常见分布的期望和方差精编版

1、最新资料推荐常见分布的期望和方差分布类型概率密度函数期望方差0-1 分布 B (1 , p)Ppq二项分布B (n, p)Pi P X iCnpiqn i (q 1p),(i 1,2,., n)npnpq泊松分布P(入)ipi P X i e(i o,1,2,3)i!入入均匀分布U ( a,b)f (x)占或f(x)厶等b ara b2(b a)212正态分布N (,2)1f(x) -e 2(x,0)2指数分布E (入)仃、e x,x 0f (x)0,x01122 2分布，(n)X1,X2,.Xn相互独立，且 都服从 标准正态分布N(0,1)2 v 2 2 2X1X 2 X nn2nt分布，t

2、(n)2XX : N(0,1) Y : x2(n) t«Y/n0n / c、 n 2(n 2)61、正态分布的计算：F(x)P(X x)()。2、随机变量函数的概率密度:3、分布函数F (x, y)、概率与数理统计重点摘要X是服从某种分布的随机变量，求 Y f (X)的概率密度:fY(y)fx(x)h(y)h'(y)。 (参见P6672)f (u,v)dudv具有以下基本性质:是变量x，y的非降函数;0 F(x, y) 1，对于任意固定的 x, y 有：F( , y) F(x, )0;F(x, y)关于x右连续，关于y右连续;对于任意的(xi, yi),(X2, y2),捲

3、X2,y1 y2，有下述不等式成立:Fgy) F(Xi,y2)F(X2,yJ一一14、一个重要的分布函数：F(x, y)x(一 arcta n-)( arcta n2厘)的概率密度为：f (x, y)32F(x, y)x y2 2 2(x 4)( y 9)5、二维随机变量的边缘分布:fx(X)f (x,y)dyfY(y)f (x, y)dxFx(x)XF(x,)f (u, y)dyduFy(¥)yF( ,y)f (x, v)dxdv边缘概率密度:边缘分布函数:FX(x)FY(y)则称随机变量X,若 F(x,y)二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。6、随机变量的独立性:Y相互独立。简

4、称 X与Y独立。7、 两个独立随机变量之和的概率密度：fz(z)fx(x)fY(z x)dxfY(y)fx(z y)dy其中Z = X + Y2 2 2 28、 两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即Z aX bY : N(a i b 2,a i b 2 。9、 期望的性质：(3)、E(X Y) E(X) E(Y) ; (4)、若 X , Y 相互独立，则 E(XY) E(X)E(Y)。2 210、方差：D(X) E(X ) (E(X)。若 X, Y 不相关，则 D(X Y) D(X) D(Y)，否则 D(X Y)D(X) D(Y) 2Cov(X,Y),D(X Y) D(X) D(Y

5、) 2Cov(X,Y)12、相关系数： XYCov(X,Y) _Cov (X, Y)_(X) (Y) 一D(X)：D(Y)，XY1，当且仅当X与Y存在线性关系时XY1，且XY1,1,当 b>0;当 b<0°13、k阶原点矩：VkkE(X ) , k阶中心矩:k E(XkE(X) °14、切比雪夫不等式:P X E(X)E(X)1 D也。贝努利大数定律:lim Pn 015、独立同分布序列的切比雪夫大数定律:1 n1 n因P一Xi12，所以 lim P一Xin i 1nn 0n i 111、协方差：Cov(X,Y) E(X E(X)(YE(Y)，若 X, Y 独立

6、，则 Cov(X,Y) 0 ,此时称：X 与 Y 不相关。16、独立同分布序列的中心极限定理:(1)、当n充分大时，独立同分布的随机变量之和Xi的分布近似于正态分布i 1N(n,n2) °(2)、对于 X1,X2,.Xn 的平均值 X Xi , n i 1有 E(X)，D(X)12 n i 1D(Xi)，即独立同分布的随机变量的均值当n充分大时，近似服从正态分布N( )。n、由上可知：lim P a Zn b (b)(a) P a Zn b (b)(a)。17、棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：设m是n次独立重复试验中事件 A发生的次数，p是事件A发生的概率，则对任意 x ,lim Px

7、 (x)，其中 q 1 p。n . npq(1)、当n充分大时,m近似服从正态分布,N(np npq)。(2)、当n充分大时，m近似服从正态分布，N(严。nn18、 参数的矩估计和似然估计：(参见P200)19、正态总体参数的区间估计：所估参数条件估计函数置信区间已知u x齐x U, X u - 7n一 7 n未知t x需 sx t (n “手,x t (n 1s-7n-寸 n未知2 (n 1)s2(n 1)s2(n 1)s2 2(n 1)'2 (n 1)J1 22 21 2未知t (x y) ( 12)讥SwV n1 n22 2其中 2 m 1)s(n2 1)S2其中sw,m n2 1(x y) t (n1 n2 2)