )d x性质1 设函数f1与f2的瑕点同为bbu1a , k1、k2为常数，则当瑕积分f f1 ( x) d x可f2 ( x) d x都收敛时，瑕积 aa到k1 f1 ( x)+ k2

24、f2 ( x ) d x 必定收敛，并有b/a k1 f1 ( x) + k2 f2 ( x ) d x =kkfaf1 ( x ) d x +(1)性质2 设函数f的瑕点为x =a, c 6 ( a , b )为任一常数.则瑕积分c可f ( x )d x同敛态，并有(2)其晚f ( x ) d x为定积分性质3 设函数f的瑕点为x = a , f在(a , b的任一内闭区间u , b上可 bb积则当/ | f ( x) | d X收敛时J f ( x) d x也必定收敛，并有 a aabb1f f ( x) d x / I f ( x) I d x .( 3)aabb同样地，当F | f (

25、 x ) | d x收敛时,称( f ( x) d x为绝对收敛.又称收敛而不绝 aa对收敛的瑕积分是条件收敛的.判别瑕积分绝对收敛的比较法则及其推论如下：定理11 .6 (比较法则)设定义在(a , b上的两个函数 f与g，瑕点同为x =a,在任何u , b i ( a , b上都可积，且满足f ( x ) 0 ,且limx ab(i)当 0 c + 00 时 / I f ( x ) d x 与 g( x ) d x 同敛态； aa(ii)当 c = 0时，即g( x )d x收敛可推知f ( x) I d x也收敛;bb(iii)当c = + s时，在！( g( x) d x发散可推知f

26、| f ( x ) I d x也发散. aa当选用广 dx 作为比较对象/g( x) d x时，比较法则及其 推论1成为 a ( x - a)a如下的推论：推论2 设f定义于(a , b , a为其瑕点，且在任何u , b i( a , b上可积，则有：1b(i)当 | f ( x) | p,且 0 p 1p,且 p 1 时/ I f ( x) I d x 发散.(x - a)a推论3 设f定义于(a , b , a为其瑕点，且在任何u , b i( a , b上可积.如果则有 :lm ( x - a) p I f ( x ) I =入,x af ( x) d X 收敛;c b I(i)当 0 p 1,00 入 + 00时ab(11) 当 P41 , 0 町a If ( x) Id x