命题与证明资料知识讲解

1、命题与证明知识讲解宋老师【学习目标】1. 了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的题设(条件)和结论，会判断一 个命题的真假；2了解综合法的证明步骤和书写格式.3.运用平行线的判定与性质、三角形的内角和定理及其推论去解 决一些简单的问题，用几何语言进行简单的推理论证.4. 了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立，逆命题不一定成立会判断一个命题的逆命题的真假【要点梳理】要点一、定义、命题、真命题、假命题定义：对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给它们的定义命题：判断一件事情的句子叫 命题.真命题：如果条件成立，那么结论成立，这样的命题叫做真命题假命题：如果条件成立

2、时，不能保 证结论总是正确的，也就是说结论不成立，这样的命题叫做假命题.要点诠释：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有 关系.其 中命题的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项.当证明一个命题是假命题时只要举出一个反 例就可以，即只需列出一个具备条件而不具备结论的例子即可要说明一个真命题，则要从命题的条件出发，根据已学过的基本事实、定义、性质和定理等，进行有理有据的推 理，证明它的正确性要点二、证明根据已知真命题，确定某个命题的真实性的过程，叫做证明.经过证明的真命题称为定理.证明过程必须做到言必有据.证明过程通常包含几个推理，每个推理都应包括因、果和 有因得

3、果的依 据其中，“因”是已知事项，“果”是推出的结论；“有因得果的依据”是基本事实、定义、已学过 的定理以及等式性质、不等式性质.证明的步骤：1.根据题意，画出图形；2. 根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证；3. 写出证明过程要点诠释：推理和证明是有区别的，推理是证明的组成部分，一个证明过程往往包含多个推理. 要点三、三角形的内角和定理及其推论三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于180 0.推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和要点诠释：(1)三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有 三个内角，且 每个内角均大于0 °且小于180 0

4、.(2) 三角形内角和定理的应用 主要用在求三角形屮角的度数.直接根据两已知角求第三个角； 依据三角形中角的关系，用代数方法求三个角；在直角三角形中，已知一锐角可利用两锐角互余求另一 锐角.(3) 三角形外角的定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.三角形 共有六个外角，其中有公共顶点的两个相等，因此共有三对.(4) 三角形的外角性质： 三角形的外角和为360 ° . 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. 三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角.(5) 若研究的角比较多，要设法利用三角形的外角性质将它们转化到一个三角形中去.要点四、互逆命题在两个

5、命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题 的条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.把一个命题的条件与结论互换，就得到它的逆命题，我们能够判断一个命题及其它的逆 命题的真 假证明一个命题是假命题，只需举出一个反例就可以了要点诠释：每一个命题都有对应的逆命题，一个真命题的逆命题不一定是真命题，同样一个假命 题的逆命题也不一定仍为假命题反例就是复合命题的条件，但不符合命题的结论的例子，它可以是数值、图形，也可以是文字说明 一个命题的反例可以有很多个，解题时只需要举出其中最易懂的一个即可【典型例题】类型一、逆命题与逆定理1. 下列命

6、题是真命题的是（）A .如果|a|=1 ,那么a=1B 有两条边相等的三角形是等腰三角形C 如果a为实数，那么a是有理数D .相等的角是对顶角.；【答案】B.【解析】如果|a|=1 ,那么a= ± 1,故A错误；如果a为有理数，那么a是实数，故C错误；两个直角 三角形中的两个直角相等，但不是对顶角，故D错误；而B根据等腰三角形的定义可判断正确；【总结升华】主要考查命题的真假，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关 键是要熟悉课本中的定义举一反三：【变式】（2016春？东平县期中）下列句子中，不是命题的是（）A 三角形的内角和等于180° B 对顶角相等C

7、 .过一点作已知直线的平行线D .两点确定一条直线【答案】C.C不是可以判断真假的陈述句，不是命题；A、B、D均是用语言表达的、可以判断真假的陈述句，都是命题.故选C.2. 下列命题中，逆命题正确的是（）A.对顶角相等B.直角三角形两锐角互余C.全等三角形面积相等D.全等三角形对应角相等【答案】B.【解析】A选项逆命题是相等的角是对顶角，不对；B选项逆命题是两个锐角互余的三角 形是直角 三角形，对的；C选项逆命题是面积相等的三角形是全等三角形显然不对；D选 项的逆命题是对应角相等的三角形是全等三角形，不一定，也可能是相似三角形【总结升华】判断逆命题是否 正确，能举出反例即可.举一反三：【变式】

8、试将下列各个命题的题设和结论相互颠倒，得到新的命题，并判断这些命题的真假.（1）对顶角相等；（2）两直线平行，同位角相等；（3）若 a=0 ,则 ab=O ；（4）两条直线不平行，则一定相交;【答案】（1）对顶角相等（真）；相等的角是对顶角（假）；（2）两直线平行，同位角相等（真）；同位角相等，两直线平行（真）；（3）若 a=0 ,贝ij ab=O （真）；若 ab=O ,贝ij a=0 （假）；（4）两条直线不平行，则一定相交（假）；两条直线相交，则一定不平行（真）；3. 对于同一平面内的三条直线a、b、c,给出下列五个论断：a/ b :b/ c；a丄b ； a/ c:a丄c,请你以其屮两个

9、作为题设，另一个作为结论，用如果，那么”的形式，写出两个 正确的命题.【思路点拨】同一平面内，根据垂直于同一直线的两直线平行；平行于同一直线的两直线平行，则可由 得到；由得到.【答案与解析】解：如果a丄b,a丄c,那么b/ c；如果a/ b,b/ c,那么a/ c.【总结升华】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题，正确的命题叫真命题，错误的命题为假命题；命 题分为题设与结论两部分.也考查了平行线的性质.类型二、证明举例（1）平行线的性质与判定进行几何证明：4. （2015春？姜堰市期末）如图，直线AB和直线CD、直线BE和直线CF都被直线BC所截.已知 AB 丄 BC、CD 丄 BC, BE/

10、CF,求证：/1=Z2.【思路点拨】由于AB丄BC、CD丄BC得到AB/ CD,利用平行线的性质得到/ABC= /DCB,又 BE/ CF,贝ij/ EBC=/ FCB,可得至ij/ABC/ EBC= / DCB / FCB ,即有/ 1=Z2.【答案与解析】证明： AB 丄 BC、CD 丄 BC, AB / CD ,/ABC=/CB,又BE/ CF, / EBC= / FCB , / ABC Z EBC= / DCB -/ FCB , Z 1 = Z 2 .【总结升华】本题考查的是平行线的判定和性质的综合应用.举一反三：【变式】如图所示，E在直线DF上，B在直线AC上，若/ AGB=/ EH

11、F, / C= / D,试 判断/ A与/ F的关系，并说明理由.【答案】/ A= / F .证明：/ AGB=/ DGF, / AGB=/ EHF,/ DGF=/EHF,BD / CE ;/ C= / ABD ,又/ C= / D ,/ D= / ABD , DF / AC ;/ A= / F.(2)与三角形有关的几何证明：5. 如图，已知三角形ABC的三个内角平分线交于点 I, IH丄BC于H,试比较/ CIH和/BID的大小.【思路点拨】根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知/ BAD+/ ABI+/ HCI=90o .又因为/ BAD+ / ABI= / BID , 90 0 / H

12、CI= / CIH,所以/ BID= / CIH .【答案与解析】证明:/ Al、Bl、CI为三角形ABC的角平分线，11/ BAD= / BAC, / ABI=/ ABC, / HCI= / ACB .22/ BAD+ / ABI+ / HCI1 1 1=/ BAC+/ ABC+/ ACB2 2 21=(/ BAC+/ ABC+/ ACB)21=x 180°2=90 °./ BAD+/ ABI=90 0 / HCI ./ IH 丄 BC, / IHC=90 0 90 0 / HCI=/ CIH ,/CIH二/BAD+/ABI/ BID= / BAD+/ ABI (三角形的

13、一个外角等于与其不相邻的两个内角的和)/BID 二/CIH .【总结升华】考查了角平分线的定义及三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180 0 ,在推导角的关系时，一定不要忘记与三角形有关的角中还有一个特别重要的性质：三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角的和(3)文字命题的证明：6、求证：等边三角形内部任一点到三边的距离之和为定值【思路点拨】先画图，设等边三角形的边长为a,高为h,再利用三角形的面积公式来求，原三角形分成三 个大小不等的三个三角形，三个三角形的面积和与原三角形的面积相等，即 Saabc=Sapab+Sapbc+Sapac ;可得 h=PE+PF+PD.【答案与解析】已知：如图，4 ABC是等边三角形，P是三角形内任一点，PE丄AB, PG丄AC, PF丄BC垂 足分别 为E、G、F,求证：PE+PG+PF为定值.证明：设等边三角形 AB