导数知识点归纳及应用文科辅导

1、导数知识点归纳及应用、相关概念1导数的概念A (x+ !)1x, 1（恥）=而_x txC (3 ) ' =3 log 3e D2 ,(x cosx)=-2xsinx1基本函数的导数公式：C 0;（C为常数）xnn 1nx ;(sin x)cosx;(cosx)sin x;(ex)x e ;(ax)a l n a ；ln x15x1 logaXloga e.x例1 :下列求导运算正确的是(略二、导数的运算法则1 : ( uv)法则2 : (uv)uv .若C为常数，则（Cu）'Cu'.法则3:-vu'vuv'v2 3（V0)。3. 复合函数求导三、导数的

2、几何意义函数y=f （ x）在点xo处的导数的几何意义是曲线y=f（x）在点p （ x0, f （x0）处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （ x）在点p（x 0，f （ x 0）处的切线的斜率是f ' (Xo)。相应地，切线方程为y yo=f/ (X。) (x-Xo)。y = 4x-1,则Po点的坐标为（A (1,0)B (2,8)C (1,0)和(1, 4)D (2,8)和(1, 4)四、导数的应用1. 函数的单调性与导数(1)如果 f ' (x) 0，则 f (x) 在此区间上为增函数；如果f'(x)0,贝y f(x)在此区间上为减函数。(2)如果在某区间内 恒

3、有f'(x)0,则f (x)为常数。例：函数f(x) x例：曲线f（x）= x + x- 2在Po处的切线平行于直线 3x21是减函数的区间为()A (2, )B( ,2) C ( ,0) D (0, 2)2极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正,右侧为负； 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正；例:函数f (x) x3 ax2 3x 9,已知f (x)在x3时取得极值，则a=()A 2B 3 C 4 D 53最值：在区间a，b上连续的函数f (x)在a，b上必有最大值与最小值。但在开区间( a，b)内连续函数f (x

4、)不一定有最大值，例如 f (x) x3,x ( 1,1) 。函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。 函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最 值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端点处必定是极值。例： 函数 f(x) x3 3x 1在闭区间 -3 , 0上的最大值、最小值分别是 、 .(数学选修1-1)第一章导数及其应用基础训练一、选择题33. 函数y二x + X的递增区间是()A (0,) B . (,1) C . (,) D . (1,)32'

5、;4. f(x) ax 3x 2,若 f ( 1) 4,则 a 的值等于()19161310A. BC.D3 33 36.函数 y x4 4x3在区间2,3上的最小值为()A. 72B.36C. 12D.0二、填空题1若 f (x) x3, f (xo) 3，则 x0 的值为2曲线y x3 4x在点(1, 3)处的切线倾斜角为 ;sin x3函数y 的导数为；x4. 曲线y Inx在点M(e,1)处的切线的斜率是 ，切线的方程为 5函数y x3 x2 5x 5的单调递增区间是 。三、解答题1求垂直于直线2x 6y 10并且与曲线y x3 3x25相切的直线方程。3求函数f (x) x5 5x4

6、 5x31 在区间1,4上的最大值与最小值。4.已知函数y ax3bx2，当x 1时，有极大值3 ；(1)求a,b的值；(2)求函数y的极小值。经典例题选讲例1.已知函数yxf (x)的图象如图所示(其中f (x)是函数f (x)的导函数)，下面四个图象中 y f (x)的图象大致是()例2.已知函数f (x) x3 bx2axd的图象过点P(0,2),且在点M( 1, f( 1)处的切线方程为6x0.3(i)求函数yf (x)的解析式；(n)求函数y f(x)的单调区间例4.设函数32x x bx cx(x R)，已知 g(x) f (x) f (x)是奇函数。(i)求b、c的值。(n)求g

7、(x)的单调区间与极值。例 5.已知 f (x) =x3 ax22bx c在x=1, x=时，都取得极值。求 a、b的值。3例 7:已知函数 f (x) (x2 ax 2a2 3a)ex(x R),其中 a R(1) 当a 0时，求曲线y f(x)在点(1,f (1)处的切线的斜率;2(2) 当a 时，求函数f (x)的单调区间与极值。导数知识点归纳及应用 教师一、相关概念1导数的概念例1:卜列求导运算止确的是()A (x+ 丄)1x12 Bx (log 2. =1 CX ,x (3 )=3 log 3eDxln 2解析:A错，1(X+ _)1x12 xB 正确， (log 2X)'=

8、1xln 2C错，：(3x)' =3xln3D 错，(x 2cosx)'=2xcosx+ x2(-s inx)2 导数的运算法则2 /(x cosx)=-2xsinx略二、导数的运算1 基本函数的导数公式C 0；(C为常数)xnn 1 nx ;(sin x)cosx;(cosx)sin x;(ex)x . e ;(ax)a l n a ；ln x15x1 logaxlog a法则 1 : ( u v)' u' V.法则 2: (uv)' u'v uv'. 若C为常数,则(Cu)' Cu'.法则3:-u'v uv&#

9、39;(v0) o四、导数的几何意义(x0)处的切线的斜率。也就是说，曲函数y=f (x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y=f (x)在点p (x0,线y=f (x)在点p (x 0, f (x 0)处的切线的斜率是f' (x0) o相应地，切线方程为y y 0 =f (x o) (x x°) o例：曲线f(x)二x + x- 2在po处的切线平行于直线 y二4x- 1,则po点的坐标为()A (1,0)B (2,8)C. (1,0)和(1, 4) D. (2,8)和(1, 4)四、导数的应用1. 函数的单调性与导数(1) 如果f'(x)0，则f (x)在此区间上为

10、增函数；如果f'(x)0,贝U f (x)在此区间上为减函数。(2) 如果在某区间内 恒有f'(x)0,则f (x)为常数。例：函数f(x) x3 3x21是减函数的区间为()A(2,)B(,2) C (,0)D (0, 2) 解析 ： 由 f / (x) 3x2 6x <0,得 0<x<232函数f(x) x 3x1是减函数的区间为(0, 2)2极点与极值： 曲线在极值点处切线的斜率为 0,极值点处的导数为 0；曲线在极大值点左侧切线的斜率为正, 右侧为负； 曲线 在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正；例:函数f (x) x3 ax2 3x 9,已知f (

11、x)在x3时取得极值，则a=()A2B3C4D5解析:t f/(x) 3x2 2ax 3，又f (x)在x3时取得极值 f /( 3)30 6a 0则 a=53最值：在区间a , b上连续的函数f (x)在a , b上必有最大值与最小值。但在开区间( a, b)内连续函数f (x)不一定3有最大值,例如 f(x) x3,x ( 1,1)。函数的最大值、最小值是比较整个定义区间的函数值得出来的,函数的极值是比较极值点附近的函数值得出来的。 函数的极值可以有多有少,但最值只有一个,极值只能在区间内取得,最值则可以在端点取得,有极值的未必有最 值,有最值的未必有极值,极值可能成为最值,最值只要不在端

12、点处必定是极值。例： 函数 f(x) x3 3x 1在闭区间 -3 , 0上的最大值、最小值分别是.解析 ： 由 f '(x) 3x23=0,得 x 1,当 x 1 时，f/(x)>0,当 1 x 1 时，f/(x)<0,当 x 1 时，f/(x)>0,故f(x)的极小值、极大值分别为f( 1) 3、f (1)1 ,而 f ( 3)17、f(0) 1(数学选修1-1)第一章导数及其应用基础训练组一、选择题33. 函数y二x + X的递增区间是()A (0,) B . (,1) C . (,) D . (1,)32'4. f(x) ax 3x 2,若 f ( 1

13、) 4,则 a 的值等于()19161310A. BC.D3 33 36.函数 y x4 4x3在区间2,3上的最小值为()A. 72B.36C. 12D.0二、填空题1若 f (x) x3, f (xo) 3，则 x0 的值为2曲线y x3 4x在点(1, 3)处的切线倾斜角为 ;sin x3函数y 的导数为；x4. 曲线y Inx在点M(e,1)处的切线的斜率是 ，切线的方程为 5函数y x3 x2 5x 5的单调递增区间是 。三、解答题1求垂直于直线2x 6y 10并且与曲线y x3 3x25相切的直线方程。3求函数f (x) x5 5x4 5x31 在区间1,4上的最大值与最小值。4.

14、已知函数y ax3bx2，当x 1时，有极大值3 ；(1)求a,b的值；(2)求函数y的极小值。一、选择题3. C y' = 3x2 + 1> 0对于任何实数都恒成立4. D f (x) 3ax26x, f ( 1) 3a 6 4,a3!2!2II6. Dy 4x 4,令 y0,4x4 0,x 1,当 x 1 时,y 0;当 x 1 时,y0得y极小值y|x 1 0,而端点的函数值y|x 2 27, y |x 3 72，得ymin 0二、填空题1.1f'(x°) 3x02 3,x013 '2'32 y 3x 4,k y|X1 1,ta n 1,-

15、4 4IIxcosx sin x ' (sin x) x sin x (x) xcosx sin x3.x2y2 x2 x4.1-,x eey 01yl,kxy' |x1e 一，ye1】(x ee),ye5.(,5),(1,3)令y'3x22x 50,得x5,或 x 13三、解答题1.解：设切点为P(a,b)，函数y x3 3x25的导数为y' 3x2 6x切线的斜率k y' |x a 3a2 6a 3，得a 1，代入到y x3 3x2 5得 b3，即P( 1,3), y33(x 1),3xy 60。3解：f (x)5x420x315x25x2(x 3)

16、(x 1),当 f (x) 0 得 x 0,或 x 1，或 x3 ,- 0 1,4 ,1 1,4 ,3 1,4列表：x1(1,0)0(0, 4)f'(x)0+0+f(x)0/1/又f(0)0, f( 1)0;右端点处f (4)2625;543函数y x 5x 5x 1在区间1,4上的最大值为2625，最小值为0。4.解：' 2 '(1) y 3ax 2bx,当 x 1 时，y |x 1 3a 2b 0, y |x 1 a b 3，刚 3a 2b 0即，a 6,b 9a b 3(2) y 6x3 9x2, y18x2 18x，令 y 0，得 x 0,或 x 1y极小值y

17、|x 0 0经典例题选讲例1.已知函数y xf (x)的图象如图所示(其中 f (x)是函数f (x)的导函数)，下面四个图象中 y f (x)的 图象大致是()ABCD解析:由函数y xf (x)的图象可知：当 x 1 时，xf (x) <0， f (x) >0，此时 f (x)增当 1 x 0 时，xf (x) >0， f (x)<0，此时 f (x)减当 0 x 1 时，xf (x) <0， f (x)<0，此时 f (x)减当 x 1 时，xf (x) >0， f (x)>0,此时 f (x)增故选C例2.已知函数f (x) x3 bx2

18、 ax d的图象过点p( 0,2),且在点M( 1, f ( 1)处的切线方程为6x y 70.(i)求函数y f (x)的解析式;(n)求函数 y f(x)的单调区间解：(i)由f (x)的图象经过P (0, 2)，知d=2,所以 f (x)x3 bx2 cx 2,2f (x) 3x 2bx c.由在M( 1, f ( 1)处的切线方程是6x y 70，知6 f( 1)70,即 f(:1)1,f ( 1)6.3 2b c6,2b c 3即解得b c 3.1 b c21.b c0,故所求的解析式是f(x)3 x3x2 3x2.(n) f (x)3x2 6x3.令3x26x 30,即 x2 2x

19、 10解得x11、2,x21.2当x 1.2,或x 1.2时,f (x)(当12 x1、.2时,f (x)0.故 f (x)x33x23x2在(,1、2)内是增函数，在(1,2,1,2)内是减函数，在(1, 2,)内是增函数例4.设函数x3 bx2(i)求b、c的值。解：(i)xx3 bx2cx(x R)，已知 g(x) f (x) f (x)是奇函数。(n)求g(x)的单调区间与极值。2cx f x 3x 2bx c。从而g(x)32232f (x) f (x) x bx cx (3x 2bx c) = x (b 3)x (c 2b)x c是一个奇函数，所以(n)由(i)知 g(x)(,-2)和(、一 2,g(0)0得c 0,由奇函数定义得b 3;32x 6x，从而g (x) 3x 6，由此可知，)是函数g(x)是单调递增区间；(、2,、2)是函数g(x)是单调递减区间;g(x)在 x2 时，取得极大值，极大值为 4恵,g(x)在 x 2 时，取得极小值，极小值为 4逅。3 2 2例5.已知f (x) =x ax bx c在x=1，x= 时，都取得极值。 3(1)求a、b的值。解：(1)由题意f (x) =3x2 2ax b的两个根分别为1和3 由韦达定理，得：1 2=四，-1 ( 2)3333则 a 1，b 22例 7:已知函数 f