圆压轴八大模型题-双切线组合说课讲解

1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除圆压轴题八大模型题（三）泸州市七中佳德学校易建洪引言：与圆有关的证明与计算的综合解答题，往往位于许多省市中考题屮的倒数第二题的位置上，是试卷中综合性与难度都比较大的习题。一般都会在固定习题模型的基础上变化与括展，本文结合近年来各省市屮考题，整理了这些习题的常见的结论，破题的要点，常用技巧。把握了这些方法与技巧，就能台阶性地帮助考生解决问题。类型3双切线组合径在直角边直径在直角三角形的直角边上RtAPBC中，/ ABC二90° , RtAPBC的直角边PB上有一点A,以线段AB为直径的0O与斜 边相 切于点D.word可编辑(2) PD = 4,

2、PB二 8,求 BC 的长.(3) PD 二 4, PA 二 2,求 0 O 的半径 r.(5) PB二 8, tan:=求PA和AD.（6）求证：OC /AD （变式）1若 AB二 2, BC 二，2求AD、PD、PA的长.10【分析】由PC= 62 82=10,A设 BC=CD=x 在 RtA PBC 中,POIAA PCB 得 D2 二丄 r，r=3.BC PC 62 2 28 +x =(4+x),得 BC=x=6.在 RtA PDO 中,42+r2=(2+r) 2,解得 r=3.由厶2PDAMPBD 得：PD=PAPB.f PDPA AD1由厶PDAAA PBD得tan , PB=8,

3、PB PD DB2 PD=4,PA=2,AB=6.设 AD=x,DB=2x,eJ5 在 Rt ADB 中,x2+(2x) 2=62, AD=x=叱5(6)由/ DEC/ ADB=90 得 OC/AD.由 AB=2,则 OB=1 又 BCA2OCA1 +h/2)AV3 ,在 RtAOBC 中,BEX OC,得 OEa3，由中3PA AD 1位线定理得：AD=2OE=.DBJ,由厶 PDAMPBD 得:-,设 PA=xM PD= 2x,33PD DB在 RtAPDO 中,f-2x)2+1=(x+1)2 得 x=2, . PA=2,PD=2 2 .(8)由 AD/OC 得3 巴，设 AO=DO=BO

4、=m,AO DC 1则 PA=2m P0=3m PD=2/2 口，由厶PBD得 PA_AD PD ” DB1 ,且 AD+BD=2+222AD=2,BD=2>/2,则 AB=273=2m,3,PB=3.3,PD=2.6,PC=3.6,BC=3 3 ,1SAPBA BCPB=13.5.2ADA BD= 2+ 22求 SA ABD.【典例】（2018 -四川乐山）如图，P是00外的一点，PA PB是0O的两条切线，A、B是切点, PO交AB于点F,延长BO交0 O于点C,交PA的延长交于点Q,连结AC.（1）求证：AC/ PO:（2）设D为的中点交爼于点E,若。的半径为；cq二；求*的值.【

5、分析】（1）由等腰三角形三线合一与直径所 对 的圆周角是直角得同位角相等。（2）在RtAOQA屮，由勾股定理得QA二4,在RtA PBQ屮， 由勾股定理得PA二二PB二6,因此FD二3, BF65二AF二空卫 又由中位线定理FD/ AP得，5BF二 10t,所以 AE: BE二 2: 5.FE EA二 3: 4,因此设 AE二 4t,贝 U EF二 3t,（1）证明：TPA PB是0O的两条切线,PO 丄 AB.A、B是切点， PA二PB,且PO平分/ BPA,D/ BC 是直径，/ CAB二 90° AC 丄 AB,AC/ PO;(2)解:连结OA、DF,如图,PAPB是0O的两条

6、切线，A、B是切点，/ OAQ二ZPBQ二 90°在 RtA OAQ 中，OA二 00 3,. OQ二 5.由 QA2 + OA2= OCf,得 QA二 4.在 RtA PBQ 屮，PA二 PB, QB二 0Q+ OB二 8,由 QB2+ PB2- PQ2,得序+ PB?=( PB+ 4)勺解得 PB二 6, r. PA二 PB二 6.TOP 丄 AB,BF二 AF二：AB.2又 D 为 PB 的中点， DF/ AP, DF二一PA二 3,.ADF0AQEA,2二二兰二二，设 AE二 4t, FE= 3t,贝 U AF二 AE+ FE二 7t,FE DF3 BE二 BF+ FE二 A

7、F+ FE二 7t+ 3t 二 10t, 二二二'.BE lOt 5【点拨】由切线长定理引出的双母子相似三角形中，含直角三角形、等腰三角形，全等三角形及相似三角 形，常涉及用到等腰“三线合一”、“射影定理”、中位线定理、勾股定理，平行线分线段成比例，切割线定理等的综合运用。因此善于分解图形，由线与角之间关系，构建基 本图形模 型，当出现量与量之间有多重联系的时候，常考虑设元建方程求解问题。【变式运用】1. ( 2016青海西宁)如图， D为OO上一点，点C在直径BA的延长线上，且/ CDA= / CBD .(1) 求证：CD是OO的切线；(2) 过点B作O 0的切线交CD的延长线于点E

8、, BC=6, 求BE的长.(12分)BD3【分析】(1)连0 D,OE,根据圆周角定理得到/ ADO + / 1=90 °而/ CDA= / CBD , / CBD= / 1，于是 / CDA + / ADO=90 °(2)根据己知条件得到 CDA CBD由相似三角形 的性质得到 匚，求得CD=4,由切线的性质得到BCBDBE=DE , BE丄BC根据勾股定理列方程即可得到结论.(1) 证明：连结 OD, T OB=OD, / OBD=/ BDO ,/CDA=/CBD, / CDA= / ODB ,又AB是OO的直径，/ ADB=90。,/ ADO+Z ODB=90 &#

9、176; , / ADO+ / CDA=90 ° ,即/ CDO=90 ° , 0D 丄 CD, /0D 是 O O 半径，二 CD是OO的切线(2) 解：/ C= Z C , Z CDA= Z CBDCD AD CDA CBD BC BDBE 丄 BC CD=4, / CE, BE 是OO 的切线-BE=DE ,22222 BE +BC =EC,即 BE +6 = (4+BE)AD 2BD3,BC_69E图3-2图bO与RIAABC的直角边AC和斜边AB分别相切于点AC是宵径，AB是弦，连接PB、图3-3图cCD,与边BE=5.2. (2018 -湖北武汉)如图，PA是0

10、O的切线，A是切点,PC,PC交AB于点E,且PA二PB.(1) 求证：PB是0 0的切线.PE(2) 若/ APC二3 / BPC求一的值CE(1)证明：分别连接OP, OB.AP =BP,I在厶 OAPW OBP 中，丿 OA=OB, OAPMOBP.OP =OP./ OAP=/ OBP,V PA 是 0 O 的切线，/ OBP=/ OAP=90, PB是OO的切线.连接BC,设OP交AB于点F,/ AC 是 OO 的直径，/ ABC=90.PA, PB是OO的切线， PO垂直平分AB, PO平分/ APB BC/ OF, OPC=/ PCB/ APC=Z BPC OPC=/ CPB /

11、PCB 玄 CPB BC=BP.设 OF=t，贝 U BC=PB=2t,由八 PBFAA POB 得 PB2=PF PQ2+A7即(2t)=PF(PF+t)解得 PF=2t,（取正值）PFEAA CBEPF.17-1CEBC43. （ 2017泸州）如图，0图3-4BC相交于点F , OA与CD相交于点E ,连接FE并延长交AC边于点 G.(1)求证：DF/ AO；(2 )若 AC二 6 , AB二 10 ,求 CG 的长.解：(1)证明：连接OD. AB与0 O相切与点D,又AC与0 O相切与点， AC二 AD , / OO 0D, 0A 丄 CD, CD 丄 OA ,/CF 是直径，CDF二 90° , - DF 丄 CD, DF / AO.(2)过点作EM丄OC于M,/AC二 6, AB二 10, T. BO .AB2_ AC2= 8,AD二 AC二 6,.BD二 AB-AD二 4,2 1/