哈尔滨工业大学现代控制理论基础考试题A卷及答案

1、哈工大2010第1页（共8页）年春季学期现代控制理论基础试题A答案班号姓名注 意 行 为 规 范遵 守 考 场 纪 律（2）写出系统的状态方程。题号-一-二二三四五六七八卷面分作业分实验分总分满分值1010101010101010801010100得分值一（本题满分10分）如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ,摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧, !与2分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当 12时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力f（t ）作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式 sin ， cos

2、 1 （1）写出系统的运动微分方程；解（1）对左边的质量块，有iML2 |1cos 12 1对右边的质量块，有ML212 k L sin 1 2在位移足够小的条件下，近似写成:ML |1 f2ML 12sin 1Lsin 2 cos 12 2 1Lsin 2 cos 22kLkLMgL sinMgL sin 22 Mg 12 Mg 2一”三:丄314M4M2ML4M4M(2)定义状态变量XiX2X3X4X24MXi4MX32MLX4或写成4M4M4MXi4M4M4MX3xiX2X32ML fX4.(本题满分10分)设一个线性定常系统的状态方程为Ax其中若 x(0)时，状态响应为x(t)2t2t

3、x(0)时，状态响应为x(t)2e合并得试求当x(0)时的状态响应x(t)系统的状态转移矩阵为(t)x(t)x(t)2t2teAt，根据题意有2t2tAt2e2eAtAt哈尔滨工业大学现代控制理论基础（A卷答案）班号:姓名:第9页（共8页）求得状态转移矩阵为At2t2e2t当 x(0)时的状态响应为Atx(t) e212t e2e t12ttee2et2e2t2ett e2e2tte2t- t亠 2t2ee2e2e2tt2ttee2ee7e2t 8et2t7e4et11112te2tet13.（本题满分10分）已知某系统的方块图如下,11回答下列问题:（1）按照上图指定的状态变量建立状态空间表

4、达式;（2）确定使系统状态完全能控且完全能观时，参数k的取值范围【解答】（1）系统的状态空间表达式为X1X2X2（2）使系统状态完全能控且完全能观时,参数四.(本题满分10分)离散系统的状态方程为xi(k 1)Xi(k)X2(k 1)X2(k)u(k)(1 )是否存在一个有限控制序列u(0)u(1)HI u(N),使得系统由已知的初始状态为(0)，X2(0)转移到为 1)0，X2(N1) 0 ?试给出判断依据和判断过程(2)若存在，求N的最小值及控制序列u(0) u(1)川 u(N)【解答】(1)由题意,，Qch Gh，ran kQc2，由系统能控性的定义可知：存在有限控制序列，使得在有限时间

5、内由状态初值转移到零。(2)由系统状态完全能控的性质可知，此系统为二阶系统，可用适当的u(0)，u(1)，使得x(2)0 ,即N的最小值为1x(1) Gx(0)hu(0)x(2)Gx(1) hu(1) G Gx(0) hu(0)hu(1)由上面最后一步可得Ghu(0) hu(1)即u(1)h Ghu(0)01) Gx(k) hu(k)进行递推如下:根据状态方程x(ku(1)G2x(0) Ghu(0)G2x(0)G2x(0)Qchu(1)即 u(0)u(0)G2x(0)u(1)u(0)Qc1G2x(0)18x1(0) 7x2(0)，u(1)401018x(0)4010为(0)40x-|(0)10

6、x2(0) o18X2(0)五.(本题满分10分)对下列系统试设计一个状态反馈控制器,应的峰值时间等于3.14秒满足以下要求:闭环系统的阻尼系数0.707 ；阶跃响【解答】假设状态反馈控制律为ukik2XiX2，代入状态方程得闭环系统闭环特征多项式为f()det根据题意的要求,0.707项式为根据多项式恒等的条件可得:解得状态反馈控制律为uk1k2六.（本题满分10分）设系统的状态空间表达式为.2X1X2kik1k2k1k1k24x1kik2k25 k2k26 k.，期望特征多3x2 i ' "i -"" 1 - ' " " 哈

7、口尔、滨工业大学现代控制理论基础 (A卷答案)班号：姓名：第7页(共8页)0 1 0xu05100若该系统的状态X2不可测量，试设计一个降维状态观测器，使降维观测器的极点为 10，A要求写出降维观测器动态方程，并写出状态 x2的估计方程。【解答】将状态空间表达式写成：设降维观测器方程为X2引入中间变量z2OOUOOUOOUX2ly，两边求导数得5 I x2 ioou iy iy5 I x2 100ux：1X2x:25x2 100u进一步写成y *5 I z ly 100u5 I z I 5 I y 100u根据题意，降维观测器的极点为-10,即5 I 10，解得I 5 最终得到降维观测器的动态

8、方程为Z 10z 50y 100uA状态估计的表达式为X2 z 5y。七.（本题满分10分） 证明对于线性定常系统的线性变换，其传递函数（矩阵）保持不变【证明】.设原线性系统为X Ax Buy Cx Du1其传递函数矩阵为W(s) C sI A B D设线性变换为x Tz，变换后的线性系统为Z T 1ATz T 1Buy CTz Du该系统的传递函数矩阵为W(s) CT sI T 1AT 1T 1B D1 1 1 1CT sT T T AT T B DCT T 1 sI A T T 1B DCTT 1 si A TT 1B D1C si A B D显然，W(s) W(s)，即其传递函数(矩阵)保持不变。证毕 八.(本题满分10分)x； 3x-i某2阶非线性系统的状态方程为X1X2X2c 52X1X2，证明该系统在坐标原点处X1渐近稳定。【证明】取李雅普诺夫函数 V(x)X1X；，显然是正定函数；此外，沿着状态轨线的导数为:V(x) 2x#1 2X